劉開封，孟海東，陳奇昌，陳 穎，王長(zhǎng)江

(火箭軍研究院第六研究所，北京 100090)

0 引言

標(biāo)準(zhǔn)彈道/軌跡制導(dǎo)法(也稱跟蹤制導(dǎo)法)是在航天飛行器工程領(lǐng)域中得到成功應(yīng)用的制導(dǎo)方法[1]。由于臨近空間的環(huán)境復(fù)雜性和不確定性，處于臨近空間飛行的飛行器實(shí)際飛行軌跡可能與參考軌跡存在較大偏差，普通的基于狀態(tài)方程線性化的跟蹤制導(dǎo)方法對(duì)于小擾動(dòng)情況效果較好，但應(yīng)用于如臨近空間之類大擾動(dòng)跟蹤制導(dǎo)時(shí)，狀態(tài)方程線性化可能造成較大的制導(dǎo)方法誤差[2]。因此，文中設(shè)計(jì)了一種具有積分型切換函數(shù)的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)方法(adaptive sliding mode guidance with integral switch function, ISFASMG)，該方法基于線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator, LQR)設(shè)計(jì)反饋增益，并在LQR跟蹤制導(dǎo)律表達(dá)式中增加了自適應(yīng)制導(dǎo)項(xiàng)，修正線性化跟蹤制導(dǎo)的方法誤差，使其具有更強(qiáng)的魯棒性，適用于大擾動(dòng)的臨近空間跟蹤制導(dǎo)。

1 基于ISFASMG的縱向跟蹤制導(dǎo)方法

1.1 具有積分型切換函數(shù)的滑模控制

考慮如下線性不確定系統(tǒng):

[B(t)+ΔB(t)]U(t)+[D(t)+ΔD(t)]TL

(1)

式中:ΔA、ΔB和ΔD分別為系統(tǒng)參數(shù)和外加干擾的不確定性；TL為外加干擾。

上述系統(tǒng)可轉(zhuǎn)換為:

(2)

式中:E(t)為總不確定項(xiàng)，具體如下:

(3)

式中:B+=(BTB)-1BT。

設(shè)計(jì)如下積分型切換函數(shù):

(4)

式中:F為正常數(shù)矩陣；K為狀態(tài)反饋增益矩陣。

(5)

由上式可以看出，通過設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益K，可達(dá)到理想的控制效果。

設(shè)計(jì)控制器為[3]:

(6)

由式(4)對(duì)t求導(dǎo)，并將式(2)和式(6)代入，得:

Bf·sgn[s(t)]+BE}

(7)

FB{E-f·sgn[s(t)]}

(8)

則:

FB[E·s-f·abs(s)]

(9)

由于f≥abs[Ei(t)]，則:

(10)

說明系統(tǒng)穩(wěn)定。

由式(6)可以看出，滑?？刂破髟诰€性反饋的基礎(chǔ)上增加了一項(xiàng)f·sgn[s(t)]，而f≥abs[Ei(t)]。又由式(3)可以看出，Ei(t)反應(yīng)了系統(tǒng)參數(shù)誤差和外部干擾，因此滑模控制器可修正狀態(tài)方程線性化的方法誤差和外部干擾，具有更強(qiáng)的魯棒性。

1.2 自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

由式(6)可以看出，控制器中需要確定E(t)的上界。然而，在實(shí)際控制過程中，總不確定項(xiàng)E(t)的上界往往難以確定，因此需采用自適應(yīng)控制方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)E(t)的上界的自動(dòng)自適應(yīng)估計(jì)。

(11)

式中:ε為自適應(yīng)項(xiàng)的增益向量，滿足ε>0。

則自適應(yīng)滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)為:

(12)

定義Lyapunov函數(shù):

(13)

則:

(14)

由式(11)，同式(9)推導(dǎo)，得:

(15)

(16)

由式(15)和式(16)，則式(14)可轉(zhuǎn)換為:

(17)

即證明了自適應(yīng)滑模控制的穩(wěn)定性。

1.3 基于LQR的狀態(tài)反饋增益設(shè)計(jì)

基于積分型切換函數(shù)的滑模控制需要合理的設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益矩陣K，文中基于線性二次型調(diào)節(jié)理論[4]設(shè)計(jì)反饋增益。

線性系統(tǒng)描述如下：

(18)

式中:X(t)為系統(tǒng)狀態(tài)；U(t)為控制變量；Y(t)為系統(tǒng)輸出。

如果希望系統(tǒng)的理想輸出為Y*(t)，則e=Y*(t)-Y(t)為誤差向量。

對(duì)于終端時(shí)間自由的最優(yōu)控制問題，通常定義以下形式二次型性能指標(biāo):

UT(t)T(t)U(t)]dt

(19)

式中:Q(t)為對(duì)稱半正定矩陣；T(t)為對(duì)稱正定矩陣；積分式中eT(t)Q(t)e(t)和UT(t)T(t)U(t)分別為狀態(tài)誤差和控制誤差，積分表示過程誤差的累積。

當(dāng)C(t)=I，理想輸出Y*(t)=0時(shí)，則控制的目的是使Y(t)=X(t)=e(t)=0。即用最小的控制量使?fàn)顟B(tài)保持在零值附近，稱為線性二次型狀態(tài)調(diào)節(jié)問題。

根據(jù)Hamilton極小值原理，得上述系統(tǒng)的最優(yōu)控制為：

U*(t)=-T-1(t)BT(t)P(t)X

(20)

P滿足如下Riccati微分方程及邊界條件:

(21)

令最優(yōu)增益矩陣K為：

K=-T-1(t)BT(t)P(t)

(22)

則：

U=KX

(23)

1.4 縱向跟蹤制導(dǎo)問題建模

假設(shè)地球?yàn)椴恍D(zhuǎn)均質(zhì)圓球，得縱向運(yùn)動(dòng)方程為[5-6]：

(24)

由上式可以看出，縱向運(yùn)動(dòng)僅與傾側(cè)角大小相關(guān)，因此可通過調(diào)節(jié)攻角和傾側(cè)角大小跟蹤縱向軌跡，而通過傾側(cè)角符號(hào)控制航向?qū)崿F(xiàn)側(cè)向軌跡的跟蹤。

(25)

式中：

式中:CLv、CLr、CLα為氣動(dòng)升力系數(shù)CL對(duì)v、r、α的偏導(dǎo)數(shù)；CDv、CDr、CDα為氣動(dòng)阻力系數(shù)CD對(duì)v、r、α的偏導(dǎo)數(shù)；ρr為大氣密度ρ對(duì)地心矢徑r的偏導(dǎo)數(shù)。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，可令二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣Q和T為對(duì)角矩陣，則二次型性能指標(biāo)可轉(zhuǎn)換為:

Q33(δr)2+T11(δα)2+T22(δ|γc|)2]dt

(26)

式中:Q11、Q22和Q33分別為矩陣Q的對(duì)角線元素，T11和T22分別為T的對(duì)角線元素。為反映各參數(shù)之間的權(quán)重比，參照文獻(xiàn)[7-8]，可令：

其中δvmax、δΘmax、δrmax、δαmax和δ|γc|max分別為對(duì)v、Θ、r、α和|γc|的跟蹤誤差最大允許偏差，需根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或仿真結(jié)果人為設(shè)定。

至此，根據(jù)式(21)和式(22)，便可計(jì)算出LQR反饋增益矩陣K。

(27)

將式(4)變形得:

(28)

(29)

由式(27)可以看出，基于積分型切換函數(shù)的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)方法較普通LQR跟蹤方法，增加了一項(xiàng)自適應(yīng)項(xiàng)，該項(xiàng)反映了對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和外部干擾不確定性的自適應(yīng)修正，包括大擾動(dòng)情況下狀態(tài)偏差線性化帶來的方法誤差，增加了制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性。

2 基于航向走廊的側(cè)向制導(dǎo)方法

縱向跟蹤控制器僅能確定傾側(cè)角γc的大小，不能確定它的符號(hào)。因此必須實(shí)施側(cè)向制導(dǎo)以確定傾側(cè)角γc的符號(hào)，從而獲得完整的制導(dǎo)指令。

通常通過定義航向角偏差走廊實(shí)現(xiàn)對(duì)側(cè)向軌跡的控制。航向角偏差走廊定義為：以單調(diào)變量為自變量(通常為速度v或待飛航程Stogo)，航向角偏差ΔΦ的允許范圍構(gòu)成的走廊形區(qū)域。當(dāng)飛行器位于航向角誤差走廊中時(shí)，代表側(cè)向軌跡在允許偏差范圍內(nèi)，應(yīng)保持當(dāng)前傾側(cè)角符號(hào)不變；當(dāng)飛行器超出航向角偏差走廊時(shí)，繼續(xù)保持當(dāng)前傾側(cè)角符號(hào)會(huì)導(dǎo)致航向角偏差增大，并越來越超出偏差走廊，此時(shí)應(yīng)改變傾側(cè)角符號(hào)，即翻轉(zhuǎn)再入體，使航向角誤差減小并使軌跡回到航向角偏差走廊中。

通常[9-10]，航向角偏差走廊設(shè)計(jì)為“漏斗形”的形狀，如圖1所示。為提供良好的初始條件，航向角偏差走廊在初始階段應(yīng)取較小的允許范圍；在中間部分，為避免傾側(cè)角頻繁改變符號(hào)，導(dǎo)致再入體頻繁翻轉(zhuǎn)增加控制系統(tǒng)負(fù)擔(dān)，中間部分取較大的允許范圍；在終點(diǎn)時(shí)，為保證到達(dá)終點(diǎn)的精度，偏差走廊也應(yīng)取較小的允許范圍。

圖1 航向角偏差走廊示意圖

3 仿真結(jié)果及分析

設(shè)置初始偏差為：δv=100 m/s、δΘ=1°、δΨ=1°、δr=200 m、δλ=0.1°、δφ=0.1°?？v向最大允許偏差為：δvmax=10m/s、δΘmax=0.05°、δrmax=200 m、δαmax=0.2°、δγcmax=1°。氣動(dòng)系數(shù)誤差服從均值為0的正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為氣動(dòng)系數(shù)值的5%，自適應(yīng)系數(shù)取ε=[5,1,3]T。

分別采用LQR跟蹤制導(dǎo)和ISFASMG跟蹤參考軌跡，單次仿真結(jié)果對(duì)比如圖2～圖10所示。由仿真結(jié)果可以看出，使用ISFASMG方法，速度、當(dāng)?shù)厮俣葍A角和地心距離初始誤差能夠很快的減小到一定范圍，說明文中的反饋增益設(shè)計(jì)和自適應(yīng)滑模制導(dǎo)設(shè)計(jì)合理；中期跟蹤軌跡與參考軌跡存在一定的偏差，是由于中期設(shè)置了較大的航向角偏差容許值，但在末段由于航向角偏差容許值減小，跟蹤軌跡基本與參考軌跡重合；在中期傾側(cè)角僅翻轉(zhuǎn)了一次，在接近終點(diǎn)時(shí)為精確控制航向，傾側(cè)角翻轉(zhuǎn)了3次，總翻轉(zhuǎn)次數(shù)較少，說明航向誤差走廊設(shè)計(jì)合理。

并且，ISFASMG對(duì)縱向軌跡參數(shù)的跟蹤精度明顯優(yōu)于LQR，由于文中考慮5%的氣動(dòng)參數(shù)誤差，在再入末期，氣動(dòng)參數(shù)值較大，對(duì)應(yīng)氣動(dòng)參數(shù)誤差也較大時(shí)，LQR跟蹤制導(dǎo)方法對(duì)高度與速度跟蹤誤差較大，導(dǎo)致跟蹤軌跡與參考軌跡偏差較大，而ISFASMG仍能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的跟蹤，證明了ISFASMG在大參數(shù)偏差下的魯棒性優(yōu)勢(shì)。

圖2 地心距離跟蹤對(duì)比

圖3 速度跟蹤對(duì)比

圖4 當(dāng)?shù)厮俣葍A角跟蹤對(duì)比

圖5 航向角控制對(duì)比

如圖11所示，100次跟蹤軌跡打靶結(jié)果表明，ISFASMG方法能夠始終將終點(diǎn)參數(shù)偏差控制在合理的范圍，經(jīng)統(tǒng)計(jì)ISFASMG制導(dǎo)精度偏差(圓概率偏差，circular error probable, CEP)約為L(zhǎng)QR的1/12左右。

圖6 指令攻角與參考攻角

圖7 指令傾側(cè)角與參考傾側(cè)角

圖8 緯度變化對(duì)比

圖9 經(jīng)度變化對(duì)比

圖10 三維軌跡變化對(duì)比

圖11 終點(diǎn)狀態(tài)偏差統(tǒng)計(jì)

4 結(jié)論

文中設(shè)計(jì)了一種具有積分型切換函數(shù)的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)方法，該方法在LQR跟蹤制導(dǎo)律中增加了自適應(yīng)項(xiàng)，修正了狀態(tài)方程線性化的方法誤差和外部干擾，使其具有更強(qiáng)的魯棒性，適用于大擾動(dòng)的臨近空間飛行段制導(dǎo)。對(duì)比仿真結(jié)果表明，ISFASMG方法能夠很好地對(duì)縱向軌跡參數(shù)進(jìn)行跟蹤，大擾動(dòng)情況下制導(dǎo)精度明顯優(yōu)于LQR跟蹤制導(dǎo)。