福建省龍巖第一中學(xué) (364000)

劉文娟 林文柱

由于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其應(yīng)用過程中所具有的基礎(chǔ)性、工具性作用，以及在這一過程中對(duì)學(xué)生所應(yīng)具有的將知識(shí)遷移到不同情境中的能力、邏輯推理能力及運(yùn)算能力等方面有著較高的要求，近年來，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題已經(jīng)成為高考的熱點(diǎn)問題.考查的這部分內(nèi)容在解題策略以及推理論證能力，理性思維的層次和深度等方面都有一定的要求，這就給中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在提煉和總結(jié)解題方法，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)視野，拓寬學(xué)生解決問題途徑和思維途徑，激發(fā)學(xué)生求新、求異等方面提出了更高的要求.

本文以高考復(fù)習(xí)中導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用問題作為背景材料，把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)緊密聯(lián)系起來，解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題上其優(yōu)越性就能表現(xiàn)出來.現(xiàn)將材料整理，與各位同仁交流.

一、例題呈現(xiàn),思路探析

例1 ?x0∈(2,+∞),k(x0-2)>x0(lnx0+1),則正整數(shù)k的最小值為．

(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094)

又H(8)=8-2ln8-4=4-6ln2<0,H(9)=9-2ln9-4=5-4ln3>0,故?x0∈(8,9),使得H(x0)=x0-2lnx0-4=0.從而g(x)在(2,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.因此g(x)的最小值為g(x0).

變式1 已知函數(shù)f(x)=x+xlnx,若k∈Z,且k(x-1)1恒成立，則k的最大值為．

類比例題1，解答過程略.

(1)略;(2)若a<0,且f(x)<0恒成立，求m的最小值．

二、總結(jié)歸納，深度挖掘

通過上面兩道例題的解答過程，我們可以分析得到在“恒成立”或“存在性”問題中求參數(shù)的最大(小)整數(shù)值的一般解答步驟：

1.分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題；

2.對(duì)所整理的函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)不容易確定時(shí)，常常對(duì)導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)函數(shù)的部分函數(shù))二次求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在定理，求出二階導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)，從而判斷原函數(shù)的單調(diào)性；

3.利用求導(dǎo)的方法可求出某一函數(shù)的最值，如果求出的最值仍然是含有變量的表達(dá)式，那么再確定這一表達(dá)式的最值時(shí)仍然需要求導(dǎo).

上面的例題講評(píng)后，筆者再布置了一道題作為課后練習(xí):

練習(xí)已知函數(shù)f(x)=mx+2-ex(m∈R),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)略；(2)已知m=1,k為整數(shù)，若對(duì)任意的x>0，都有(k-x)f′(x)>-x-1恒成立，求k的最大值．

三、反思提升

把握問題本源，探究解法自然.羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中指出：解答數(shù)學(xué)習(xí)題的實(shí)質(zhì)是：“解數(shù)學(xué)題，這就是要找到一種一般數(shù)學(xué)原理(定義、公理、定理、定律、公式)的序列，把這些原理用于習(xí)題的條件或者條件的推論(解答的中間結(jié)果)，得到習(xí)題所要的東西，即習(xí)題的答案.”[1]

因此，在平時(shí)教學(xué)時(shí)，對(duì)一些有難度的題目，可以試著從學(xué)生的角度出發(fā)，幫助學(xué)生形成思考問題的切入點(diǎn)，提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成自然流暢的解題方法，這樣學(xué)生可以多題一解，提煉數(shù)學(xué)的通用方法.從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，擺脫枯燥乏味的題海戰(zhàn)術(shù).