張思逸

(湖南幼兒師范高等專科學(xué)校,湖南 常德 415500)

0 引言

高階中立型差分方程振動(dòng)與非振動(dòng)理論在近幾十年來(lái)得到了廣泛的關(guān)注, 這是因?yàn)檫@種方程與微分方程的某些類似的現(xiàn)象非常接近. 此外，這些方程在物理學(xué)和其他領(lǐng)域有許多應(yīng)用[1,2], 特別是, 包含有中立型與延遲項(xiàng)的方程在自然科學(xué)和技術(shù)中有著大量的應(yīng)用[3-7]. 近些年來(lái), 高階中立型差分方程關(guān)于解的非振動(dòng)性問(wèn)題的研究受到很多關(guān)注, 基于上述已知的事實(shí), 本文探討了下面一類非線性高階中立型差分方程

Δm{rnΔkxn}+f(n,xn)=gn,n≥n0,k=1,2,3,….

(1)

的解的非振動(dòng)性. 其中n0,n∈Z+,rn,gn∈R,f(·) 是非負(fù)非減函數(shù), 且Δ是一階差分算子,即Δxn=xn+1-xn.Δm為m階差分算子,其中m≥2且m∈N+, 定義為Δmxn=Δ(Δm-1xn).

1 預(yù)備知識(shí)及主要定理

定義2.1[2]如果存在正整數(shù)N, 對(duì)任意的n≥N,方程(1.1)都有解xn≥0，那么稱{xn}是方程的最終正解; 反之稱為最終負(fù)解.

定義2.2[2]如果方程(1)或者方程(1)的解{xn}既不是最終正解也不是最終負(fù)解，則稱之為振動(dòng)的；否則稱之為非振動(dòng)的.

|xi-xj|<ε.

定理2.4[2](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)X是Banach空間, Ω是X非空有界的凸閉子集. 如果有算子T:Ω→Ω是連續(xù)的且使得T(Ω)?Ω且T(Ω)是相對(duì)緊集.則T至少存在著一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

下面證明此文的主要結(jié)果.

定理2.5假設(shè)函數(shù)f是連續(xù)有界函數(shù), 若存在n0∈N使得下列條件成立:

(2)

則式(1)存在著一個(gè)非振動(dòng)解.

證明:現(xiàn)設(shè)M1,M2是正常數(shù), 且有下面的條件成立:

M1≤α≤2α≤M2

設(shè)有集合

A={xn∈X:M1≤xn≤M2,n≥n1},其中n1∈N.

顯然, A是集合X中的一個(gè)有界凸閉子集.

定義算子:

由假設(shè)條件可知存在著n0∈N, 使得當(dāng)n≥n0時(shí),有下式成立:

(3)

首先證明, 對(duì)n≥n1和xn∈A有S:A→A. 根據(jù)假設(shè)(2), 則有

另一方面, 由式(2)則有

因此就得到了S(A)?A，同時(shí)也證明了S(A)是一致有界集合. 下面證明映像S具有連續(xù)性.

取A中的數(shù)列{xnl},且當(dāng)l→∞ 時(shí)有xnl→xn, 則

因?yàn)閒是連續(xù)的, 即當(dāng)l→∞ 時(shí), 有 |f(j,xjl)-f(j,xj)|→0. 即有

這也就證明了S是連續(xù)的.

對(duì)任意的x∈A,N2>N1≥n1有

因此,|SxN2-SxN1|≤ε,綜上所述, 根據(jù)定義2.3,則集合S(A)是相對(duì)緊集.再由定理2.4,則存在xnp∈A,使得Sxnp=xnp,p∈N.又由于 X 是一個(gè)完備的Banach 空間, 因此當(dāng)p→∞ 時(shí)有xnp→x,即x是(1)的非振動(dòng)解. 證畢.

類似地, 若設(shè)M3,M4是負(fù)常數(shù), 且存在負(fù)常數(shù)α有下面的條件成立:M3≤α.再設(shè)X中的一個(gè)有界凸閉子集為B={xn∈X:M4≤xn≤M3}, 其中n1∈N且n≥n1.

定理2.6假設(shè)函數(shù)f是連續(xù)有界函數(shù),若存在n0∈N使得式(2)成立. 則問(wèn)題(1)在 B 上存在著一個(gè)非振動(dòng)解.

證明:若n1∈N且n1>n0, 定義算子:

由假設(shè)條件可知當(dāng)n1充分大時(shí),存在正常數(shù)M使得 2α≤-M≤α且有下式成立:

(4)

首先證明, 對(duì)n≥n1和xn∈B有S:B→B. 根據(jù)假設(shè)(2.1), 則有

另一方面, 由式(4)則有

因此就得到了S(A)?A，同時(shí)也證明了S(A)是一致有界集合. 類似于定理2.5的余下的證明, 可以得到 S 是一個(gè)全連續(xù)算子. 因此根據(jù)定理2.4,則存在xnp∈A,使得Sxnp=xnp,p∈N.又由于 X 是一個(gè)完備的Banach 空間, 因此當(dāng)p→∞ 時(shí)有xnp→x,即x是(1)的非振動(dòng)解. 證畢.