張莉　朱茜

摘 要：引入稀疏編碼思想實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)信息的最優(yōu)非線性逼近，在圖像去噪方面已取得較好的實(shí)驗(yàn)效果。本文對(duì)圖像去噪模型進(jìn)行分析，介紹了稀疏編碼思想實(shí)現(xiàn)圖像去噪的原理，并對(duì)經(jīng)典的稀疏去噪模型進(jìn)行對(duì)比與分析。最后，基于稀疏模型對(duì)去噪算法進(jìn)行分析，提出了稀疏模型在其他研究領(lǐng)域的展望。

關(guān)鍵詞：稀疏編碼 字典學(xué)習(xí) 自相似性 非局部 圖像去噪

中圖分類(lèi)號(hào)：TP751.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2019）03（b）-0133-03

Abstract： The sparse coding can achieve the optimal nonlinear approximation of data information， and has achieved good experimental results in image denoising. This paper through analyze the image denoising， introduce the principle of image denoising by sparse coding， and understand and analyze the classical image denoising methods based on the sparse model. Finally， based on the sparse model， the denoising algorithm is analyzed， and the prospect of sparse model in other research fields is proposed.

Key Words： Sparse coding； Dictionary learning； Self-similarity； Nonlocal； Image denoising

圖像是視覺(jué)的基礎(chǔ)，是自然景物的客觀反映，是我們社會(huì)活動(dòng)中最常用的信息載體。據(jù)統(tǒng)計(jì)，一個(gè)人獲取的信息大約有75%來(lái)自視覺(jué)[1]。圖像可以直觀、生動(dòng)地顯示出客觀事物的具體信息，隨著各種數(shù)碼產(chǎn)品和數(shù)字儀器的普及，圖像以其快捷的優(yōu)勢(shì)，已成為我們獲取外界原始信息的主要途徑。然而在圖像的獲取、傳輸和存貯過(guò)程中時(shí)常會(huì)受到外界干擾或者自身因素影響而使圖像降質(zhì)，掩蓋了圖像的真實(shí)信息，給我們的后續(xù)工作帶來(lái)了一定困擾。

圖像去噪借助于現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)盡可能的保持圖像原始信息完整性（即主要特征），又能夠去除信號(hào)中的干擾信息[2]。圖像去噪算法多涉及數(shù)學(xué)方法，比如概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、偏微分方程等。圖像去噪領(lǐng)域，稀疏表示模型具有較好的理論完備性和圖像去噪效果，受到了國(guó)內(nèi)外很多研究學(xué)者的關(guān)注[3-6]。

1 稀疏編碼

稀疏編碼（Sparse Coding）最早出現(xiàn)在20世紀(jì)Stephane Mallat和張志峰的研究中[7]，文章也首次提出“字典”的概念。緊接著，Scott Shaobing Chen等人基于圖像塊，提出用范數(shù)對(duì)圖像的稀疏性進(jìn)行客觀評(píng)估。對(duì)自然圖像中的信息提取、特征保護(hù)、圖像恢復(fù)等問(wèn)題的有效解決具有重要的理論現(xiàn)實(shí)意義與實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值。

在現(xiàn)實(shí)生活中，圖像x經(jīng)過(guò)一系列外界干擾，退化成圖像y，在具體研究過(guò)程中，我們的目標(biāo)是對(duì)退化圖像y進(jìn)行研究分析，找到合適的方法使其復(fù)原接近于原始圖像x，同時(shí)又要保證解的唯一性，稀疏編碼思想給我們的實(shí)踐研究提供了一個(gè)新思路。假定字典D，圖像目標(biāo)列b，通常采用規(guī)則化方法進(jìn)行優(yōu)化：

這里，矩陣D是滿秩矩陣，矩陣DDT是正定矩陣，因此該優(yōu)化過(guò)程是可逆操作。

基于稀疏編碼的圖像去噪方法，首要任務(wù)是對(duì)數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行采樣，同時(shí)對(duì)其進(jìn)行稀疏編碼，算法模型的建立可概括為兩類(lèi)：基于合成（Synthesis-based）建立稀疏模型[8]、基于分析（Analysis-based）建立稀疏模型[9]。前者是由于數(shù)據(jù)信號(hào)本身具有稀疏性，所以假定圖像的每一個(gè)圖像塊都可以用一個(gè)稀疏向量表示出來(lái)，并且該向量中絕大多數(shù)元素都是零，且數(shù)據(jù)信號(hào)越稀疏其稀疏向量中的原子接近零或者等于零的個(gè)數(shù)就越多。對(duì)圖像構(gòu)建學(xué)習(xí)字典，利用式（6）分別獲取每一圖像列的最優(yōu)解。而基于分析建立稀疏模型，則是對(duì)圖像進(jìn)行分類(lèi)、建組，利用類(lèi)、組信息的非局部自相似性進(jìn)行稀疏求解。具體實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，根據(jù)不同需求情況，分析算子可以有多種形式，比如卷積、投影、求導(dǎo)、Curvelet、小波變換等。

2 經(jīng)典算法分析

2.1 基于合成的稀疏模型

（1）K-SVD算法[10]的目標(biāo)函數(shù)為：

作為經(jīng)典的學(xué)習(xí)字典算法，K-SVD根據(jù)最小誤差原則，有效解決了高維矩陣求解問(wèn)題，通過(guò)對(duì)誤差項(xiàng)進(jìn)行SVD分解，選擇使誤差最小的分解項(xiàng)作為更新的字典原子核對(duì)應(yīng)的原子系數(shù)，經(jīng)過(guò)不斷迭代從而得到最優(yōu)解。式中，U是圖像的所有圖像塊集合，D是對(duì)圖像塊進(jìn)行學(xué)習(xí)獲得的過(guò)完備字典，Λ是稀疏編碼系數(shù)。K-SVD算法中字典D進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)更新，并利用字典D和系數(shù)Λ對(duì)圖像塊進(jìn)行降噪處理。

（2）CSR算法[11]目標(biāo)函數(shù)為：

將圖像分成固定大小的圖像塊，以該圖像塊的位置坐標(biāo)為中心、以該圖像塊對(duì)應(yīng)的灰度值為目標(biāo)，在中心塊中去尋找相似圖像塊進(jìn)行聚類(lèi)學(xué)習(xí)。式中，Di是對(duì)圖像塊ui進(jìn)行聚類(lèi)后學(xué)習(xí)獲得的PCA特征字典，μi是對(duì)稀疏系數(shù)αi的近似估計(jì)。算法利用PCA特征字典對(duì)圖像塊進(jìn)行稀疏編碼，非相關(guān)圖像塊對(duì)應(yīng)的稀疏系數(shù)項(xiàng)統(tǒng)一設(shè)為0，使得目標(biāo)函數(shù)在l1范數(shù)的稀疏編碼過(guò)程更加快速，從而提高了算法的迭代收斂速度。

（3）PGPL算法[12]的字典構(gòu)造模型為：

式中，正則化特征字典D由字典DE、DI合并而成，其中，DE用于保護(hù)圖像的特征信息，由自然干凈圖像學(xué)習(xí)字典的前r個(gè)特征值構(gòu)建而成，圖像DI由噪聲圖像學(xué)習(xí)獲得，以補(bǔ)充圖像的個(gè)體化特征信息。

2.2 基于分析的稀疏模型

（1）BM3D算法[13]的目標(biāo)函數(shù)為：

式中，、是圖像在水平方向、垂直方向上的梯度，f是觀測(cè)圖像，α1、α2是非負(fù)正則化參數(shù)。該算法是基于k-support范數(shù)的圖像去噪模型，將k-support范數(shù)引入圖像梯度域作為正則化項(xiàng)，使得該圖像去噪模型中的稀疏解的非零元具備一定關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而取得較好的圖像去噪效果。

（3）組稀疏模型算法[15]為：

式中，f是觀測(cè)圖像，α是非負(fù)正則化常數(shù)，用于約束圖像在水平方向和垂直方向上的兩個(gè)梯度、。該模型利用圖像邊緣信息具有連續(xù)性且梯度較大這一特性，構(gòu)造組稀疏正則化算子，在圖像梯度域選取鄰近k個(gè)點(diǎn)組成一組，既考慮了圖像內(nèi)部稀疏特性又兼顧了圖像邊緣連續(xù)性，這樣構(gòu)造出來(lái)的就包含了圖像的部分先驗(yàn)知識(shí)，該模型在圖像去噪方面有較好的表現(xiàn)效果。

3 質(zhì)量評(píng)價(jià)方法

圖像去噪算法的量化指標(biāo)和性能評(píng)價(jià)方法很多，但是相比于圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)的主觀方法，客觀評(píng)價(jià)方法基于相關(guān)數(shù)學(xué)模型，在實(shí)驗(yàn)研究中更有利于對(duì)算法進(jìn)行評(píng)價(jià)。我們常見(jiàn)的評(píng)價(jià)方法有均方差（Mean Squared Error，MSE）、相對(duì)誤差（Relative Error，RE）、信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）、結(jié)構(gòu)相似性（Structural Similarity，SSIM）[16]、峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）[17]和實(shí)時(shí)性等。假設(shè)原始圖像X，復(fù)原圖像Y，圖像大小m×n，則：

基于結(jié)構(gòu)相似性的度量準(zhǔn)則可以從兩幅圖像的結(jié)構(gòu)特征判定算法的優(yōu)劣，其結(jié)果更符合人類(lèi)的視覺(jué)特征，更接近人類(lèi)的視覺(jué)觀察。式中，uX、uY分別是圖像X、Y的平均值；是圖像X、Y的方差；σXY是圖像X和Y的協(xié)方差；k1、k2是分母的非零常數(shù)項(xiàng)；L是圖像最大灰度值。

4 結(jié)語(yǔ)

基于稀疏編碼思想，圖像去噪問(wèn)題轉(zhuǎn)化為稀疏殘差優(yōu)化問(wèn)題。近年來(lái)的經(jīng)典算法有：BM3D、LSSC[18]、EPLL[19]、NCSR[20]、WNNM[21]、PGPD[22]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

基于合成的模型是從學(xué)習(xí)的角度建立字典，適用于任何類(lèi)型的圖像，但只局限于低維度信號(hào)，并且計(jì)算復(fù)雜度較高?；诜治龅哪Ｐ褪菑姆蔷植孔韵嗨菩缘慕嵌?，適合高維圖像，但是大多算法只考慮噪聲圖像的非局部自相關(guān)先驗(yàn)知識(shí)，而忽略了自然圖像的非局部自相關(guān)信息。畢竟算法本身是在搜索窗口中進(jìn)行相似塊的匹配，其實(shí)質(zhì)上在有噪聲干擾情況下并不能較好地進(jìn)行相似塊的匹配。

基于稀疏性建立模型對(duì)圖像進(jìn)行去噪的研究已經(jīng)達(dá)到了相當(dāng)高的水平，這些方法可拓展應(yīng)用在圖像去模糊、超分辨率方面會(huì)有較好的理論價(jià)值和意義。

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