變分方法與交叉科學(xué)

丁彥恒

(1.中國(guó)科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院, 北京 100190； 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院, 北京 100049)

0 引 言

變分原理是自然界事物遵從的客觀法則.世界是由物質(zhì)構(gòu)成的，萬(wàn)物處于永不停息的運(yùn)動(dòng)中.運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的根本屬性和存在方式.運(yùn)動(dòng)自然的和力及能量緊密聯(lián)系.運(yùn)動(dòng)能量泛函的變分對(duì)應(yīng)著事物的拉格朗日方程，即所謂的數(shù)學(xué)模型，它描述事物的狀態(tài)，諸如存在性、演化性，等等.因此，變分理論是研究事物的重要方法.

變分學(xué)歷史悠久，它的起源可追溯到16世紀(jì)最速曲線問(wèn)題. 史上許多大數(shù)學(xué)家都在這一領(lǐng)域做出了非常大的貢獻(xiàn)，如伯努力、歐拉、柯西、拉格朗日、牛頓和萊布尼茨、龐加萊、希爾伯特，等等.

變分方法是含著金鑰匙出生的，它激勵(lì)著數(shù)學(xué)的發(fā)展——助力經(jīng)典理論、孕育新的學(xué)科.特別如：實(shí)分析 (Lebegue 測(cè)度與積分)、 泛函分析 (強(qiáng)、弱拓?fù)?，單調(diào)算子，Sobolev 空間)、偏微分方程 (橢圓型方程，存在性和正則性)、 幾何變分 (測(cè)地線， 極小曲面，調(diào)和映射，F(xiàn)insler 幾何: Garding, Vishik, Agmon, Douglise, Nirenberg, De Giorgi)、幾何測(cè)度 (極小子流形: J. Nash)、 變分不等式 (自由邊值問(wèn)題: J. Moser, Stampacchia, Lions, Ladyzenskaya Uraltseva)、優(yōu)化控制 (R. Bellman, L.S. Portryagin, J. L. Lions)、 大范圍變分 (臨界點(diǎn)理論、Morse 理論、Floer 同調(diào)、辛容量)、有限元方法，等等.

變分學(xué)的發(fā)展對(duì)科學(xué)特別是自然科學(xué)發(fā)揮著日益重要的作用.譬如，物理學(xué)中的變分問(wèn)題：Newton 方程、Hamilton 系統(tǒng)、Maxwell 方程 (電磁場(chǎng))、Einstein 方程 (重力場(chǎng))、Yang Mills 方程 (規(guī)范場(chǎng))；幾何學(xué)中的變分問(wèn)題：測(cè)地線、極小曲面、調(diào)和映射；其它學(xué)科如：Dirichlet 原理、電流分布、Riemann 映射定理、Weierstrass 反例、Schwarz 方法、 Neumann 方法、Poincare 方法.Hilbert 在 ICM1900 宣布的23個(gè)著名數(shù)學(xué)問(wèn)題中有3個(gè)涉及變分方法，即第19(正則性)、第20(存在性)、第23(發(fā)展變分理論).

就變分學(xué)直面的泛函而言，一般分為兩類：

?(下方)有界泛函的變分方法 典型例:

-直接方法 經(jīng)典的變分理論表現(xiàn)在研究泛函的極值問(wèn)題. 相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)常用直接變分方法, 其中一個(gè)代表性定理如是說(shuō).

設(shè)X是一個(gè)可分 Banach 空間的共軛空間 (例如，自反Banach 空間). 又設(shè)E?X是一個(gè)弱*序列閉非空子集. 若f:E→弱*序列下半連續(xù)且強(qiáng)制的 (即，?x∈E, 當(dāng)時(shí)，f(x)→+∞), 則f在E上有極小值.

-Ekeland 變分原理 設(shè)(X,d)是一完備的度量空間，f:X→∪{+∞},f?+∞，下方有界，且下半連續(xù).若 ?ε>0,xε∈X使得則 ?yε∈X滿足

(1)f(yε)≤f(xε);

(2)d(yε,xε)≤1;

(3)f(x)>f(yε)-εd(yε,x)?x∈X{yε}.

? 無(wú)界泛函的變分方法 典型例:

- 近代變分法—臨界點(diǎn)理論 (參閱文獻(xiàn)[1-26]), 始于： 1973 年; 著力點(diǎn)： 上下方均無(wú)界的泛函的臨界點(diǎn)(非極值問(wèn)題); 重要內(nèi)容包括：

° 極大極小方法;

° 指標(biāo)理論;

° (無(wú)窮維) Morse 理論;

° 標(biāo)志性工作：(山路定理 1973; Hamilton 系統(tǒng)周期解 1978; 對(duì)偶變分法 1978; 集中緊性原理 1984; 對(duì)稱攝動(dòng)方法1984等); Floer 同調(diào) 1988;

° 強(qiáng)不定問(wèn)題的變分方法.

1 變分框架

這里介紹的變分框架，是筆者及其合作者針對(duì)強(qiáng)不定問(wèn)題建立的，但它對(duì)半定問(wèn)題自然也是適用的.其原創(chuàng)點(diǎn)： 利用自共軛算子的絕對(duì)值構(gòu)造工作空間； 利用線性算子插值理論研究空間的嵌入性質(zhì), 利用算子的譜進(jìn)行空間分解，進(jìn)而給出非線性條件，得到泛函的規(guī)范結(jié)構(gòu)以適合應(yīng)用臨界點(diǎn)理論[2,5,26]

考慮形如

Au=N(u),u∈H

(1)

的半線性方程，這里，H代表Hilbert空間，A是(無(wú)界)自共軛算子，其定義域(A)?H,N:(A)→H是(非線性)梯度映射，換言之，存在函數(shù)ψ:(A)?H→H使得N(u)=ψ(u). 形式上，式(1)的解是泛函

(2)

的臨界點(diǎn)，其中(·,·)H記H的內(nèi)積 (其對(duì)應(yīng)的范數(shù)記作‖·‖H).一般而言，式(2)沒(méi)有提供足夠的信息.注意Φ僅定義于H的一個(gè)真子空間上，應(yīng)用中很難對(duì)ψ給出可驗(yàn)證的條件以保證式(1)的解的存在.例如，如何處理量子力學(xué)中的非線性Dirac 系統(tǒng)、力學(xué)中的無(wú)窮維 Hamilton系統(tǒng)、反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)呢？需要選擇合適的工作空間E(既不能“太大”也不能“太小”)，在E上重新恰當(dāng)?shù)乇硎睛凳沟盟呐R界點(diǎn)對(duì)應(yīng)問(wèn)題(1)的解、且具有易于研究的表達(dá)形式. 這就是建立變分框架(或變分原理).

以σ(A)、σe(A)及σd(A)分別記A的譜、本質(zhì)譜及有限重特征值集合.根據(jù)算子理論，Hilbert空間H具有正交分解：

H=H-?H0?H+,u=u-+u0+u+.

使得A在H-和H+分別是負(fù)定和正定的，H0是A的零空間.以{E(λ):λ∈}記A的譜族,U=I-E(0)-E(-0),|A|記A的絕對(duì)值，|A|1/2記|A|的平方根.由定義，U與A、從而與|A|1/2可交換.取E=(|A|1/2), 并在E上引進(jìn)內(nèi)積

(u,v)E=(|A|1/2u, |A|1/2v)H+(u,v)H.

以‖·‖E記(·,·)E導(dǎo)出的范數(shù).則E有關(guān)于內(nèi)積(·,·)H和(·,·)E都正交的分解：

E=E-?E0?E+,u=u-+u0+u+

(3)

其中，E±=E∩H±與E0=H0.

設(shè)ψ∈C1(E,)且ψ′(u)=N(u) (在應(yīng)用中，只要對(duì)非線性項(xiàng)作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，就能滿足這一要求).在E上定義泛函

-ψ(u), ?u=u-+u0+u+∈E

(4)

則Φ∈C1(E,).進(jìn)一步，當(dāng)u∈(A)是Φ的臨界點(diǎn)時(shí)，它就是方程(1)的解. 事實(shí)上，對(duì)任何v∈E,

0=(|A|1/2u+, |A|1/2v+)H-

(|A|1/2u-,|A|1/2v-)H-(N(u),v)H=

(|A|(u+-u-),v)H-(N(u),v)H=

(|A|Uu,v)H-(N(u),v)H=

(Au-N(u),v)H.

注1式(3)直接來(lái)自σ(A)的分解.

(1)當(dāng)0至多是A的有限重特征值時(shí)，為更方便起見(jiàn)，通常在E上定義下述等價(jià)內(nèi)積

(u,v)=(|A|1/2u,|A|1/2v)H+(u0,v0)H.

此時(shí)，以‖·‖記由 (·,·)導(dǎo)出的范數(shù)，Φ可表示為

(5)

(2)記σ-=σ(A)∩(-∞,0)和σ+=(0,∞), 當(dāng)σ-由至多有限多個(gè)有限重特征值組成時(shí)，稱方程(1)為半定的；當(dāng)σ-由無(wú)窮多個(gè)有限重特征值組成時(shí)，稱方程(1)為不定的. 此外稱方程(1)是強(qiáng)不定的，如果σ±各是無(wú)窮集；稱方程(1)是非常強(qiáng)不定(或本質(zhì)強(qiáng)不定)的， 如果σ±各含有本質(zhì)譜.

(3)注意: 由強(qiáng)不定性有dimE±=∞; 應(yīng)用中要緊的是E的某種嵌入性質(zhì) (關(guān)聯(lián)到應(yīng)用中非線性ψ的合適性).

現(xiàn)代臨界點(diǎn)理論初期，大都處理半定或強(qiáng)不定問(wèn)題，20世紀(jì)90年代以來(lái)，人們?cè)絹?lái)越對(duì)強(qiáng)不定問(wèn)題感興趣. 下面舉幾個(gè)本質(zhì)強(qiáng)不定問(wèn)題的例子，限于篇幅，不具體討論例子中的非線性項(xiàng)需滿足的條件 (可參閱下一節(jié)關(guān)于 Dirac 方程的有關(guān)細(xì)節(jié)).

?Schr?dinger 方程. 考慮

-Δu+V(x)u=f(x,u)，u∈H1(n,)

(6)

假設(shè)V∈C(3且周期地依賴于x∈n，g(x,u)∈C(3×,). 方程(6)具有抽象形式(1)，其中H=L2(n,), 在H中A=-Δ+V是自共軛的,ψ(u)=N(u)(=g(;u))參見(jiàn)文獻(xiàn)[11,26-39].在infV<0的條件下, 當(dāng)0?σ(A)時(shí)，(6)是本質(zhì)強(qiáng)不定的.

?Hamilton 系統(tǒng)的同宿軌. 考慮 Hamilton 系統(tǒng)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[15-16,20,22,25,40]

(7)

系統(tǒng)(7)可表示為式(1)的形式：

Az=N(z).

?反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng). 考慮下述(時(shí)間依賴)非線性系統(tǒng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[12,17,28,34,41-44]:

(8)

(t,x)∈×n,G:×n×2m→,L是L2(×n,2m)中的對(duì)稱稠定算子.求解z=(u,v):×n→2m, 使得z(t,x)→0, (當(dāng)|t|+|x|→∞). 置

令

則(8)可表示為(1)形式：

Az=N(z).

特別地，當(dāng)L=(-Δ)s時(shí)就是所謂的分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)，參見(jiàn)文獻(xiàn)[21].

注2觀察對(duì)于本質(zhì)強(qiáng)不定泛函(1)，由于一方面σe(A)∩(-∞, 0)≠?且σe(A)∩(0, ∞)≠?，從而導(dǎo)致E±都是無(wú)窮維的子空間，另一方面通常用以處理無(wú)界區(qū)域上的變分問(wèn)題，而無(wú)界區(qū)域上的 Sobolev 型嵌入是非緊的，因之Φ一般不具有緊性(即常說(shuō)的 Palais-Smale條件)，所以問(wèn)題十分復(fù)雜.特別是不能應(yīng)用Leray-Schauder度以判別所謂的“相交數(shù)”問(wèn)題.在這方面筆者相對(duì)系統(tǒng)的工作，其原創(chuàng)點(diǎn)：引入“gage space” (非距離拓?fù)? 的Lipushitz正規(guī)性概念，建立Lipushitz 單位分解；建立局部凸拓?fù)渚€性空間上的常微分方程的柯西問(wèn)題流的存在唯一性這一基礎(chǔ)性理論；獲得新的形變理論，把無(wú)窮維水平集依弱拓?fù)渚植啃巫兊接邢蘧S空間中.基于此，筆者得到了一系列新的Minimax 方法, 發(fā)展了指標(biāo)、疇數(shù)理論及其他幾何拓?fù)浞椒?，參?jiàn)文獻(xiàn)[5,13,18].

2 非線性 Dirac系統(tǒng)

粒子物理學(xué)中出現(xiàn)的Dirac方程是由英國(guó)物理學(xué)家Paul Dirac提出的一種相對(duì)論下的復(fù)向量方程，其中×3上自由的(即無(wú)外力場(chǎng))Dirac方程：

-i?tψ=ic×3→4,

已經(jīng)被公認(rèn)為是用于描述帶有質(zhì)量的相對(duì)論電子的基本模型.方程中的c是光速，是Planck常數(shù)，m是帶電粒子的質(zhì)量，α1、α2、α3以及β是4×4的Pauli矩陣：

此處

這一自由模型很好地給出了自然界許多真實(shí)粒子的近似描述.為了更進(jìn)一步地刻畫真實(shí)的粒子運(yùn)動(dòng)，就必須引入(新的)非線性項(xiàng).一般說(shuō)來(lái)，在非線性外力場(chǎng)下Dirac方程可表示為

-i?tψ=ic

(9)

此方程中出現(xiàn)的函數(shù)N(x)與ψF(x,ψ)來(lái)自于非線性粒子物理中的數(shù)學(xué)模型，主要用于逼近刻畫真實(shí)的外力場(chǎng).其中，非線性耦合項(xiàng)ψF(x,ψ)刻畫了量子電動(dòng)力學(xué)中的自耦合作用，給出了一個(gè)與真實(shí)粒子非常接近的描述.關(guān)于非線性項(xiàng)F的例子可以在標(biāo)量自耦合作用理論中找到，它既可以是多項(xiàng)式型的也可以是非多項(xiàng)式型的函數(shù). 大量的非線性函數(shù)已經(jīng)被公認(rèn)為是統(tǒng)一場(chǎng)論中合理的基本數(shù)學(xué)模型.

對(duì)于Dirac方程的研究，從變分學(xué)的角度講，人們關(guān)心形如ψ(t,x)=exp(iξt/)u(x)的穩(wěn)態(tài)解(也可稱為駐波解).于是在研究穩(wěn)定態(tài)問(wèn)題中，一個(gè)自然的假設(shè)是

ψF(x,eiξφ)=eiξ,ψF(x,φ).

對(duì)所有的ξ∈和φ∈4成立.在此條件下，穩(wěn)態(tài)解ψ滿足方程(9)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)u滿足方程

-ic

(10)

整理后并令α=(α1,α2,α3),

α·

就得到了如下的(一般型)穩(wěn)態(tài)Dirac方程 (a>0):

-iα·u+aβu+M(x)u=Gu(x,u)

(11)

或

-iα·u+aβu+M(x)u=Gu(x,u)

(12)

注3穩(wěn)態(tài)Dirac方程(11)吸引著眾多學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)中較早研究非線性Dirac方程(11)的工作只是自治系統(tǒng)，即M=ω是常數(shù)，G(x,u)=G(u)不依賴于空間變量x(參見(jiàn)文獻(xiàn)[45]) 研究所謂Soler模型，即G滿足

(13)

令

則式(11)呈式(1)的形式.此時(shí)σ(A)既無(wú)上界又無(wú)下界，且一般而言σe(A)∩(-∞,0)≠?，σe(A)∩(0,∞)≠?.這表明式(11)是非常強(qiáng)不定的.繼續(xù)前面的記號(hào)：令空間E=E-?E0?E+由式(3)定義，泛函Φ(u)由式(5)給出.

下面回顧關(guān)于非線性Dirac方程研究的主要方面及部分結(jié)果.先考慮=1的情形，參見(jiàn)文獻(xiàn)[5,13-14,35,45].

(1)關(guān)于A的譜, 有下述結(jié)論:

-σ(A)=σc(A)=(-a+ω,a+ω), 如果(V1):M(x)≡ω.

-σ(A)=σc(A)是一列兩兩無(wú)交的閉區(qū)間的并，如果(V2):M(x)關(guān)于xj是Tj>0周期的，j=1,2,3.

(3)關(guān)于非線性，?？紤]下述情形：

- 臨界: 當(dāng) |u|→∞時(shí)，G(x,u)～|u|3.

- 周期外力場(chǎng): 即M(x) 和G(x,u)關(guān)于xj是Tj>0 周期的，j=1,2,3.

(4)關(guān)于解類型, 主要包括：

- 衰減型: 求解u∈H1(3,4) (或u:3→4滿足u(x)→0 (當(dāng)|x|→∞)；(x,u)→+∞ (|u|→∞).

- 周期解：u(x+T)=u(x),T=(T1,T2,T3). 此時(shí)要求M(x) 和G(x,·)關(guān)于x都是T-周期的[32].

α·(-i·g(|w|)w.

在量子力學(xué)中，一個(gè)很自然的奇異擾動(dòng)問(wèn)題就是動(dòng)力學(xué)方程的半經(jīng)典問(wèn)題，其物理解釋就是對(duì)應(yīng)原理，即當(dāng)普朗克常數(shù)趨于零時(shí)所有量子力學(xué)的規(guī)律將回歸于經(jīng)典力學(xué).作為對(duì)應(yīng)原理的重要體現(xiàn)，量子理論中的兩大動(dòng)力學(xué)方程(Schr?dinger, Dirac)的解在隨著消失過(guò)程中的漸進(jìn)行為尤其值得關(guān)注.所謂的集中現(xiàn)象是指：在預(yù)先給定的集中集合以外，動(dòng)力學(xué)方程的解隨著參數(shù)的消失而一致衰減到零.在這樣的定義下，從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，尋找并刻畫集中集合成為最本質(zhì)的問(wèn)題.

早先對(duì)于帶小參數(shù)的變分問(wèn)題，學(xué)者們主要關(guān)注非線性Schr?dinger方程的半經(jīng)典解，獲得了豐富的成果.而對(duì)于非線性 Dirac 方程的相關(guān)問(wèn)題的研究，因?yàn)槠溲芯勘惹罢呃щy得多，直到2010年才由筆者突破強(qiáng)不定性引起的極大障礙得到第一個(gè)結(jié)果[19], 引發(fā)了一系列后續(xù)研究.

記ε=, 利用伸縮變換xεx，式(12)等價(jià)于

-iα·u+aβu+Mε(x)u=Gu(εx,u)

(14)

其中Mε(x)=M(εx). 為了反映M的性質(zhì)，取A0=-iα·+aβ.注意到σ(A)=σc(A0)=(-a,a)，因此,L2將有如下的正交分解：

L2=L+?L-,u=u++u-

(15)

(u,v)=(|A0|1/2u,|A0|1/2v)2

以及誘導(dǎo)范數(shù)‖u‖=(u,u)1/2.可以得到：對(duì)所有u∈E，

(16)

? 集中于非線性位勢(shì)的最大點(diǎn)集. 文獻(xiàn)[19]考慮

-iεα·w+aβw=W(x)g(|w|)w

(17)

假設(shè)(W):infW>0, lim sup|x|→∞W(x)

κ=maxW;

利用“山路型”導(dǎo)出、與極限方程的聯(lián)系、極限方程的性質(zhì)等.

假設(shè) (W),κ∞<κ, 且g(|w|)～|w|p-2,p∈(2, 3). 文獻(xiàn)[19]證明：

(1) (存在性)?ε>0充分小, 式(17)至少有1個(gè)最小能量解wε∈s≥2W1,s.

(2) (集中性) ?|wε|的最大值點(diǎn)xε，dist(xε,)→0 (ε→0), 使得 ?xε→x0, 序列uε(x)=wε(εx+xε)一致收斂于下述極限方程的最小能量解：

-iα·u+aβu=κg(|u|)u.

? 競(jìng)爭(zhēng)型位勢(shì). 文獻(xiàn)[30-31，36]考慮具有線性位勢(shì)，或同時(shí)具有線性和非線性位勢(shì)的情形：

-iεα·w+aβw+V(x)w=W(x)g(|w|)w

(18)

其中V,W∈C1(3,), max|V|0. 令G(|w|)=g(s)sds～|s|p(p∈(2,3)) 及

不失一般性，設(shè)W(xv)=maxx∈W(x)，V(xw)=minx∈V(x)，并置

文獻(xiàn)[30]證明：?ε>0充分小, 式(18)具有最小能量解wε∈s≥2W1,s滿足:

-iα·v+aβv+V(x0)v=W(x0)g(|v|)v

(19)

? 局部最小條件. 前述的半經(jīng)典結(jié)果都要求M(x)=V(x)I4滿足所謂“全局”性條件，一個(gè)自然的問(wèn)題就是位勢(shì)函數(shù)M(x)=V(x)I4是否可以擺脫全局性條件. 文獻(xiàn)[14]回答了此問(wèn)題，證明必然存在一個(gè)單峰解，且隨著的消失該解將集中于V(x)在Λ內(nèi)的最小值處.即取代假設(shè)?有界開(kāi)集Ω?3使得

得到相應(yīng)的結(jié)論.

? Maxwell-Dirac系統(tǒng). Dirac方程作為描述相對(duì)論電子的基本模型，對(duì)于真實(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)描述依然存在一定的誤差.所謂的這些誤差，其來(lái)源就是粒子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電磁效應(yīng)對(duì)其自身的影響以及周圍粒子的相互耦合作用.為了將這樣的誤差考慮在內(nèi)，筆者將面對(duì)如下形式的復(fù)雜方程組Maxwell-Dirac 系統(tǒng):

(20)

其中，向量函數(shù)A=(A1,A2,A3):×3→3表示變化的磁場(chǎng)分布，A0=Q:×3→表示變化的電場(chǎng)分布,g代表非線性耦合.A,w遵循電動(dòng)力學(xué)中的Maxwell方程組，真實(shí)地刻畫出帶電粒子高速運(yùn)動(dòng)下產(chǎn)生的電磁效應(yīng)，利用伸縮變換u(x)=w(εx)，得到式(20)的等價(jià)問(wèn)題

(21)

其中,Qε(x)=Q(εx)，Pε(x)=P(εx)，Aε(x)=A(εx)，Aε,k(x)=Ak(εx)以及

文獻(xiàn)[43]建立了式(23)解的存在性、指數(shù)衰減性、集中性. 文獻(xiàn)[37]則討論了它的解的多重性.

? Klein-Gordon-Dirac系統(tǒng). 考慮下述系統(tǒng)

(22)

這里,λ>0表示耦合系數(shù).方程組(22)通過(guò)Dirac場(chǎng)ψ與標(biāo)量場(chǎng)φ之間的Yukawa作用，刻畫出Dirac方程與Klein-Gordon方程之間的耦合關(guān)系，描述了在介子影響下原子核之間的強(qiáng)作用力.作變換u(x)=φ(εx),V(x)=φ(εx), 式(22)等價(jià)于

(23)

- 所有基態(tài)解的集合在H1(3,4)×H1(3,)是緊的.

(i) |φε|有最大點(diǎn)xε，limε→0dist(xε,)=0，使得 (uε,Vε),uε(x)=φε(εx+xε)與在H1×H1中收斂到下極限方程的基態(tài)解：

(24)

? 自旋流形上Dirac方程的分歧現(xiàn)象和邊值問(wèn)題.

設(shè)(M,g)是m-維的緊自旋流形，(M)是M上的自旋叢，

D:C∞(M,(M))→C∞(M,(M))

是Atiyah-Singer Dirac算子:

其中,{ej}1≤j≤m是TM上的一組局部正向標(biāo)準(zhǔn)正交基. 又設(shè)h:(M)→(M)是保持纖維的非線性映射.

★ 文獻(xiàn)[23]考慮下述方程:

μDψ(x)=ψ(x)+h(ψ(x)),x∈M

(25)

其中,ψ(x)∈C∞(M,(M))代表旋量叢的光滑截面.此方程可看作 Dirac 算子D的攝動(dòng)特征值問(wèn)題.在適當(dāng)條件下證明在原點(diǎn)及無(wú)窮遠(yuǎn)處出現(xiàn)分歧現(xiàn)象.

- 對(duì)任何 1/μk∈σ(D),k∈， (μk,θ) 是方程(25)的分歧點(diǎn).

- 若 1/μk∈σ(D),k∈，h全連續(xù)，在W1/2,2(M,(M))中，h(ψ)=o(‖ψ‖) (‖ψ‖→∞). 則 (μk,∞) 是方程(25)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的一個(gè)分歧點(diǎn). 此外，若加強(qiáng)適當(dāng)對(duì)h的假設(shè)， 則μk有右鄰域λ使得，任給μ∈Λ{μk}, 方程(25)至少有一個(gè)非平凡解ψμ使得 ‖ψμ‖→∞ (μ→μk).

★ 文獻(xiàn)[24]研究下述邊值問(wèn)題 (假設(shè)M具有光滑邊界?M):

(26)

這里BCHI記 Chirality 算子，P代表在該邊界條件下的Dirac算子. 該文證明了下述結(jié)果:

①方程(26)具有至少一個(gè)解；

②如果h還是奇的，則方程(26)具有無(wú)窮多對(duì)解 {±ψk}k, 其相應(yīng)的能量序列趨于無(wú)窮 (k→∞).

3 交叉科學(xué)

前述例子及大量的事實(shí)讓人們看到，變分方法在交叉科學(xué)研究中發(fā)揮著十分重要的作用.

“所謂交叉學(xué)科是指自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)相互交叉地帶生長(zhǎng)出的一系列新生學(xué)科”(錢學(xué)森)，通常指兩個(gè)或多個(gè)學(xué)科之間跨學(xué)科的綜合研究，是不同領(lǐng)域和不同學(xué)科在認(rèn)識(shí)世界過(guò)程中，用不同角度和方法為解決共同問(wèn)題產(chǎn)生的學(xué)科交融，經(jīng)過(guò)反復(fù)論證和試驗(yàn)而形成的新的科學(xué)領(lǐng)域.20世紀(jì)下半葉，各類交叉學(xué)科的應(yīng)用和興起為科學(xué)發(fā)展帶來(lái)了一股新風(fēng)，許多科學(xué)前沿問(wèn)題和多年懸而未決的問(wèn)題在交叉學(xué)科的聯(lián)合攻關(guān)中都取得了可喜的進(jìn)展.隨著越來(lái)越多交叉學(xué)科的出現(xiàn)及其在認(rèn)識(shí)世界和改造世界中發(fā)揮作用的不辯事實(shí)，交叉學(xué)科在科學(xué)領(lǐng)域中的生命力都得到了充分的證明.

交叉科學(xué)則是指更為廣泛的科學(xué)交叉，即自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的大交叉，探討的主題是自然科學(xué)之間且和社會(huì)科學(xué)的結(jié)合和滲透問(wèn)題.1985年4 月，在錢學(xué)森、錢三強(qiáng)和錢偉長(zhǎng)等學(xué)者的倡導(dǎo)下，在北京召開(kāi)了全國(guó)首屆交叉科學(xué)學(xué)術(shù)討論會(huì)，提出了激動(dòng)人心的口號(hào)：“迎接交叉科學(xué)的新時(shí)代！”.

一般而言，交叉科學(xué)分為四個(gè)層次:

? 學(xué)科的“內(nèi)部”交叉 交叉學(xué)科的最基本的類型即是一個(gè)學(xué)科內(nèi)的各個(gè)方向的內(nèi)部交叉.當(dāng)學(xué)科發(fā)展到一定程度，子學(xué)科的建設(shè)呈現(xiàn)一定規(guī)模時(shí)，學(xué)科內(nèi)部方向的融合交叉可以拓展更多的研究領(lǐng)域，提示整個(gè)學(xué)科的科學(xué)水平.

? 學(xué)科間的“近距離”交叉 是在不同子學(xué)科背景下的合作.如數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)和力學(xué)等的交叉，這均屬于在一類的學(xué)科間的交叉.數(shù)學(xué)應(yīng)用于其他學(xué)科是20世紀(jì)科學(xué)發(fā)展的突出特點(diǎn)，定量的方法被廣泛地應(yīng)用于幾乎所有的學(xué)科 (自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué))，不斷實(shí)現(xiàn)真正的科學(xué)整體化發(fā)展.

? 學(xué)科間的“遠(yuǎn)距離”交叉 如數(shù)學(xué)與中文、人口學(xué)與物理學(xué)、醫(yī)學(xué)與地質(zhì)學(xué)等等，也出現(xiàn)了學(xué)科交叉.學(xué)者在研究和探索過(guò)程中，有意或無(wú)意地發(fā)現(xiàn)原來(lái)相距很遠(yuǎn)的學(xué)科間有一種可以相互推理或者是互為所用的極妙關(guān)系.交叉往往會(huì)解決一些較為棘手和尖端的科學(xué)問(wèn)題.

? 人們以往所認(rèn)識(shí)的交叉學(xué)科，大多是在自然科學(xué)學(xué)界內(nèi)或社會(huì)科學(xué)學(xué)界內(nèi)的研究.近些年來(lái)，研究?jī)山玳g交叉合作日益增多，逐步體現(xiàn)出以“把握學(xué)科前沿，促進(jìn)學(xué)科交叉”的導(dǎo)向, 在思想上把社會(huì)科學(xué)和自然科學(xué)放在同等重要的地位.

交叉科學(xué)的重要性主要體現(xiàn)在:

①社會(huì)進(jìn)步科學(xué)發(fā)展需要加強(qiáng)交叉科學(xué).

②學(xué)科交叉點(diǎn)往往就是科學(xué)新的生長(zhǎng)點(diǎn)、新的科學(xué)前沿，這里最有可能產(chǎn)生重大的科學(xué)突破，使科學(xué)發(fā)生革命性的變化.

③有利于綜合性地解決人類面臨的重大問(wèn)題.交叉科學(xué)是自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)和哲學(xué)等大門類科學(xué)之間發(fā)生的外部交叉,以及本門類科學(xué)內(nèi)部眾多學(xué)科之間發(fā)生的內(nèi)部交叉所形成的綜合性、系統(tǒng)性的知識(shí)體系，因而有利于有效地解決人類社會(huì)面臨的重大科學(xué)問(wèn)題和社會(huì)問(wèn)題，尤其是全球性的復(fù)雜問(wèn)題.這是交叉科學(xué)所能發(fā)揮的社會(huì)功能.

④國(guó)家對(duì)交叉科學(xué)的高度重視.

下面列舉一些交叉科學(xué)領(lǐng)域.變分理論在研究這些領(lǐng)域的某些方面已經(jīng)表現(xiàn)出重要作用及強(qiáng)大的生命力，而在某些方面則期待著原始性的創(chuàng)造性的工作出現(xiàn).

◆ 社會(huì)科學(xué)方面

? 經(jīng)濟(jì)學(xué). 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展中起著重要作用.統(tǒng)計(jì)顯示，至2008年止的62 位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)中有20位獲得過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)位.大范圍變分是研究經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要手段.

? 上層建筑學(xué). 經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)決定上層建筑.數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的交叉自然延展為數(shù)學(xué)與上層建筑的交叉.

? 系統(tǒng)控制. 如優(yōu)化管理，國(guó)防指揮系統(tǒng)，運(yùn)籌博弈，等.

? 復(fù)雜系統(tǒng). 復(fù)雜系統(tǒng)理論、預(yù)測(cè)科學(xué)、金融數(shù)學(xué)與風(fēng)險(xiǎn)管理、信息學(xué)、不確定性決策理論與方法.

? 哲學(xué). 數(shù)學(xué)和哲學(xué)同是高度抽象的學(xué)問(wèn)，有相同的思考方式，用數(shù)學(xué)去描述哲學(xué)大有可為.例如“無(wú)數(shù)偶然蘊(yùn)含必然”，用大數(shù)據(jù)描述偶然，經(jīng)數(shù)學(xué)分析可前瞻必然或掌控必然的趨勢(shì).

? 文學(xué)藝術(shù). 設(shè)想把各種描述感情的詞藻集成文庫(kù)，當(dāng)寫詩(shī)詞小說(shuō)時(shí)輸入該感情符號(hào)，讓電腦自動(dòng)組合輸出成文該多美妙啊.數(shù)學(xué)的思想、方法和精神對(duì)于繪畫、做詩(shī)具有十分重要的意義. “越往前走，藝術(shù)就要科學(xué)化，同時(shí)科學(xué)也要藝術(shù)化”(福樓拜).“數(shù)學(xué)到了最后階段就遇到想象……于是數(shù)學(xué)也成了詩(shī)”(雨果).

◆ 自然科學(xué)方面

? 宇宙學(xué). 宇宙起源、中微子、暗物質(zhì)與暗能量、多體問(wèn)題、自旋流形.

? (無(wú)界)Hamilton控制.

? 力學(xué)系統(tǒng). 錢偉長(zhǎng)曾說(shuō)過(guò)力學(xué)就是變分. 19世紀(jì)前歷史上最著名的數(shù)學(xué)家同時(shí)也是頂尖的力學(xué)家，如19世紀(jì)前的阿基米德、牛頓、萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、柯西等. 在20 世紀(jì)科學(xué)日益成為專家在愈來(lái)愈窄的鄰域內(nèi)進(jìn)行著的事業(yè)，鮮有如龐加萊、希爾伯特、柯?tīng)柲缏宸虻韧瑫r(shí)是數(shù)學(xué)家和力學(xué)家.

1)量子力學(xué). 研究微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，它主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論. 量子世界的調(diào)控與信息、能源、材料等技術(shù)的新突破. 特別如 Schr?dinger 方程、Dirac 系統(tǒng)的駐波與行波，描述Bose-Einstein 凝聚及光在非線性介質(zhì)的傳播等.

2)理論力學(xué). 用拉格朗日力學(xué)和哈密頓力學(xué)的觀點(diǎn)處理牛頓力學(xué)問(wèn)題，并加入混沌等較新的內(nèi)容.

3)電動(dòng)力學(xué). 主要研究電磁場(chǎng)的基本屬性、運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及電磁場(chǎng)和帶電物質(zhì)的相互作用.包括：介質(zhì)中的場(chǎng)方程和邊值問(wèn)題,有介質(zhì)存在時(shí)電磁波的傳播，以及電動(dòng)力學(xué)對(duì)超導(dǎo)體、等離子體和晶體的電磁性質(zhì)的描述.

4)相對(duì)論. 關(guān)于時(shí)空和引力的理論，主要由愛(ài)因斯坦創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代物理學(xué)的基礎(chǔ).相對(duì)論極大地改變了人類對(duì)宇宙和自然的“常識(shí)性”觀念，提出了“同時(shí)的相對(duì)性”、“四維時(shí)空”、“彎曲時(shí)空”等全新的概念.

5)熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理. 研究熱運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和熱運(yùn)動(dòng)對(duì)物質(zhì)宏觀性質(zhì)的影響.熱力學(xué)是熱運(yùn)動(dòng)的宏觀理論，統(tǒng)計(jì)物理是熱運(yùn)動(dòng)的微觀理論. 宏觀量是微觀量的某種統(tǒng)計(jì)平均值.

6)材料力學(xué). 研究材料在各種外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)變、應(yīng)力、強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定和導(dǎo)致各種材料破壞的極限.

7)流體力學(xué). 變分法在研究流體力學(xué)方程中的Rayleigh-Taylor線性不穩(wěn)定問(wèn)題中起著重要的作用. 針對(duì)具有重力場(chǎng)的三維非齊次不可壓縮 Navier-Stokes 方程組, 就是用的經(jīng)典變分法得到解的存在性.其方法還被推廣運(yùn)用到其它更復(fù)雜的流體運(yùn)動(dòng)，例如,磁流體、粘彈性流、分層可壓縮磁流體、 無(wú)磁擴(kuò)散效應(yīng)的不可壓縮磁流體,等等.

? 生態(tài)學(xué). 以數(shù)學(xué)的理論和方法研究生態(tài)學(xué)，它包括生態(tài)數(shù)學(xué)模型、生態(tài)系統(tǒng)分析、統(tǒng)計(jì)生態(tài)學(xué)、生態(tài)模擬等內(nèi)容.而今它在理論、實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用研究方面都有著很大的進(jìn)展.

? 生命科學(xué). 生命起源、進(jìn)化和人造生命

? 認(rèn)知科學(xué). 腦與認(rèn)知科學(xué)及其計(jì)算建模

? 隨機(jī)微分方程的變分方法.

? 大數(shù)據(jù)科學(xué). 建立與應(yīng)用相應(yīng)的山路定理.

? 楊-米爾斯(Yang-Mills) 存在性(“千禧難題”之五). 又稱規(guī)范場(chǎng)理論，是研究自然界四種相互作用(電磁、弱、強(qiáng)、引力)的基本理論，是由物理學(xué)家楊振寧和米爾斯在1954年首先提出來(lái)的.楊-米爾斯提出了楊-米爾斯作用量(規(guī)范勢(shì)的泛函). 作它的變分，就得到純楊-米爾斯方程. 楊-米爾斯聯(lián)絡(luò)是在給定結(jié)構(gòu)群的聯(lián)絡(luò)空間上由曲率的平方模定義的泛函的臨界點(diǎn)．