斜齒輪磨頭中可變螺旋角齒輪建模方法

徐斌

摘 要：本文在研究意大利COMS磨頭中可變螺旋角齒輪的基礎上，提出可變螺旋角齒輪以齒槽為基準、齒輪中部端面為基準端面的新理論，可變螺旋角齒輪齒槽由中間基準端面直齒齒輪端面上標準齒槽扭轉不同角度而成。建立了齒輪端面扭轉角與可變螺旋角齒輪齒槽螺旋角之間的數(shù)學關系，并依據(jù)該關系式，分別建立了扭轉后齒輪兩端端面每個螺旋齒槽的扭轉角。根據(jù)所建立的扭轉端面A、B以及基準端面C，在CAXA 3D 2105版本中，利用放樣建立了可變螺旋角齒輪的三維模型，并給出加工該齒輪的方法。本文建立的可變螺旋角齒輪方法簡單，加工方法簡單。

關鍵詞：磨頭;可變螺旋角;斜齒輪;扭轉;齒槽

1 前 言

斜齒輪磨頭也叫COMS磨頭，是意大利COMS公司于二十世紀九十年代研發(fā)的磨頭，由于其中主要的是一個可變螺旋角齒輪，每個齒的螺旋角都不同，加工技術要求很高。所以COMS公司不懼怕任何人抄襲，將零部件拆開，在展會上讓別人觀看。2002年廣東科達機電有限公司技術經(jīng)理周哲波，對該磨頭進行了仿制，但是效果不佳，不能使用，而后科達公司放棄仿制。周哲波而后進入安徽理工大學教書，并帶領學生對COMS磨頭作理論研究，建立了可變螺旋角齒輪模型。但是該模型是以輪齒作為基準進行建立的，并沒有進行實際的應用和產(chǎn)業(yè)化，后經(jīng)廣東科達潔能股份有限公司深加工事業(yè)部總經(jīng)理周祖兵確認，周教授建立的可變螺旋角齒輪模型不適用于實際。后續(xù)國內有一些廠家對該齒輪進行仿制均失敗。

近年來，山東青島、萊州的石材設備制造廠商也仿制了COMS磨頭，但是并沒有大規(guī)模的應用。2017年廣東佛山的海瑜公司仿制了COMS磨頭，已經(jīng)在科達公司應用。國內仿制的COMS磨頭在應用上都會出現(xiàn)噪聲大等問題。

由于COMS公司對中國技術封鎖，以及國內昌吉仿制之后，也對自己揣摩出來的，所謂的自己那套技術進行技術封鎖。而國內對COMS磨頭的理論研究也很少，只有周哲波教授進行了理論研究，但是研究結果還不實用，脫離了實際。

為了加快COMS磨頭的推廣和應用，本文另辟新徑，對COMS磨頭中可變螺旋角齒輪進行理論創(chuàng)新，建立該齒輪的數(shù)學模型，以及依據(jù)數(shù)學模型建立起來的三維模型。同時給出了可變螺旋角齒輪的加工方法。本文研究成果，對打破國內外對COMS磨頭的技術及理論封鎖，加快其推廣應用提供理論基礎。

2 斜齒輪磨頭結構及工作原理

斜齒輪磨頭結構及工作原理，如圖1所示。

1中間齒輪固定在2箱體端蓋上，2箱體端蓋與機架固定在一起。3磨頭主軸 伸進6下箱體內，4主動齒輪固定在3磨頭主軸上，5斜齒輪驅動齒輪、9斜齒圓柱齒輪空套在3磨頭主軸上，5斜齒輪驅動齒輪與9斜齒圓柱齒輪固定在一起。6下箱體上均勻分布著四至六根7磨塊座主軸。7磨塊座主軸的一端固定有10磨塊座，7磨塊座主軸的另外一端設置有8直齒圓柱齒輪。8直齒圓柱齒輪的轉動軸垂直于7磨塊座主軸。8直齒圓柱齒輪與9斜齒圓柱齒輪嚙合在一起，并且螺旋角按一定規(guī)律周期性變化。

工作原理：

一方面，3磨頭主軸驅動6下箱體以及安裝在6下箱體內的零部件旋轉，7磨塊座主軸 連同10磨塊座、磨塊一起繞著3磨頭主軸 公轉，這與已有技術的工作原理相同;

另一方面，3磨頭主軸驅動4主動齒輪旋轉，4主動齒輪經(jīng)過1中間齒輪，將運動和動力傳遞給5斜齒輪驅動齒輪，進而驅動螺旋角周期性變化的9斜齒圓柱齒輪旋轉，從而迫使7磨塊座主軸上的8直齒圓柱齒輪 按照螺旋角周期性變化的規(guī)律，以7磨塊座主軸為轉軸來回擺動，與7磨塊座主軸 固聯(lián)的10磨塊座隨之擺動，最終實現(xiàn)了磨塊一邊繞主軸公轉，一邊繞擺動軸左右擺動的運動規(guī)律。

9斜齒圓柱齒輪具有交替為直和斜的部分。

將其360 °展開圖，兩個直齒或齒間可設在相應于原點（0 °和360 °重點）和中點的位置。在0 °和90 °的部分內（如圖2a）變成斜齒，最大斜度發(fā)生在90 °。過了這點以后，斜度逐漸減小，到180 °變成零。從180 °到270 °（圖2c）又變?yōu)樾饼X，單斜度個圖2a和圖2b的斜度相反。到270 °，斜度達到最高，從270 °到360 °（或0 °），即在圖2d，斜度又逐漸減小，一直變?yōu)榱恪?/p>

3 可變螺旋角齒輪分析

本文作者于2017年10月拆開了意大利COMS磨頭，也就是意大利原創(chuàng)的變斜齒輪磨頭。該磨頭的核心零件是變螺旋角齒輪，如圖3、4所示。

通過事物觀察發(fā)現(xiàn)，變螺旋角齒輪的每個輪齒的螺旋角度是不同的，而且是漸變的。這樣造成每個輪齒沿著軸線方向的齒厚也是漸變，逐漸變大或者逐漸變小。所以輪齒的兩端會出現(xiàn)大小頭的現(xiàn)象，如圖3所示。

從圖4看出，變變螺旋角齒輪端面的齒厚是不同的，一個區(qū)域齒厚很大，另外一個區(qū)域的齒厚很小，而且齒厚是漸變的增大或者漸變的減小。

但是從圖3、4看出，每個齒槽的寬度是相同的，變螺旋角齒輪是以齒槽為基準，不是輪齒。因為齒槽要與每個不同螺旋角的輪齒嚙合，所以每個齒槽的寬度必須一致。也就是說，齒槽不會出現(xiàn)大小頭的現(xiàn)象，而且每個齒槽的寬度都相同。

將意大利COMS磨頭的變螺旋角齒輪展開成平面圖，如圖5所示。變螺旋角齒輪工共44個輪齒。通過上述分析可知，變螺旋角齒輪是以齒槽為基準的，因此展開圖中的傾斜直線是齒槽線。

齒槽線也叫齒槽中心線，如圖6、7所示。因為變螺旋角齒輪有直齒和斜齒共同組成的，所以本文以普通直齒齒輪和斜齒輪分析齒槽線。

不管是直齒齒輪還是斜齒齒輪都是由輪齒和齒槽組成的，在分度圓上，齒槽和輪齒的寬度是相同的。齒槽的中心線就是齒槽線，直齒齒槽線是一條直線，斜齒輪的齒槽線是一條螺旋線。

由前述可知，變螺旋角齒輪的輪齒寬度是不相同的，但每個齒槽的寬度是相同的。因此，以齒槽作為標準對變螺旋角齒輪進行建模和加工。圖5中的螺旋線和直線是齒槽線。展開圖中顯示共有44條齒槽線，每個齒槽線的的螺旋角不同的，各相差一度。圖5中上端編號是每個齒槽的順序編號，下端是每個齒槽線的螺旋角度。

從圖5看出，編號為0的齒槽和編號為22的齒槽是直齒齒槽，其他的都是螺旋齒槽。其中編號為0的齒槽和編號為44的齒槽是同一個齒槽。

從編號為0的齒槽開開始，齒槽按照1度的差值逐漸的向左傾斜，到編號為11的齒槽傾斜角最大，是11度。接下來的齒槽也是按照1度的差值逐漸的向右傾斜，又從11度逐漸減小為0，到編號為22的齒槽傾斜最小，是0也就是直齒齒槽。編號22到33的齒槽向右傾斜，達到最大11度。編號33到44的齒槽向左傾斜，達到最小0度。

從圖5看出，螺旋槽的齒槽線，展開平面圖之后，都是一條傾斜的直線，傾斜的角度是按照某一個點在旋轉傾斜。由直線狀態(tài)繞點傾斜為斜直線狀態(tài)。

4 可變螺旋角齒槽線傾斜形成過程

為了更清晰的說明可變螺旋角齒輪展開圖中，螺旋齒槽線傾斜形成過程，截取圖5中的一個部分進行詳細的分析說明，如圖8所示。

可變螺旋齒輪在寬度方向上分為三個部分：A端面、B端面、中間端面C。圖8中，虛線表示的是輔助直齒齒槽線，實傾斜直線是螺旋齒槽線。為了分析問題，本文引入了輔助直齒齒槽線。

輔助直齒齒槽線與螺旋齒槽線的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6......，均是在齒輪寬度的中心線上，也就是中間端面C位置上。輔助直齒齒槽線與齒輪寬度的中心線是相互垂直的。若是把螺旋齒槽線去掉，只留下輔助直齒齒槽線，就是普通的直齒齒輪的俯視圖。直齒齒槽線的間隔是均勻的。也就是O1=O2=O3=O4=O5=O6，......。各個螺旋齒槽線，分別是各自的輔助輔助直齒齒槽線分別繞著各自的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6向左旋轉1°、2°、3°、5°、6°形成的。

因此齒輪的寬度中心線是一條基準線，所在的端面C是基準平面。端面C上的齒輪端面是正規(guī)的直齒齒輪端面，端面C上的齒輪端面，在分度圓上輪齒厚度與齒槽的寬度一致，與普通齒輪無異。如圖9所示。

也就是說螺旋齒槽線都是繞著端面C上這個正規(guī)直齒齒輪端面扭轉形成的。

本文將把可變螺旋齒輪齒輪寬度中心線的部位，分為前后兩個部分。AC這一段是齒輪前段部分;BC這一段是齒輪后段部分。

（1）齒輪前段。

圖10所示是齒輪前段。AC段（也就是齒輪前段）上的螺旋齒槽線，是各個螺旋齒槽線繞著各個輔助直齒齒槽線分別繞著各自的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6向左旋轉1°、2°、3°、5°、6°形成的。因為圖10是齒輪的平面展開圖，那么三維圖如圖11所示。

為了便于分析和說明，齒輪前段扭轉示意圖中，用凸起的直齒、凸起螺旋齒代表輔助直齒齒槽、螺旋齒槽。

在C端和A端施加一對平衡的力偶M1、M2，在扭轉的過程中，C端面是基準面，這個基準面是固定不動的，在A端施加一個扭轉力偶M2，那么在C端就產(chǎn)生一個反作用的力偶M1與其平衡。

圖11中，齒輪柱上有一個直齒輪齒，如虛線所示。對這個直齒輪齒施加一個逆時針旋轉的力偶M2，直齒輪齒產(chǎn)生了一個左螺旋扭轉，變成了一個螺旋輪齒。螺旋輪齒和直齒輪齒之間的夾角就是螺旋角γ。這個螺旋輪齒展開成平面圖之后，就是一條斜直線。

圖11中是用直齒輪齒代替了直齒齒槽，直齒齒槽扭轉成螺旋齒槽也是這也道理。圖10中的每個螺旋齒槽都是這樣扭轉形成的，都是正規(guī)的直齒齒槽扭轉不同的角度形成。

（2）齒輪后段。

圖12所示是齒輪后段。BC段（也就是齒輪后段）上的螺旋齒槽線，是各個螺旋齒槽線繞著各個輔助直齒齒槽線分別繞著各自的交點O1、O2、O3、O4、O5、O6向右旋轉1 °、2 °、3 °、5 °、6 °形成的。那么三維扭轉示意圖如圖13所示。

在C端和B端施加一對平衡的力偶M3、M4，在扭轉的過程中，C端面是基準面，這個基準面是固定不動的，在B端施加一個扭轉力偶M4，那么在C端就產(chǎn)生一個反作用的力偶M3與其平衡。

圖13中，齒輪柱上有一個直齒輪齒，如虛線所示。對這個直齒輪齒施加一個順時針旋轉的力偶M4，直齒輪齒產(chǎn)生了一個右螺旋扭轉，變成了一個螺旋輪齒。螺旋輪齒和直齒輪齒之間的夾角就是螺旋角γ。這個螺旋輪齒展開成平面圖之后，就是一條斜直線。

圖13中也是用直齒輪齒代替了直齒齒槽，直齒齒槽扭轉成螺旋齒槽也是這也道理。圖12中的每個螺旋齒槽都是這樣扭轉形成的，都是正規(guī)的直齒齒槽扭轉不同的角度形成。

（3）齒輪前、后段合成。

圖14、15是齒輪前、后段扭轉示意圖，在齒輪前、后段上作用兩個大小相等、轉向相反且作用面與齒輪軸線垂直的外力偶;其變形特點是：兩力偶作用面之間的各橫截面繞軸線發(fā)生相對轉動。扭轉變形時任意兩橫截面間有相對的角位移，這種角位移稱為扭轉角θ。圖14、15中的θ即為截面相對于C端面（假設C端面相對固定）的扭轉角。

這里以及上面所述的所有過程中，都是以單獨一個齒槽做為事例來說明的，因為變螺旋角齒輪上的每個螺旋齒槽的螺旋角度都是不同的，為了分析出普遍的規(guī)律，都是拿出一個螺旋齒槽作為說明，當分析出普遍規(guī)律之后，變螺旋角齒輪上的每個齒槽都遵循這個規(guī)律進行變化。

以齒輪前段進行截面扭轉進行示意說明，如圖16所示。C端面是假設固定的，C端面是正規(guī)的直齒齒輪端面，當外力施加在A段端時，齒槽就會產(chǎn)生一個扭轉。

假設將AC段沿著齒輪軸線截成N段，在這里先取4段截面進行分析。截面1、2、3在沒有扭轉時，截面1、2、3的端面形貌與C端面是相同的，都是正規(guī)直齒齒輪端面。點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ都是C端面和截面1、2、3端面上直齒齒槽分度圓上的中點。

在扭轉的過程，截面1相對端面C逆時針旋轉一個扭轉角θ1，直齒齒槽分度圓上的中點Ⅱ，旋轉到Ⅱ'點。依次類推，截面2相對端面C逆時針旋轉一個扭轉角θ2，直齒齒槽分度圓上的中點Ⅲ，旋轉到Ⅲ'點。截面3相對端面C逆時針旋轉一個扭轉角θ3，直齒齒槽分度圓上的中點Ⅳ，旋轉到Ⅳ'點。

因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ連接成為輔助直齒齒槽線，Ⅰ、Ⅱ'、Ⅲ'、Ⅳ'連接成為螺旋齒槽線。輔助直齒齒槽線變成了螺旋線。

但各截面繞軸線發(fā)生了相對轉動，使各縱向直齒齒槽線均傾斜了一微小傾角γ，這個小傾角就是螺旋角。

BC段（齒輪后段）與AC（齒輪后段）的扭轉原理相同，在此不再詳述，唯一不同就是扭轉方向不同。扭轉角以及形成的螺旋角均是相同的。

BC段（齒輪后段）與AC（齒輪后段）都是以C端面作為基準進行扭轉的。將兩段合并為一體，AC（齒輪后段）形成的左螺旋齒槽與BC段（齒輪后段））形成的右螺旋齒槽合并為一體，形成一個完成的螺旋齒槽。如圖17所示。

通過上述分析，發(fā)現(xiàn)可變螺旋角齒輪上螺旋齒槽形成過程中，有兩個重要參數(shù)決定著螺旋齒槽的形成，一個是扭轉角θ;一個是螺旋角γ。通過扭轉角θ可以求出螺旋角γ，通過螺旋角γ可以求出扭轉角θ。這兩者的數(shù)學關系是怎么樣的呢？下面將詳細的分析。

5 扭轉角與螺旋角之間的協(xié)調關系

為了研究扭轉角與螺旋角之間的協(xié)調關系，取齒輪前段為例，如圖18所示。

從齒輪前段中用兩相鄰橫截面m-m、n-n取出長為dx的一個小微段，放大如圖19所示，若截面n-n對m-m的相對扭轉角為dθ （在此，假設m-m截面相對固定不動），即橫截面n-n像剛性平面一樣，相對于m-m繞軸線旋轉了一個角度，半徑O1a轉到了 O1b 位置。相應輔助直齒齒槽線有一傾斜角γ如果將齒輪前段看成由無數(shù)個截面段組成，則在此微段中，組成齒輪前段的所有截面段的扭轉角dθ均相同，所不同的只是截面段半徑不同。設其中任意截面段的半徑為ρ，螺旋角（傾斜角）為γρ，則可得γρ與ρ的關系式為

圖中和公式中的r是齒輪分度圓半徑，因為不管是直齒齒槽線還是螺旋齒槽線都是在分度圓上的齒槽線。

因此，分度圓上的螺旋角公式由（1）式可得：

對（2）式進行積分得：

由（3）式得出扭轉角與螺旋角之間的關系

式中：L是齒輪前段的長度，也就是齒輪寬度的一半。

公式（4）是一個弧度計算公式，要將其轉換為角度計算公式，轉換過程如下：

式中： α是螺旋齒槽的螺旋角，單位是度; φ是扭轉角，單位是度。

由（5）式得出扭轉角與螺旋角之間的關系式：

式中：r是分度圓半徑，mm。L是齒輪總寬度的一半，mm。

上述分析是以齒輪前段作為事例進行的分析，齒輪后段與齒輪前段是一樣的，唯一不同的地方就是轉向。得出的扭轉角與螺旋角之間的關系與（4）式也是相同的。齒輪前段和后段合并在一起才是完成的可變螺旋齒槽線扭轉過程，如圖21所示。

螺旋齒槽線是由齒輪前后段輔助直齒齒槽線扭轉合并形成，因為基準在C端面。

6 可變螺旋角齒輪建模參數(shù)

準確的繪制出可變螺旋角齒輪的三維圖，需要計算出每個螺旋齒槽的扭轉角度。根據(jù)變螺旋角齒輪的參數(shù)計算，變螺旋角齒輪的參數(shù)如表1所示。

由前述的（6）式是扭轉角與螺旋角之間的關系式。

目前可變螺旋角齒輪的每個齒槽的螺旋角是已知的，可以根據(jù)（6）式求出對應的扭轉角。式（6）中r是分度圓半徑。根據(jù)前述可知，可變螺旋角齒輪上的每個螺旋槽，都是根據(jù)基準端面C正規(guī)直齒齒輪端面上的齒槽，扭轉不同角度形成的。準端面C正規(guī)直齒齒輪端面也有44個輪齒和齒槽，可變螺旋角齒輪上的每個螺旋槽，就是由這44個標準的直齒齒槽，對應扭轉不同角度形成的。因此，每個可變螺旋角齒槽扭轉角計算公式中的r都是按照正規(guī)直齒齒輪分度圓半徑計算。計算公式如下：

（6）式中的L是可變螺旋角齒輪總寬度的一半，由可變螺旋角齒輪齒輪參數(shù)表可知，齒輪的總寬度是54.5，L就是54.5的一半，是L=27.25。因為扭轉分為齒輪前段和后段兩個部分。齒輪前段和后段的長度相同，都是齒輪總寬度的一半。將這些參數(shù)代入公式（6），得出表2、3。

（未完，下期待續(xù)）