基于不同動力引力輔助模型的木星轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計

楊 彬，楊洪偉，李 爽，尤 偉

(1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2. 南京航空航天大學(xué) 航天新技術(shù)實驗室，江蘇 南京 210016； 3. 上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109)

0 引言

隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，我國的深空探測能力逐漸提高。以木星為代表的外太陽系天體成為我國下一步深空探測的目標(biāo)[1]。對于這類距離地球遙遠(yuǎn)的目標(biāo)，傳統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)移方式因燃料消耗巨大而不再適用。引力輔助技術(shù)作為重要的節(jié)能技術(shù)，對于深空探測軌道設(shè)計具有重要意義。引力輔助技術(shù)的應(yīng)用能有效減少任務(wù)的燃料消耗，使得原本無法完成的任務(wù)成為可能。而且，除了完成對既定目標(biāo)的探測外，探測器在行星引力輔助過程中還能完成對引力輔助行星的飛越探測，增加任務(wù)的科學(xué)回報。國外包括旅行者號[2]、卡西尼號[3]在內(nèi)的一系列深空探測器均采用了引力輔助技術(shù)，極大減少了任務(wù)的燃料消耗。

引力輔助技術(shù)，即在探測器靠近某一星球時，借助該星球的引力作用來改變探測器的軌道與速度，是一種無消耗的軌道機動方式。引力輔助技術(shù)的應(yīng)用使得深空探測軌道設(shè)計變得更加復(fù)雜多樣。為獲得較好的引力輔助效果，針對復(fù)雜引力輔助軌跡的優(yōu)化設(shè)計一直是軌道動力學(xué)的熱點話題。CESARONE[4]推導(dǎo)了引力輔助過程中的參數(shù)表達(dá)式，并分析了近心點高度等引力輔助參數(shù)對引力輔助軌跡的影響。盡管引力輔助技術(shù)在節(jié)省燃料、提高效率等方面具有顯著優(yōu)勢，但其對所涉及天體的相位關(guān)系要求十分嚴(yán)格，借力前后的速度必須嚴(yán)格匹配[5]。這使得引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡的發(fā)射窗口變得十分狹窄，造成搜索過程收斂困難。為提高發(fā)射窗口搜索算法的穩(wěn)定性，LONGUSKI等[6]提出了特征能量C3匹配法，基于引力輔助前后探測器的特征能量進行引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡匹配。張旭輝等[7]采用蒂塞朗準(zhǔn)則對C3匹配方法進行了驗證。喬棟等[8]提出了軟匹配策略，用以進行軌道拼接。軟匹配策略的應(yīng)用有效解決了傳統(tǒng)方法對滿足約束條件轉(zhuǎn)移軌道方案的遺漏問題。雖然采用了各種方法來提高匹配的穩(wěn)定性，但等待相關(guān)行星到達(dá)理想相位關(guān)系，往往需要數(shù)年時間。而且，針對多天體引力輔助情況，等待時間將更長。

為弱化引力輔助技術(shù)對能量匹配的約束，一些學(xué)者提出在引力輔助過程中，通過施加主動脈沖來改善引力輔助效果，增加任務(wù)窗口，減少相位等待時間。PRADO[9]對帶有脈沖機動的引力輔助變軌進行了描述，并推導(dǎo)了探測器速度、能量變化量等參數(shù)，給出了特定條件下的最優(yōu)脈沖機動方向。引力輔助過程中脈沖施加的具體位置目前仍是軌道動力學(xué)研究的熱點問題[10-12]。李小玉等[13]研究了附加深空機動的引力輔助模型，推導(dǎo)了引力輔助后離開剩余速度的解析表達(dá)式。賈建華等[14]分析了平面引力輔助過程中施加脈沖的最優(yōu)位置，給出了平面情況下的最優(yōu)脈沖施加位置確定方法。CASALINO等[15]研究了在近拱點施加脈沖機動的引力輔助，但其所提方法只適用于脈沖幅值較小的情況。賈建華等[16]分析了三維情況下近拱點施加脈沖的大小和方向?qū)μ綔y器軌道的影響。除了在近拱點施加脈沖機動外，另一種方案是在引力輔助完成后施加脈沖機動。侯艷偉等[17]采用這種方式設(shè)計了基于金星引力輔助的火星轉(zhuǎn)移軌道。

本文針對有動力引力輔助技術(shù)和木星探測轉(zhuǎn)移軌跡進行了研究，主要對近心點脈沖機動和甩擺后脈沖機動2種引力輔助模型進行了對比分析，并完成了木星引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡的初始設(shè)計。首先，分別構(gòu)建近心點機動引力輔助模型和甩擺后機動引力輔助模型。然后，提出基于引力輔助模型進行深空探測的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計方法。隨后，以木星探測任務(wù)為工程應(yīng)用背景，基于不同引力輔助行星方案測試2種動力引力輔助模型的性能。數(shù)值仿真結(jié)果表明：近心點施加脈沖機動的引力輔助方案具有更好的節(jié)能效果。最后，應(yīng)用近心點機動引力輔助模型，采用地球-金星-金星引力輔助序列，完成木星探測任務(wù)轉(zhuǎn)移軌跡的設(shè)計。

1 動力引力輔助模型

引力輔助作為一種高效的節(jié)能技術(shù)，多次為深空探測任務(wù)所采用。但對于軌道設(shè)計而言，包含引力輔助的轉(zhuǎn)移軌跡頗為復(fù)雜。因此，各種簡化模型被采用，以在保證一定精度的前提下盡量提高計算效率。其中，圓錐曲線拼接法所采用的影響球模型是目前初始設(shè)計最常用的簡化模型。根據(jù)圓錐曲線拼接法的原理，引力輔助過程被假設(shè)為一個瞬時速度突變。其中，速度突變量的大小根據(jù)影響球模型估算求解。無動力引力輔助方式受到安全飛越高度等因素限制，在大多數(shù)情況下不能滿足任務(wù)要求。因此，在引力輔助過程中或引力輔助結(jié)束后通過施加脈沖機動來匹配引力輔助前后的轉(zhuǎn)移軌跡是一種有效方式。這種將主動變軌和引力輔助相結(jié)合的方式被稱為有動力引力輔助技術(shù)。本文將針對近心點機動和引力輔助后機動2種動力引力輔助方式進行建模分析。

1.1 近心點機動引力輔助模型

近心點機動引力輔助過程中只考慮引力輔助行星的引力作用，即探測器進入借力行星影響球后沿雙曲線軌道接近借力行星。當(dāng)其飛至近心點時，沿速度方向施加脈沖機動，以修正探測器引力輔助完成后的狀態(tài)。隨后，探測器沿調(diào)整后的逃逸軌道飛出借力行星的影響球，完成引力輔助。

相比于漫長的星際轉(zhuǎn)移過程，引力輔助過程持續(xù)時間很短。因此，假設(shè)引力輔助瞬時完成，則引力輔助前后探測器的位置不變且與引力輔助行星位置重合。探測器引力輔助前后的速度v+和v-分別通過求解引力輔助前后2段轉(zhuǎn)移軌跡的Lambert問題得到。因此，探測器進入借力行星影響球的剩余速度和理想的離開剩余速度分別為

(1)

式中：vP為借力行星在引力輔助時刻的速度。若探測器以理想剩余速度進入和離開引力輔助行星的影響球，則進入和離開影響球的真近點角等于雙曲線軌道漸近線的真近點角。進入和離開的真近點角的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為

(2)

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，進入和離開真近點角和雙曲線剩余速度偏轉(zhuǎn)角δ滿足幾何約束，f+-f--δ-π=0。將式(2)帶入幾何約束方程，得到關(guān)于近心點高度的非線性方程

(3)

為求解非線性方程(3)，對其求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，即

(4)

(5)

(6)

1.2 甩擺后機動引力輔助模型

動力引力輔助除在近心點添加機動外，另一種常見的方案是在引力輔助完成后立即施加速度脈沖進行調(diào)整，使得探測器的狀態(tài)滿足后續(xù)飛行任務(wù)的要求。施加的速度增量滿足

v+=v-+ΔvGA+ΔvI

(7)

式中：ΔvGA為引力輔助行星提供的速度增量；ΔvI為引力輔助完成后探測器施加的速度增量。在式(7)中，當(dāng)任務(wù)時間確定后，引力輔助前后探測器的速度是固定的。因此，為節(jié)省燃料，只能調(diào)節(jié)引力輔助提供的速度增量，使得探測器提供的速度增量最小。

為方便描述，本文采用引力輔助坐標(biāo)系[12]描述引力輔助過程的參數(shù)，如圖1所示。

圖1 引力輔助坐標(biāo)系Fig.1 Gravity assist reference frame

圖中：坐標(biāo)原點O位于引力輔助行星的中心，ξ軸沿雙曲線進入剩余速度方向，ζ軸垂直于引力輔助前探測器的速度與引力輔助行星速度所決定的平面，η軸與ζ軸和ξ軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。將坐標(biāo)軸方向的單位矢量分別記為i，j和k，用剩余速度矢量和行星狀態(tài)表示，如式(8)所示，具體推導(dǎo)過程詳見文獻[12]，此處不再贅述。

(8)

在引力輔助坐標(biāo)系中，探測器進入和離開雙曲線剩余速度表示為

(9)

(10)

在引力輔助坐標(biāo)系中，引力輔助行星提供的速度增量可表示為

(sinδsinψ)j+(cosδ-1)i]

(11)

此外，將引力輔助前后的速度差投影至引力輔助坐標(biāo)系，即

v+-v-=v∞(κ1i+κ2j+κ3k)

(12)

將式(11)，(12)帶入式(7)，可得

ΔvI=v∞[(κ1-cosδ+1)2+(κ2-sinδsinψ)2+

(13)

因此，只要確定剩余速度偏轉(zhuǎn)角δ和甩擺角度參數(shù)ψ，就能求得引力輔助完成后所需施加的脈沖機動速度增量。

2 轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計

轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計是空間任務(wù)規(guī)劃的基礎(chǔ)。圓錐曲線拼接法是經(jīng)典的轉(zhuǎn)移軌跡初始設(shè)計方法。采用該方法能快速完成轉(zhuǎn)移軌跡初始設(shè)計。本文基于上述引力輔助簡化模型，采用圓錐曲線拼接法進行復(fù)雜的引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計。嵌入引力輔助簡化模型的圓錐曲線拼接法的執(zhí)行過程如圖2所示。

圖2 嵌入動力引力輔助模型的圓錐曲線拼接法流程圖Fig.2 Flowchart of patched conic method with powered gravity-assist model

首先，在已知探測器地球出發(fā)時刻、行星借力時刻和目標(biāo)到達(dá)時刻的條件下，通過星歷可求得相關(guān)天體在相應(yīng)時刻的狀態(tài)。然后，基于圓錐曲線拼接法的思想，求解Lambert問題，得到相鄰天體之間的轉(zhuǎn)移軌跡，如圖2中所示的軌跡D和軌跡1。最后，利用引力輔助模型將這些轉(zhuǎn)移軌跡段按順序拼接，并計算引力輔助過程中所需施加的脈沖速度增量，進而得到任務(wù)所需的總速度增量。

因此，轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計問題被轉(zhuǎn)化為一個多變量優(yōu)化問題，即通過挑選最優(yōu)的任務(wù)時間節(jié)點和引力輔助參數(shù)(近心點高度、甩擺角度等)，使整個任務(wù)的燃料消耗最少。對于這種多變量全局優(yōu)化問題，遺傳算法具有明顯優(yōu)勢。所以，本文后續(xù)的軌道設(shè)計將采用遺傳算法進行優(yōu)化，其性能指標(biāo)為探測器提供的總速度增量。

3 仿真試驗與結(jié)果分析

3.1 引力輔助方式比較

以基于單次引力輔助的木星探測任務(wù)為例，對比分析2種簡化引力輔助方案。為方便對比，除引力輔助模型外，其他任務(wù)條件完全一致。探測器于2032年11月8日從地球出發(fā)，于2033年4月27日完成金星引力輔助后飛往木星，并最終于2036年9月1日抵達(dá)木星。根據(jù)第2節(jié)描述的轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計方法，分別帶入近心點機動引力輔助模型和甩擺后機動引力輔助模型，計算最終的速度增量。仿真結(jié)果見表1。

表 1 不同地球引力輔助方案的對比

由表可知：金星引力輔助過程中，近心點機動所需的速度增量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于甩擺后機動所需的速度增量，且前者在引力輔助過程中的近心點半徑也較小。這表明：在引力輔助過程中，探測器能從金星獲取更多能量，從而減小自身所需提供的速度增量。由此可見：相比于甩擺后的機動方案，近心點機動方案能節(jié)省更多能量。為驗證這一結(jié)論，針對地球和火星引力輔助任務(wù)進行仿真，結(jié)果見表2。

表 2 不同情況下的引力輔助模型對比

相比于表1，表2中引力輔助過程中需要施加的速度增量大大減小，且不同動力引力輔助方案的近心點半徑差異并不明顯。但是，相對于甩擺后機動的引力輔助方案，近心點機動方式的燃料消耗仍然較小，只是其優(yōu)勢并沒有表1中那么明顯。綜上所述，近心點機動的引力輔助方式能使探測器以更少的燃料消耗完成引力輔助前后的軌跡拼接。因此，后續(xù)木星探測任務(wù)轉(zhuǎn)移軌跡的設(shè)計將采用近心點機動引力輔助模型。

3.2 木星轉(zhuǎn)移軌跡設(shè)計

木星是太陽系最大的行星，對于研究太陽系的起源具有重要意義。迄今為止，包括NASA，ESA在內(nèi)的多家航天機構(gòu)已發(fā)射了伽利略號、朱諾號等木星探測器。此外，木星探測也已納入了我國未來的深空探測規(guī)劃。

木星距離地球十分遙遠(yuǎn)，現(xiàn)有探測器均采用行星引力輔助技術(shù)轉(zhuǎn)移至木星，且為進一步節(jié)省燃料，往往在抵達(dá)木星前實施多次行星引力輔助。金星-地球-地球引力輔助序列是常見的木星探測任務(wù)方案之一。本文將基于此序列完成木星轉(zhuǎn)移軌跡的初始設(shè)計。結(jié)合我國的木星探測計劃，將發(fā)射窗口搜索區(qū)間設(shè)定為2030年1月1日至2036年12月31日。性能指標(biāo)為探測器提供的總速度增量，即

J=Δvtotal=‖ΔvD‖+‖ΔvA‖+

∑‖ΔvGAk‖

(14)

式中：ΔvD為探測器離開地球所需的速度增量；ΔvGAk為第k次引力輔助所需施加的速度增量，其值可通過1.1節(jié)中所述模型求解；ΔvA為探測器到達(dá)木星后完成木星捕獲所需的速度增量。考慮到木星高強度的輻射，將木星目標(biāo)捕獲軌道的近木點半徑設(shè)定為不得小于4倍的木星半徑。另外，為減小木星捕獲所需的速度增量，將捕獲軌道的遠(yuǎn)木點半徑設(shè)定為100倍的木星半徑。因此，探測器的目標(biāo)捕獲軌道為100RJ×4RJ的大橢圓環(huán)木軌道。木星捕獲所需的速度增量為

(15)

式中：vA∞為探測器到達(dá)木星時的剩余速度；μJ為木星引力常數(shù)；ra和rp分別為目標(biāo)捕獲軌道的近木點半徑和遠(yuǎn)木點半徑。

為確保探測器在引力輔助過程中的安全，對不同引力輔助行星的引力輔助軌跡的近心點半徑添加必要的約束，約束條件見表3。

表3 不同行星引力輔助近心點半徑下限

采用遺傳算法進行尋優(yōu)，其進化過程如圖3所示。經(jīng)過25代遺傳搜索的最優(yōu)速度增量為1.170 km/s，最優(yōu)解的詳細(xì)信息見表4。

圖3 遺傳算法搜索進化圖Fig.3 Search process of genetic algorithm

探測器于2033年1月11日從地球發(fā)射，經(jīng)過159 d的星際轉(zhuǎn)移，于2033年7月3日到達(dá)金星，完成金星引力輔助后返回地球。2034年6月2日，探測器首次返回地球，完成第一次地球引力輔助。探測器于334 d后再次返回地球，在完成第二次地球引力輔助后，進入前往木星的轉(zhuǎn)移軌道，并于2039年6月12日到達(dá)木星。整個轉(zhuǎn)移過程持續(xù)2 343 d，需要探測器提供的總速度增量為1.17 km/s。任務(wù)轉(zhuǎn)移軌跡如圖4所示。

表4 遺傳算法搜索結(jié)果詳細(xì)信息表

圖4 木星探測轉(zhuǎn)移軌跡示意圖Fig.4 Transfer trajectory for Jupiter mission

4 結(jié)論

本文對比分析了近心點機動和甩擺后機動2種引力輔助方式。仿真結(jié)果表明：采用行星引力輔助時，在近心點施加脈沖機動比引力輔助完成后施加機動更加節(jié)能。基于此結(jié)論，本文完成了木星多天體引力輔助轉(zhuǎn)移軌跡的初始設(shè)計，其中包含1次金星引力輔助和2次地球引力輔助。本文研究內(nèi)容和結(jié)論對我國后續(xù)木星探測等深空探測任務(wù)具有一定的參考意義。但是，本文提出的模型只適用于脈沖機動方式。隨著電推進等連續(xù)小推力推進技術(shù)的成熟和在工程中的應(yīng)用，針對小推力和引力輔助相結(jié)合的軌道設(shè)計與優(yōu)化將是未來軌道設(shè)計的熱點。因此，后續(xù)將針對小推力引力輔助技術(shù)進行深入研究。