問題引領(lǐng)思維 探究演繹精彩
——含全稱、存在量詞的函數(shù)題的教學(xué)與思考

王友春

(江蘇省揚州市邗江區(qū)蔣王中學(xué) 225126)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，而問題是引發(fā)學(xué)生思維與探究活動的向?qū)В菍W(xué)生課堂學(xué)習(xí)活動的載體，是有效地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲的催化劑.通過問題，能使知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的思維過程有機地聯(lián)系起來，能使知識的邏輯結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，能使學(xué)生主動探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律、認識與理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是習(xí)題探究課的教學(xué)中，要注重問題設(shè)計的系統(tǒng)性、層次性和探究性，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律，讓學(xué)生在“問題串”的引領(lǐng)下自主學(xué)習(xí)，激發(fā)其探究的積極性和能動性.

下文是筆者結(jié)合自己的一次教學(xué)實踐，通過對出現(xiàn)在函數(shù)題中含全稱、存在量詞的一系列問題(問題串)的分析、探究，以期提高學(xué)生的思維能力、探究能力和課堂實效.

一、問題的引入

問題1已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命題“?x∈[1,e]，f(x)≤g(x)成立”是真命題，求實數(shù)a的范圍.

∴a≤1.

評注1.對于含參數(shù)a的不等式f(x)≤g(x)恒成立問題，可實施“分離變量”轉(zhuǎn)化為a≤h(x)恒成立，進而使a≤hmin(x)；也可轉(zhuǎn)化為f(x)-g(x)≤0恒成立，進而使[f(x)-g(x)]max≤0. 2.為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，由此題為引例，筆者設(shè)計了下面的一串問題，力求讓學(xué)生“學(xué)一題，觸一類，通一片”，演繹一次生動的習(xí)題探究課.

二、拓展與探究

問題2 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命題“?x0∈[1,e]，使得f(x0)≤g(x0)成立”是真命題，求實數(shù)a的范圍.

探究同問題1的分析，可對f(x)≤g(x)實行“分離變量”，同樣轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值問題.

評注1.對于含參數(shù)a不等式f(x)≤g(x)能成立問題，實施“分離變量”轉(zhuǎn)化為a≤h(x)能成立，進而使a≤hmax(x)；也可轉(zhuǎn)化為“f(x)-g(x)≤0能成立”，即使得[f(x)-g(x)]min≤0. 2.問題2是在問題1的基礎(chǔ)上將“全稱命題”變?yōu)椤按嬖谛悦}”，若將命題中的兩個自變量區(qū)別開，即f(x1)和g(x2)，就產(chǎn)生了下面的問題3.

問題3 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax，a>0，求證：?x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2).

探究只要證fmax(x1)≥gmin(x2)，x1,x2∈[1,2]，所以只要求出fmax(x1)和gmin(x2)，即得關(guān)于a的不等式.

評注1.對于含兩個存在量詞的命題：“?x1∈M,?x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”，不同于問題1和2，兩個變量之間沒有必然聯(lián)系，需將其轉(zhuǎn)化為兩個“存在能成立”問題逐個解決，即假設(shè)x1∈M,x2∈N時f(x1)和g(x2)的值域分別為A、B，若原命題是真命題，即在A、B中分別有一個元素a、b，使得a≥b即可，故只要“fmax(x1)≥gmin(x2)”即可！2.問題3的否定：“?x1,x2∈[1,2]，f(x1)

問題4 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“?x1,x2∈[1,2]，f(x1)≥g(x2)成立”是真命題，求a的范圍.____

探究這一恒成立問題只需fmin(x1)≥gmax(x2)，故求fmin(x1)和gmax(x2)后得到關(guān)于a的不等式求解即可.

評注1.對于含兩個全稱量詞的命題：“?x1∈M,?x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”， 同樣不同于問題1和問題2，兩個變量之間沒有必然的聯(lián)系，故類似問題3假設(shè)x1∈M,x2∈N時f(x1)和g(x2)的值域分別為A、B，在A、B中各任取一個元素a、b，有a≥b恒成立，只要“fmin(x1)≥gmax(x2)”即可.2.如果此問題中的兩個量詞分別是?和?，而且兩個變量的范圍也不同，則可設(shè)計出下面的問題5.

問題5 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“對?x1∈[1,e]，均?x2∈[1,2]，使得f(x1)

探究原命題?fmax(x1)

評注1.對于含兩個不同量詞的命題“?x1∈M，?x2∈N，使得f(x1)

問題6 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“對?x1∈[1,e]，總?x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”是真命題，求實數(shù)a的范圍.

探究原命題?“f(x)在[1,e]上的值域為A，g(x)在[1,2]上的值域為B，滿足A?B”，故先求兩個函數(shù)的值域A和B，再由A?B得到關(guān)于a的范圍的不等式求解即可.

評注1.對于含兩個不同量詞的命題“?x1∈M,，?x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，可轉(zhuǎn)化為“x1∈M，x2∈N時f(x1)和g(x2)和值域分別為A、B滿足A?B”，從而將“?,?,使得”型方程問題轉(zhuǎn)化為集合的運算問題，使解題過程巧妙簡化. 2，若將問題6命題中的兩個量詞都改為“?”，則可設(shè)計如下的問題7.

問題7 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命題“?x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”，求實數(shù)a的范圍.

探究原命題?“函數(shù)f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分別為A、B，且A∩B≠?”，故先求出兩個函數(shù)的值域A和B，由“A∩B=?”得到a的取值范圍后再求其在(0,+)內(nèi)的補集即可.

評注1.對于含兩個存在量詞的命題“?x1∈M，?x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，?“函數(shù)f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分別為A、B滿足A∩B≠?”，從而將問題轉(zhuǎn)化為先求A∩B=?時a的取值范圍，再求補集的思路. 2.這一問題求解同上面問題3的“評注”中所述，也運用了“正難則反”的思想方法對問題實行了有效地轉(zhuǎn)化.

三、總結(jié)與反思

后6個問題由“問題1”為源頭并基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”進行引申與拓展，巧設(shè)“問題串”給出了函數(shù)題中含全稱、存在量詞的命題的常見類型及其轉(zhuǎn)化方法，使數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出“一題多解、一題多變、多題同解”或分層遞進，體現(xiàn)出分類討論和等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法，讓復(fù)雜的問題得以有效地解決.如問題3和7，在分類討論的思想基礎(chǔ)上學(xué)生都能想到，但為了優(yōu)化問題的解決，引導(dǎo)學(xué)生采用“正難則反”即“求簡變通”的思想，并留時間讓學(xué)生親自操作，提高實效.“真正有教育智慧的人，會把復(fù)雜的東西教得簡單，會把簡單的東西教的有深度有厚度”，真正有智慧的數(shù)學(xué)課也正是要于簡約中蘊含深刻，于樸素中綻放思想，于細微中展現(xiàn)機智，要讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)和合作探究能達到“會一題、通一類”的效果，實現(xiàn)從“學(xué)會”到“會學(xué)”轉(zhuǎn)變，要能透過現(xiàn)象看實質(zhì)、把握規(guī)律，大方無隅、大道無形地演繹精彩，實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)思想和根本目標(biāo).