武瑞環(huán)

(太原師范學院 數(shù)學系,山西 晉中 030619)

0 引言

考慮下列線性系統(tǒng):

Ax=b

其中,A∈Rn×n是非奇異矩陣,x,b∈Rn是n維向量.

基本迭代方法為:

Mxk+1=Nxk+b,k=0,1,…

這里,A=M-N，M是非奇異矩陣.則:

xk+1=Txk+c,k=0,1,…,

這里,T=M-1N且c=M-1b.不失一般性,設(shè)A=I-L-U，這里，I,-L,-U分別為矩陣A的對角部分,嚴格下三角部分和嚴格上三角部分.則古典SOR方法的迭代矩陣是:

T=(I-ωL)-1[(1-ω)I+ωU)]

這里，0<ω<2是松弛參數(shù).顯然地，當ω=1，得到古典Gauss-Seidel算法.

對線性系統(tǒng)進行預(yù)處理:

PAx=Pb

其中,P∈Rn×n是預(yù)處理子.

令PA=MP-NP,MP為非奇異矩陣,

則預(yù)處理后迭代方法為:

xk+1=Txk+c,k=0,1,…,

許多科學計算和工程領(lǐng)域，預(yù)處理是一個重要工具.因此，如何尋找合適的預(yù)處理子引起了許多專家和學者的關(guān)注，目前存在許多預(yù)處理子.比如,

Milaszewicz提出預(yù)處理子PC=I+C，這里,

設(shè)AC=PCA=(I+C)A=DC-LC-UC,DC=I+DPC,LC=L+LPC,UC=U+UPC，這里，DPC,-LPC,-UPC分別為矩陣C-CU的對角部分,嚴格下三角部分和嚴格上三角部分.則預(yù)處理SOR方法的迭代矩陣是:

TC=(DC-αLC)-1((1-α)DC+αUC)

這里，0<α<2是松弛參數(shù).

Gunawardena等人考慮預(yù)處理子PS=I+S，這里,

類似地，設(shè)AS=PSA=(I+S)A=DS-LS-US,DS=I+DPS,LS=L+LPS,US=U+UPS，這里，DPS,-LPS,-UPS分別為矩陣S-SU-SL的對角部分,嚴格下三角部分和嚴格上三角部分.則預(yù)處理SOR方法的迭代矩陣是:

TS=(DS-βLS)-1((1-β)DS+βUS)

這里，0<β<2是松弛參數(shù).

1 算法

本章主要考慮下列線性系統(tǒng)的預(yù)處理問題:

這里，0<τ<2是松弛參數(shù).顯然地，當τ=1，得到預(yù)處理的Gauss-Seidel 算法.

為了方便，我們給出一些定義.

定義1對于i,j=1,2,…,n且i≠j,滿足aij<0，則矩陣A為Z矩陣.

定義2矩陣A為M矩陣.若A=sI-B,B≥0且s>ρ(B)，這里ρ(B) 是B的譜半徑.

定義3矩陣A是不可約的,若A的有向圖是強凸的.

2 數(shù)值結(jié)果

例2.1考慮 Weiner-Hopf 方程Anx=b，這里

表1 例2.1的不同方法的迭代矩陣的譜半徑,迭代次數(shù)和迭代時間

3 總結(jié)

在本文中，提出線性系統(tǒng)SOR方法的一種新預(yù)處理子I+C+S，根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)，可以看出該預(yù)處理子在迭代步數(shù)、迭代時間等方面都比古典SOR方法占優(yōu)勢，則具有更好地收斂效果.