賈程宏，侯瑜京，魏迎奇，張雪東，張紫濤，梁建輝

（中國水利水電科學(xué)研究院 巖土工程研究所，北京 100048）

1 研究背景

土工離心模型試驗是將模型置于特定的離心機中，使1/n縮尺的模型在ng離心加速度的空間進行試驗。由于慣性力與重力絕對等效，且高加速度不會改變工程材料的性質(zhì)，從而使模型與原型的應(yīng)力應(yīng)變相等、變形相似、破壞機理相同，能再現(xiàn)原形特性［1］。土工離心模型試驗技術(shù)的發(fā)明大大推動了巖土工程的學(xué)科進步，目前土工離心模型試驗技術(shù)被應(yīng)用于巖土工程領(lǐng)域的諸多方面，侯瑜京等［2］在離心機中研究了垃圾土邊坡的失穩(wěn)特性；魏迎奇等［3］基于LXL-4-450離心試驗平臺，對新型機載設(shè)備及相應(yīng)的試驗成果進行了總結(jié)。張雪東等［4］通過土工離心模型試驗研究了水下爆破對大壩的影響。近年來巖土力學(xué)的發(fā)展對土工離心模型試驗的設(shè)計提出了更高的要求。在土工離心模型試驗中，模型的變形監(jiān)測是很重要的一部分，傳統(tǒng)的測量手段有：（1）差動變壓器式位移傳感器。它是線性可變差動變壓器（英文簡稱：LVDT）的一種，屬于接觸式傳感器。工作原理簡單地說是鐵芯可動變壓器，在離心模型試驗中，需要嚴格控制LVDT與模型表面的接觸，以保證測得數(shù)據(jù)的準確性，這必然會對模型的物理性能產(chǎn)生一定的影響，且傳感器的量程和布設(shè)個數(shù)限制了位移的測量范圍和數(shù)量［5］。再加上高重力場的影響，使得它不能在試驗過程中及時跟蹤被測表面的沉降，抗干擾能力較差。（2）激光傳感器。離心模型試驗中的激光傳感器采用高分辨率CMOS線性陣列和DSP技術(shù)工作并借助測量角度確定距離，它的測量精度高，抗干擾能力強，但是它的光強會受到多種因素的影響，且只能測量事先布置好的有限個點的數(shù)據(jù)。不同于以上兩種測量手段，攝影測量技術(shù)通過電子攝像設(shè)備獲取模型在加載過程中的圖像，從而獲得模型表面任意時刻的位移場［6-7］。

因為攝影測量技術(shù)具有非接觸、直觀、測量范圍廣等優(yōu)點，許多土工離心機技術(shù)研究人員提出了研制攝影系統(tǒng)的要求。攝影測量技術(shù)的基本原理是通過分析模型圖像中關(guān)鍵點的位置變化，計算模型對應(yīng)位置的位移量。這種基于數(shù)字圖像的位移測量技術(shù)因其無需人為標點等優(yōu)點已在土工試驗、離心模型試驗以及現(xiàn)場試驗中得到了一些應(yīng)用［8-9］。清華大學(xué)張嘎教授團隊應(yīng)用攝影測量技術(shù)對土坡的變形發(fā)展直至破壞的全過程進行了測量［10］。應(yīng)用攝影測量技術(shù)可以根據(jù)具體要求，計算模型表面各點在任意方向上的位移，從而分析出模型在任意方向上的變形。中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所的任偉中教授等應(yīng)用數(shù)碼像機數(shù)字化近景攝影測量技術(shù)對采礦過程中地表及上、下盤巖體中的位移進行了量測［11］。以上研究主要是對模型表面各點平面位移的測量以及對非離心狀態(tài)下模型三維變形的測量?；谶@些研究成果，本文提出了三維攝影測量技術(shù)，該技術(shù)應(yīng)用兩臺攝像機實現(xiàn)了對土工離心模型變形的三維測量，并且擴大了測量的范圍。

2 三維攝影測量技術(shù)原理

劉懷忠等從攝像設(shè)備成像的透視原理出發(fā)，對物-像坐標的對應(yīng)關(guān)系進行推導(dǎo)，獲取像坐標到物坐標的表達式［8］。這種方法通過模型箱坐標系、攝像機視點坐標系、物像坐標系、像素坐標系4個空間坐標系建立物-像坐標之間的關(guān)系，由已知坐標的參考點對各坐標系之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)以及攝像機的內(nèi)置參數(shù)進行標定。參照這種方法，本文建立了可以應(yīng)用于土工離心模型試驗變形監(jiān)測的三維攝影測量技術(shù)。

在土工離心模型試驗中，攝像機采用的是CCD（Charge-coupled Device）成像技術(shù)，因此建立世界坐標系、相機坐標系（光心坐標系）、圖像坐標系和像素坐標系4個坐標系，攝影流程如圖1所示，4個坐標系之間的關(guān)系如圖2所示，其中，M為三維空間點，m為M在圖像平面投影成的像點。世界坐標系是客觀三維世界的絕對坐標系，在土工離心模型試驗中，世界坐標系即為模型箱坐標系，X軸、Y軸和Z軸分別沿模型箱的長邊、寬邊以及高邊建立，不隨模型箱的轉(zhuǎn)動而改變。在此坐標系中，用（Xw，Yw，Zw）表示各點的坐標值。相機坐標系以相機的光心為坐標原點，X軸和Y軸分別平行于圖像坐標系的X軸和Y軸，相機的光軸為Z軸，用（Xc，Yc，Zc）表示此坐標系中各點的坐標值。圖像坐標系以CCD圖像平面的中心為坐標原點，X軸和Y軸分別平行于圖像平面的兩條垂直邊，用（x，y）表示此坐標系中各點的坐標值，用物理單位（例如毫米）表示像素在圖像中的位置。像素坐標系以CCD圖像平面的某一個頂點為原點，X軸和Y軸分別平行于圖像坐標系的X軸和Y軸，用（u，v）表示此坐標系中各點的坐標值。

圖1 攝影流程圖

圖2 四個坐標系的關(guān)系圖

圖3 圖像坐標系與像素坐標系的關(guān)系

數(shù)碼相機采集的圖像首先形成標準電信號的形式，然后再通過模數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像。每幅圖像的存儲形式是M×N的數(shù)組，M行N列的圖像中每一個元素的數(shù)值代表的是圖像點的灰度。這樣的每個元素叫像素，像素坐標系就是以像素為單位的圖像坐標系。像素坐標系與圖像坐標系的關(guān)系如圖3所示。利用齊次坐標可將它們之間的關(guān)系表示為矩陣形式：

其中（u0，v0）是圖像坐標系原點在像素坐標系中的坐標，dx和dy分別是每個像素在圖像平面X軸和Y軸方向上的物理尺寸，且大小相等。圖像坐標系與相機坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為：

其中f為焦距，也就是像平面與相機坐標系原點的距離?？捎谬R次坐標陣將上述關(guān)系表示為矩陣形式：

相機坐標系與世界坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為：

其中，R為3×3正交旋轉(zhuǎn)矩陣，t為三維平移向量，綜合起來可得像素坐標與世界坐標之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，用矩陣形式可表示為：

在上述轉(zhuǎn)換式（6）中，共含有7個參數(shù)，分別是三維狀態(tài)下相機的3個位置參數(shù)，構(gòu)成三維平移向量t，3個角度參數(shù)，構(gòu)成正交旋轉(zhuǎn)矩陣R，以及由相機焦距和像素在圖像坐標軸上的物理尺寸決定的無量綱參數(shù)a。根據(jù)式（6），可由已知像素坐標和世界坐標的標記點標定出攝像機的這7個參數(shù)。若已知一點的像素坐標（u，v），則式（6）中含有Zc、Xw、Yw、Zw共4個未知量，故無法求解。若使用兩臺攝像機拍攝到的結(jié)果，方程可以增加3個，未知量只增加了1個Zc，這時就有6個方程，只包含5個未知量，可以進行求解。

3 三維攝影測量技術(shù)在土工離心模型試驗中的應(yīng)用

3.1 試驗簡介在對三維攝影測量技術(shù)的原理進行探究后，本文將該技術(shù)應(yīng)用于具體的土工離心模型試驗中進行了計算與驗證。離心模型試驗的原型是西南某軟土地基土石壩，軟土地基的含水量高，天然空隙相對較大，具有較高的壓縮性［12-14］。由于軟土地基工程性質(zhì)較差，施工期和工后期地基土的持續(xù)沉降、變形會造成其上的構(gòu)筑物損壞、失穩(wěn)［15］。

土石壩模型壩體土料的基本參數(shù)如表1所示，壩基淤泥土的基本參數(shù)如表2所示。

試驗布置如圖4所示，軟土壩基模型長1.28 m，寬0.715 m，土石壩模型高0.12 m，坡比為1∶2.7。試驗前在土石壩模型表面用石灰及顏料繪制了50個標記點，試驗過程中用這些標記點表示壩基及土石壩的位移狀態(tài)。為了盡可能的拍攝到所有的標記點，且能夠計算出它們的實時三維坐標，將兩臺型號為208C的攝像機1號、2號對稱地架設(shè)于模型箱的頂部兩端，其拍攝效果如圖5所示（試驗前）。

表1 壩體土料基本參數(shù)

表2 壩基土料基本參數(shù)

圖4 試驗布置圖

圖5 兩臺攝像機拍攝效果

離心模型試驗過程如圖6所示。離心模型試驗共分為5個階段，試驗過程全部被兩臺攝像機記錄下來，試驗后模型效果如圖7所示。由圖7可以看出，離心模型試驗后土石壩模型發(fā)生了明顯的沉降，尤其是壩頂，這種沉降沿著壩坡面逐漸減小，壩底及與壩坡相交處的壩基甚至有向上拱起的趨勢。為了描述土石壩模型在離心模型試驗過程中的變形，從錄像中選取了離心加速度分別為0g（試驗前）、20g、40g、60g時對應(yīng)的圖像。由于離心加速度為40g和60g時，有較長時間的穩(wěn)定期，故各選取了3張圖像，分別是40g穩(wěn)定期開始、運行145 s、結(jié)束時以及60g穩(wěn)定期開始、運行90 s、結(jié)束時對應(yīng)的圖像。

圖6 試驗過程圖

圖7 試驗后模型效果

3.2 參數(shù)標定所有選取圖像的像素大小相同，寬度方向上的像素大小為352，高度方向上的像素大小為288，選取離心加速度為0g時的圖像，找到各個標記點在圖像中的像素坐標。確定各個標記點像素坐標的具體操作方法是先找到每個標記點四個角點的坐標，再計算出其形心坐標作為該點的像素坐標。以模型箱的長邊、寬邊以及高邊為世界坐標系的X軸、Y軸、Z軸，計算出初始時各個標記點的世界坐標。在已知這些標記點的像素坐標和世界坐標的前提下，通過Matlab程序分別迭代計算出1號攝像機和2號攝像機的參數(shù)。經(jīng)過計算，得到1號、2號攝像機的參數(shù)如表3所示。

表3 攝像機1號、2號的參數(shù)

圖8 離心加速度為0g時各個標記點的理想世界坐標

圖9 兩臺攝像機計算結(jié)果與拍攝效果對比圖

利用求得的相機參數(shù)，由離心加速度為0g時各個標記點的理想世界坐標計算出其像素坐標。之所以稱為理想世界坐標，是因為試驗過程中，各個標記點實際的世界坐標因模型制作不平整，必然會與理想中的世界坐標有所出入。將計算得到的像素坐標與1號、2號攝像機拍攝到的結(jié)果進行對比，如圖8～9所示。圖8采用世界坐標系，即模型箱坐標系，圖9采用像素坐標系，像素單位為1。

經(jīng)過計算，標記點的像素坐標在由計算得到的結(jié)果與由圖像得到的結(jié)果之間，圖9（a）中，像素坐標系X軸上的平均偏差是0.06個像素坐標，Y軸上的平均偏差是0.07個像素坐標；圖9（b）中，像素坐標系X軸上的平均偏差是0.01個像素坐標，Y軸上的平均偏差是0.02個像素坐標。綜上，兩個方向上像素坐標的平均偏差相對于該方向上像素大小的比均小于0.3%，引起偏差的主要原因是模型表面并非理想平面。計算結(jié)果說明相機參數(shù)合理有效，可以用于計算分析模型的變形過程。

3.3 變形計算由離心機加速度為0g時兩臺攝像機拍攝到的圖像，計算出此時各個標記點的世界坐標。需要說明的是，在同一時刻，攝像機1號與2號拍攝到的標記點可能不同，為有效計算，這里只統(tǒng)計計算兩臺攝像機共同拍攝到的標記點。將計算結(jié)果同模型的理想世界坐標進行對比，如圖10所示。

測得所有標記點的世界坐標同其理想世界坐標的平均偏差，在模型箱長度方向上為0.08 mm（絕對值，下同），在模型箱寬度方向上為0.30 mm，在模型箱高度方向上為0.35 mm。相比于模型尺寸，三個方向上的偏差比均小于1%，且偏差在三個方向上的標準差分別為5.50 mm、5.69 mm、5.41 mm，有一定的波動，但波動幅度接近，主要原因是模型表面非理想平面，個別標記點的實際世界坐標與理想值偏差較大，但這些偏差并不會影響對于模型整體變形的判斷。在本試驗中，我們主要關(guān)注模型的沉降變形，即各個標記點的z值變化，故下文中提到的各坐標數(shù)值默認為z值。

接下來，選取兩臺攝像機拍攝到離心加速度分別是20g、40g、60g時的模型圖像，其中，20g時1張，40g、60g時各3張，計算統(tǒng)計出每張圖像上各個標記點的像素坐標。利用這些像素坐標，通過Matlab程序計算出對應(yīng)離心加速度時各個標記點的世界坐標，并與離心加速度為0g時（初始狀態(tài)）計算出的各個標記點的世界坐標進行對比，如圖11所示。

圖10 0g時各個標記點的世界坐標同其理想值的對比

圖11 不同狀態(tài)下各個標記點的世界坐標同初始狀態(tài)的對比

計算結(jié)果表明，在離心模型試驗過程中，隨著離心加速度的增大，壩體逐漸下沉，且壩頂沉降最明顯，壩頂中部沉降超過50 mm，兩側(cè)沉降略小于50 mm，可能與模型箱側(cè)壁的摩擦限制沉降有關(guān)。最大沉降變形超過壩體高度的40%，最終發(fā)生了變形破壞。離心試驗結(jié)束時的壩頂沉降如圖12所示，靠近壩頂?shù)?個標記點的平均沉降量為50.99 mm，沉降量標準差為1.00 mm。

圖12 沿壩頂線的最終沉降量

圖13 沿壩坡與壩基相交線附近的最終沉降量

壩坡表面沉降量沿著壩坡向下逐漸減小，在接近與壩基相交處，沉降量變得很小，局部出現(xiàn)向上拱起的現(xiàn)象。由于壩坡與壩基相交處已知標記點較少，因此以接近相交線的一組壩坡上標記點為研究對象。這一區(qū)域的沉降量均小于10 mm，如圖13所示。已知4個標記點的平均沉降量為5.74 mm，沉降量標準差為2.02 mm。

隨著距離壩坡與壩基相交處越來越遠，壩基的沉降也越來越明顯，但本次試驗所測范圍有限，可測范圍內(nèi)沉降量均小于10 mm。為研究土石壩模型在整個試驗過程中的變形，取最具代表性、數(shù)據(jù)最全的模型中軸線上的一系列數(shù)據(jù)進行研究，如圖14所示。

圖14 試驗過程中土石壩模型中軸線上的變形

圖中實線是根據(jù)試驗開始前各個標記點位置擬合而成的，可以看出，前文所陳述的結(jié)果在此圖中也有所反映。離心模型試驗過程中，壩頂沉降最大，且沉降量沿著壩坡向下逐漸減小，在壩坡與壩基相交處，沉降量很小，局部區(qū)域出現(xiàn)向上拱起的現(xiàn)象，遠離壩體的壩基也發(fā)生了明顯的沉降。由圖14還可以看出，在下沉過程中，壩體逐漸向壩基一側(cè)移動。

3.4 對照分析在試驗過程中，模型箱頂部用金屬架固定了一臺激光傳感器。激光傳感器是型號為CP08MHT80的高精度測距傳感器，直線性為0.1%，具有8 μm的高分辨率。

由于激光傳感器測量范圍是模型中軸線附近的壩坡，所以可將激光傳感器測得對應(yīng)時間的壩坡沉降變形過程與前文結(jié)果進行對照。由激光傳感器測得土石壩模型中軸線附近壩坡的沉降變形如圖15所示。

圖15 試驗過程中土石壩模型中軸線附近壩坡的沉降變形

由圖15可以看出，在離心模型試驗過程中，模型中軸線附近壩坡的沉降隨著離心加速度的增大而增大。數(shù)據(jù)表明，最終壩頂沉降為49.11 mm，且沉降量沿著壩坡向下逐漸減小，在與壩基的相交線處，沉降量小于10 mm，變形不明顯。對照圖14，由激光傳感器和三維攝影測量技術(shù)測得的模型沉降變形過程一致，說明三維攝影測量技術(shù)可用于對該離心模型進行變形監(jiān)測。

試驗中由激光傳感器測量的區(qū)域與三維攝影測量的標記點不重合，選取激光傳感器測量區(qū)域周圍的3組標記點，求取各組標記點試驗結(jié)束時（60g-3）沿模型箱高度方向上的坐標平均值，并將它們與由激光傳感器測量得到的結(jié)果進行對比，如圖16所示。數(shù)據(jù)表明，由三維攝影測量技術(shù)與激光傳感器測得數(shù)據(jù)的最大偏差是8.89 mm，占土石壩模型高度的7.4%，平均偏差是0.56 mm，占土石壩模型高度的0.5%。造成偏差的主要原因是兩種方法測量的點不重合，模型表面并非理想平面且在試驗過程中發(fā)生不均勻變形。

圖16 由激光傳感器與三維攝影測量技術(shù)測量得到的結(jié)果對比

相比于激光傳感器，三維攝影測量技術(shù)除了可以監(jiān)測模型的沉降，還可以得到模型表面標記點在其它方向上的位移，這對分析模型的整體變形乃至破壞過程具有指導(dǎo)性的意見。由三維攝影測量技術(shù)得到的模型中軸線上各標記點在沿模型箱長度、高度兩個方向上的最終位移如圖17所示，說明壩體在向下沉降的同時，還會側(cè)向移動，壩體變形不均勻，最終發(fā)生破壞。

因此，本文提出的三維攝影測量技術(shù)可適用于土工離心模型的變形監(jiān)測，應(yīng)用該技術(shù)可以實現(xiàn)對模型某個區(qū)域變形過程的監(jiān)測，為分析模型的變形以及破壞提供依據(jù)。

圖17 土石壩模型中軸線上各標記點的最終位移

4 結(jié)論

（1）本文提出了三維攝影測量技術(shù)并將其應(yīng)用在離心模型試驗中，可以實現(xiàn)變形的三維監(jiān)測，目前在土工離心模型試驗中應(yīng)用的攝影測量技術(shù)僅限于對模型平面變形的測量。（2）本文提出的三維攝影測量技術(shù)應(yīng)用到軟基土石壩的離心模型試驗中，試驗中還采用了激光位移傳感器進行模型監(jiān)測，試驗結(jié)果表明兩種方法測得的變形趨勢一致，數(shù)值相近。表明本文提出的技術(shù)可以應(yīng)用于離心模型試驗。（3）為了進一步在土工離心模型試驗中推廣應(yīng)用三維攝影測量技術(shù)，還需要提高測量精度，具體措施有：將用于標定攝像機參數(shù)的標記點設(shè)在模型箱壁上，每一步計算前均重新標定攝像機的參數(shù)；試驗中架設(shè)3臺攝像機，校正計算結(jié)果；考慮并解決由于攝像機畸變而引起的系統(tǒng)誤差。