李貽芬

傳染病模型是研究傳染病發(fā)展規(guī)律的科學，通過數學模型可以預測傳染病的未來發(fā)展.在理論研究中，數學模型起著極其重要的作用［1］；它把傳染病的主要特征通過假設、參數、變量和它們之間的聯(lián)系清晰地揭示出來，數學模型的分析結果能提供許多強有力的理論基礎；用數學模型幫助發(fā)現傳染病的傳播機理，預測傳染病的流行趨勢已成為共識［2］.

1 常用傳染病傳播模型

近年來，越來越多的研究者開始利用隨機模型來描述環(huán)境變化下的傳染病發(fā)展過程，確定性的傳染病模型一般都是倉室模型.隨著社會流動性的增強，傳染病的空間擴展呈現出新的模式，倉室模型很難處理，而來源于空間生態(tài)學的復合群體一叩方法在大空間尺度的傳染病傳播建模中得到了應用，近年來隨著復雜性科學的興起，微觀建模蓬勃發(fā)展，與社會網絡相結合，發(fā)展出基于網絡的微觀個體建模方法，為認識傳染病的傳播規(guī)律提供了新的途徑.建立傳染病傳播模型主要有三種方法.

1.1 單一群體

單一群體模型，所有疾病發(fā)生、傳播發(fā)生在每個倉室之間.最流行的單一群體模型是倉室模型，所有處于相同狀態(tài)的人構成一個倉室，隨著狀態(tài)的變化，人員在倉室之間移動.倉室模型的基本假設是每個人與相同人群均勻混合和接觸是瞬時的，接觸沒有記憶性，每個倉室的人口數量足夠大.因此在傳染病流行過程中，感染率，恢復率是常數.因此，多數模型可以直接用（偏）微分方程描述.其中非常經典的就是1927Kermack-McKendrick模型，即“SIR”和“SIS”模型［3］.

1.2 復合群體

復合群體是指一個相對獨立地理區(qū)域內各局域種群的集合，各局域種群通過個體遷移而連為一體，在研究傳染病傳播時，復合群體模型將人群看作由定義明確的社會單元形成的空間結構化人口，各單元之間因個人移動產生聯(lián)系.每個社會單元是一個子群體，所有社會單元形成復合群體.復合群體模型多種多樣，但有兩個基本特征：一是子群體之間的藕合方式，二是子群體內部動態(tài)的表達.

1.3 微觀個體（網格網絡模型）

單一群體模型或復合群體模型的子群體中，一般假設個體同質，人群均勻混合，但實際上個體只能與有限個體接觸，個體接觸模式差異較大，用網絡描述接觸模式更符合實際.比較典型的網絡動力學模型有：元胞自動機、人工神經網絡、隨機布爾網絡、無標度網絡等模型，其中元胞自動機、人工神經網絡和無標度網絡是目前流行病數學模型中研究較多應用較廣的模型.

2 改進優(yōu)化的傳染病傳播新模型

常用傳染病傳播模型關注的重點：一是傳染病在子群體之間的流轉對復合群體整體動態(tài)的影響，這類模型相對簡單，容易分析，對理解傳染病在復合群體中的傳播有一定幫助，但難以對真實系統(tǒng)進行分析和預測，二是顯式表達子群體內部動態(tài)，多采用較簡單的模型，如果這類模型能夠刻畫真實系統(tǒng)，但有大量的微分方程，求解困難，只能對簡單結構的復合群體模型進行解析研究，對于具有高度真實性的模型，需采用仿真方法［4］.針對常用傳染病傳播模型的不足，我們的改進點如下.

（1）在一張任意給定的地圖上構造大范圍的城鎮(zhèn)—城鎮(zhèn)、鎮(zhèn)內倉室—倉室的感染理論模型，并進行編程模擬分析，獲得相應數據.

（2）運用涵蓋了單一群體方法和復合群體方法，并且使用數組迭代和（偏）微分方程結合的方法，克服復合群體網絡中模型個體過于簡單、求解微分方程困難的問題，并且可以獲得長時間的傳染數據.

（3）新引入了一個動態(tài)模型，考慮受感染后城市可能采取的隔離措施，這將導致人口的交流頻率減少，將城市分為兩種狀態(tài)，分別是加強隔離前后的兩個狀態(tài)，這個模型滿足馬爾科夫鏈的條件，我們構造兩個狀態(tài)間的概率矩陣和狀態(tài)轉換矩陣，每運行一步概率矩陣都乘以狀態(tài)轉換矩陣，然后利用極大似然的思想判斷之后的狀態(tài)會怎么變化，即城市是否會采取加強隔離的措施［5］.

2.1 構建隨機地圖

生成有限網絡：生成的每一個點代表一個城市，每個城市之間的人員交流用外接矩陣描述.本程序的結果是輸出一個鄰接矩陣和一個描述城市之間交流關系的三維點狀圖.鄰接矩陣是由一個低階的矩陣逐步生成的，低階矩陣有三種模式可選，一種是零矩陣，表示初始都孤立，第二個表示點都相互連接，第三個是隨機矩陣，他們對應的鄰接矩陣分別是比較稀疏、密集、隨機.

以某方式賦予每個點一個概率值.

在生成下一個點的連接關系時，對概率進行求和，和一個隨機數比較，由大小來判斷是否連接.在輸出的三維點狀圖中，有交流的城市以直線相連，城市在圖中的位置和實際的幾何關系無關，含有連線則表示兩城市間可以流通人口，無連線表示不能直接相連（可以通過其他城市間接相連）.設定城市個數=10，初始矩陣=隨機矩陣.

三維點狀圖如圖1所示.

圖1 三維點狀圖

2.2 城市和城市間內部模型構建

采用與復合模型一致的方法，感染人群服從SIR模型.我們把一個城市內的人口分為患病人群x1、易感人群x2、免疫人群x3、死亡人群x4；a、b、c分別為傳染率、治愈率、死亡率，則滿足dx1/dt=ax1x2-bx1(x2+x3)-cx1，dx2/dt=-ax1x2，dx3/dt=bx1(x2+x3)，dx4/dt=cx1.

城間傳播模型建立：考慮到現有模型在解決復合群體問題時微分方程復雜性過大，我們采用數列的方式來規(guī)避過大運算量，即以天為基本單位，對于相鄰的數天采取數列關系時運算，可以保證一定精度的同時，大幅減少復雜度.

考慮每一天不同城市的人口交流，人口交流的情況用鄰接矩陣刻畫，存在人口交流的城市滿足：i(t+1,m)=i(t,m)-ci(t,m)+ci(t,n)，i(t+1,n)=i(t,n)-ci(t,n)+ci(t,m)，其中，i(t,m)表示m城市第t天中某種人群的人數，c是人口遷移率，我們認為病人和健康人的遷移率不同.本模型的關鍵是將這兩種傳染的方式耦合求解，得到每個城市的實時傳染情況.

用ode45函數來解SIR模型的微分方程，輸入初始的傳染情況，就能得到一天后的傳染情況，取傳染率=0.80，治愈率=0.02，死亡率=0.01.

計算每個城市實時傳染情況：假定最后一個城市先爆發(fā)疾病，除該城市外，初始每個城市易感人群為1個單位，其余3個人群數量為0，最后一個城市有0.02個單位的人患病，0.98個單位的人為易感.先計算每一天城市內的傳染情況，再考慮城際的人口交流，總時間為240天，最后會得到四種人群在每個城市的實時人數的矩陣.

2.3 考慮政府干預的模型

3 優(yōu)化的傳染病傳播新模型仿真計算結果

3.1 無政府干預情況

（1）城市傳染情況.運算結果輸出了4個240*10的矩陣，橫軸表示城市，縱軸表示天數，繪制出每個城市傳染病情的實時變化情況，如圖2～圖5所示（圖中為易感人群，為感染人群，為抗體人群，為死亡人群）.

圖2 第4個城市的實時情況

圖3 第3個城市的實時情況

圖4 第2個城市的實時情況

圖5 第1個城市的實時情況

從圖2～圖5可以看出，在每一個城市，四種人群的比例都趨于一定值，易感人群為0，感染人群在 0～0.1，抗體人群在 0～0.2，死亡人群在0.7～0.9，不同城市的變化趨勢基本相同，但在時間上有延遲，不同城市的病情的差異也源于這個時間上的延遲，而這個時間上的延遲和城市的空間分布有關.

（2）距離因素分析.定義兩城市的距離為其最短路徑，最短路徑可以通過鄰接矩陣用dijkstra算法求出.通過這個矩陣，我們可以研究易感率、感染率、抗體率、死亡率和到發(fā)病城市的距離的關系，如圖6～圖9所示.

從圖6～圖9可以看出，距離為1的城市病情已經趨于穩(wěn)態(tài)，感染人群很少，預計很快會降為0，易感人數已經為0，抗體人數較少，之后會有小幅度上升，死亡率較大，但之后基本不變.距離為2的城市情況和前者類似，之后的一段時期會重復前者的情況，但病情沒有那么劇烈.距離為3的城市由于空間距離遠，時間的延遲性強，體現了低感染率，高易感率，低抗體率，低死亡率，預計之后的情況和前兩種的變化趨勢一致，但由于其他城市的影響較小，現有病情較輕，所以達到穩(wěn)態(tài)后的病情也不會比前兩者嚴重.

圖6 易感率與網絡上傳染范圍的柱形圖

圖7 死亡率與網絡上傳染范圍的柱形圖

圖8 抗體率與網絡上傳染范圍的柱形圖

圖9 感染率與網絡上傳染范圍的柱形圖

研究四種人群數量和網絡的關系，xy平面是每個城市的位置，連線表示兩個城市間有交流，z軸為某一個人群的人數，在各個城市中，藍色為初始的爆發(fā)城市.結束時死亡數量、結束時抗體數量、結束時感染數量、結束時易感數量與地圖形狀關系的三維點狀圖如圖10～圖13所示.

從圖10～圖13可以看出，病情最嚴重的城市主要是和爆發(fā)城市直接相連的城市和各個城市都有連接的大城市，嚴重來說后者的病情比前者更嚴重，這就可以解釋現實中大城市是傳染病的高發(fā)區(qū)這一現象了.

圖10 結束時死亡數量和地圖形狀關系的直觀表達

圖11 結束時抗體數量和地圖形狀關系的直觀表達

圖12 結束時感染數量和地圖形狀關系的直觀表達

圖13 結束時易感數量和地圖形狀關系直觀表達

3.2 有政府干預情況

每個城市傳染病情的實時變化情況，如圖14～圖17所示.易感率、感染率、抗體率、死亡率和到發(fā)病城市的距離的關系，如圖18～圖21所示.結束時抗體數量、死亡數量、感染數量及易感數量和地圖形狀關系如圖22～圖25所示.

圖14 第四城市的實時情況

圖15 第三城市的實時情況

圖16 第二城市的實時情況

圖17 第一城市的實時情況

圖18 抗體率與網絡上傳染范圍的柱形圖

圖19 感染率與網絡上傳染范圍的柱形圖

圖20 死亡率與網絡上傳染范圍的柱形圖

圖21 易感率與網絡上傳染范圍的柱形圖

圖22 結束時抗體數量和地圖形狀關系的直觀表達

圖23 結束時死亡數量和地圖形狀關系的直觀表達

圖24 結束時感染數量和地圖形狀關系的直觀表達

圖25 結束時易感數量和地圖形狀關系的直觀表達

考慮了政府的隔離措施后，很明顯，病情得到了抑制，對一些連接較多的大城市和直接與爆發(fā)城市相連的城市而言，依然迅速爆發(fā)了疫情，但對于其他城市，疫情隔了接近200天才爆發(fā)，此時疫情比起不隔離時更弱了，更關鍵的是，經過了200多天的疫情，人們對疫情有了基本的認識，有了一定的治療方法，當200天爆發(fā)時，真實的病情將遠弱于此模擬結果.可見政府的隔離很有效.

4 結論

在隨機地圖上模擬的疾病傳播過程，利用倉室基本模型，結合SIR模型，并且利用數組迭代方法模擬城市間的傳播，獲得了詳細的數據，并且從理論上說，可以適用于多個倉室的模擬，可以大大增加SIR模型的復雜度.新引入的一個動態(tài)模型，滿足馬爾科夫鏈的條件，我們構造兩個狀態(tài)間的概率轉換矩陣，每運行一步都乘以這個矩陣，然后通過極大似然法處理之后的狀態(tài)會如何變化.模擬表明城市采取加強隔離措施，并且對疾病的惡化傳播有明顯抑制.