趙文軒

(山東省泰安第二中學 271000)

概率論是高中數(shù)學課程中重要的組成部分，涉及排列組合、概率公式、分布定律等知識，是高中數(shù)學中的重要模塊.但是一些同學對概率論的認識存在誤區(qū)，認為概率論僅為課本知識，沒有實際應(yīng)用價值.實際上概率論在實際生活中有著廣泛應(yīng)用，可以對不確定的問題進行量化，從而幫助人們做出科學決策.概率論的發(fā)展可以分為三個時期：以卡爾達諾、費馬、帕斯卡和惠更斯為代表的十七世紀中葉到1872年，被稱為“古典概率論”時期；從1872年到20世紀初，被稱為“分析概率”時期；1933年以后，被稱為“測度概率論”時期.

一、概率論簡述

我們生活的大千世界存在著諸多各形各色的事物現(xiàn)象與社會現(xiàn)象，從人類理性預(yù)知的角度看，其大致可以分為確定性現(xiàn)象與不確定現(xiàn)象.確定現(xiàn)象的問題較為簡單，比如“地球圍著太陽轉(zhuǎn)，月球圍著地球轉(zhuǎn)”等真理.與之對比，不確定現(xiàn)象較為復(fù)雜.不確定現(xiàn)象也稱為隨機現(xiàn)象，關(guān)于隨機現(xiàn)象是否具有規(guī)律性的問題是數(shù)學研究的熱點問題，這也催生了概率論的產(chǎn)生.因此，可以將概率論看作是通過數(shù)學視角研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科.

進入二十世紀，概率論作為一支活躍的、實用性強的隨機事件理論得以快速發(fā)展.起初概率論源于實際生活的需要，物理、通訊、管理等科學的發(fā)展需求加速了概率論的進一步研究.如今的概率論已經(jīng)活躍在數(shù)學領(lǐng)域，其理論框架更加系統(tǒng)化，并作為數(shù)學問題分析工具得到了大范圍的推廣和應(yīng)用，同時也在實踐中得到創(chuàng)新發(fā)展.

概率論在數(shù)學上有著嚴格的公理化定義，主要性質(zhì)有三條：首先，使用在[0,1]之間的非負數(shù)衡量一個事件的概率值大小.當一個事件的發(fā)生概率為1時，該事件稱為必然事件；當一個事件發(fā)生的概率為0時，稱之為不可能事件.比如太陽東升西落為必然事件，那么發(fā)生概率為1；公雞下蛋為不可能事件，發(fā)生概率為0；擲一次骰子，擲得4點的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，那么其發(fā)生概率為0到1之間的某值.其次，有限個互斥事件的和事件發(fā)生的概率為各互斥事件發(fā)生概率的和.比如箱子里有紅、藍、黃、黑球各一個，從中任取一球，取到紅球的概率為1/4，取到藍球的概率也為1/4，取到紅球或藍球的概率則為取到紅球和取到藍球兩事件的概率之和，為1/2.最后，相互獨立的兩個事件發(fā)生的聯(lián)合概率等于各事件發(fā)生的概率乘積[2].比如甲和乙兩人分別從裝有4個球(紅、藍、黃、黑球各一個)任取一球，兩個人都取到紅球的概率為，甲取到紅球的概率乘以乙取到紅球的概率，即1/4×1/4=1/16.

二、概率論的發(fā)展歷程

概率論起源于保險行業(yè)，但對于概率論進行數(shù)學化的邏輯理論研究開始于賭博行業(yè).如同新生嬰兒出生前的準備一樣，概率論的出現(xiàn)也是漫長準備期的成果.卡當?shù)摹墩撡€博》、伯努里的《猜度術(shù)》中提到的“伯努利定理”，便是大數(shù)定律(又稱大數(shù)法則，是指在一個隨機事件中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個穩(wěn)定值)的雛形.概率論的發(fā)展可分為古典時期、初等發(fā)展時期、分析概率時期以及現(xiàn)代概率時期.

概率論研究者們普遍認為概率論早期研究始于十六世紀到十七世紀.如果更寬泛一些，甚至可以將十四世紀骰子、抽簽問題的出現(xiàn)可以視為概率論早期研究的形式.十七世紀，西方出現(xiàn)的文藝復(fù)興與工業(yè)革命為概率論的發(fā)展提供了大背景.工業(yè)蓬勃發(fā)展帶來的效率問題，航海業(yè)發(fā)展帶來的時間誤差問題，貿(mào)易業(yè)激增帶來的負債率、資產(chǎn)率等催生了概率論的出現(xiàn).概率論是應(yīng)實踐的需求而出現(xiàn)的，其中較為著名的是伽利略的對于物理實驗誤差問題的研究，他認為誤差問題可以作為隨機現(xiàn)象進行概率估算.這一階段是概率論發(fā)展的古典時期.

概率論的初等發(fā)展時期的代表人物是瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利，他在這一時期的概率研究也建立在賭博問題之上，代表著作是1713年出版的《猜度術(shù)》，建立了第一個以數(shù)學理論為主要特征的概率論的極限定律，即著名的伯努利大數(shù)定律.這一理論的誕生為頻率數(shù)學抽象化理論研究奠定了基礎(chǔ)，也是研究等可能性問題的極其重要的鋪墊理論.

十九世紀，概率論的發(fā)展進入分析概率時期.在這一時期，俄國數(shù)學家切比雪夫以伯努利定理和泊松大數(shù)定理作為特例建立了關(guān)于獨立隨機變量序列的大數(shù)定律，并在此基礎(chǔ)上推廣出更為普遍的中心極限定理.十九世紀末期，概率論在統(tǒng)計物理等領(lǐng)域的實踐應(yīng)用催生了對概率論基本概念與原理進行解釋的需求.與此同時，概率論古典發(fā)展時期中基本概念的矛盾之處也被進一步挖掘和放大.概率論理論進一步得到完善.

概率論真正的現(xiàn)代階段開始于二十世紀.社會生產(chǎn)發(fā)展迅速、科技進步日新月異推動了概率論的進一步發(fā)展，也出現(xiàn)了新的學科分支.概率論應(yīng)用也遍布各個產(chǎn)業(yè)的方方面面.現(xiàn)代概率時期的研究重點是無數(shù)多隨機變量集合的隨機過程.這是以時間序列為研究維度、對數(shù)學思維的抽象化.大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用范圍在馬爾可夫(俄羅斯數(shù)學家)的研究中得以推廣，成為現(xiàn)代概率論研究的基礎(chǔ).

三、現(xiàn)代概率論的應(yīng)用

概率論在生活中隨處可見，為物理學、生物學、信息論、經(jīng)濟學、工程技術(shù)等學科提供了數(shù)學工具.本文以車險行業(yè)、生物遺傳學中的概率論應(yīng)用進行說明.

1.在車險中的應(yīng)用

雖然對于概率論進行數(shù)學化的邏輯理論研究開始于賭博行業(yè)，但概率論卻起源于保險行業(yè).保險已經(jīng)成為人們生活中保障人們生活質(zhì)量的重要內(nèi)容，以實際案例進行證明，比如小趙在某保險公司購買汽車保險，其中保險額最高為20萬元，在這險種中第三責任險需小趙支付1200元的保險費，那當購買這一險種的人數(shù)達到1000名時，保險公司在這一保險銷售中盈利40萬元的概率以及虧損概率是多少?這是需要對保險賠償金額及事故次數(shù)進行分析.如果每次事故需保險公司賠付5萬元，那么保險公司要獲得40萬元的利潤就必須保證將事故次數(shù)控制在16次以內(nèi)，通過對被保險車輛的調(diào)查，發(fā)生事故的幾率一般為0.5%.通過計算可以得知保險公司盈利40萬元的概率為0.99998；發(fā)生虧損的概率為0.0000000068.可以看出保險公司普遍是盈利的.

2.在生物遺傳中的應(yīng)用

概率論的誕生與發(fā)展為諸多學科提供了有效的數(shù)學模型，成為解決現(xiàn)實問題的有力工具.本文對概率的發(fā)展與應(yīng)用作了淺要的研究，尤其對保險行業(yè)和生物遺傳的概率應(yīng)用作了較為詳細的說明.由于專業(yè)知識比較深奧，專業(yè)性較強，所以有些工作做的還不是太深入，許多方面的研究還比較粗糙，這是作者今后要努力的方向.