四邊形上一種線性雙有理映射構(gòu)造方法

吳 夢，陳 沖，王旭輝，錢毅加

四邊形上一種線性雙有理映射構(gòu)造方法

吳 夢，陳 沖，王旭輝，錢毅加

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009)

作為一種特殊的有理映射，雙有理映射可應(yīng)用于圖像變形、等幾何分析中區(qū)域參數(shù)化中。針對文獻(xiàn)[1]通過幾何方法構(gòu)造四邊形上的雙有理映射，需要先確定權(quán)值再構(gòu)造的問題，提出一種基于動直線的方法，可直接構(gòu)造四邊形上的雙有理映射。此外，通過選擇不同的參數(shù)，可以得到四邊形上不同的雙有理映射。驗(yàn)證可知，該方法滿足文獻(xiàn)[1]提出的權(quán)值比例關(guān)系，并通過實(shí)例說明了其有效性。

雙有理映射；動直線；權(quán)值

雙有理映射是一種特殊的有理映射，其映射與逆映射均為有理的。具體到二元有理映射情形，給定二元有理映射(,)，若其滿足：

雙有理映射具有形式簡單便于計(jì)算等特性，且在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和幾何設(shè)計(jì)中發(fā)揮著重要的作用[2]，同時(shí)也在圖像變形和圖像修復(fù)上有著廣泛的應(yīng)用[3]，HUDSON[4]基于Cremona變換討論了二維有理映射的數(shù)學(xué)理論，但具體應(yīng)用時(shí)需要考慮雙有理映射的構(gòu)造問題，這也是十分新穎的問題。近年來，文獻(xiàn)[1]針對四邊形情形，通過事先對四邊形的頂點(diǎn)賦予適當(dāng)?shù)臋?quán)值，提出了一種四邊形上的雙有理映射的構(gòu)造方法，同時(shí)FLOATER[5]又從重心的角度出發(fā)，重新解釋了在四邊形上的雙有理映射，并且給出了其逆映射的一般形式。文獻(xiàn)[6]通過建立凸六面體的重心坐標(biāo)，找到了滿足特殊條件的權(quán)值的構(gòu)造方法，給出了在凸六面體上的三線性映射為雙有理映射。

動直線是由COX等[7]提出的，是一種解決曲面表示與計(jì)算的代數(shù)工具，在曲線曲面隱式化、坐標(biāo)參數(shù)化以及奇點(diǎn)計(jì)算等方面有著廣泛的應(yīng)用[8]。

本文從動直線出發(fā)，不需要事先通過對頂點(diǎn)賦權(quán)值來構(gòu)造四邊形上的雙有理映射，從而直接給出四邊形上的一種雙有理映射。

1 四邊形上的雙有理映射

則定義在該四邊形上的雙線性映射為

一般情況下，該映射不是雙有理映射。然而，文獻(xiàn)[1]將頂點(diǎn)賦上適當(dāng)?shù)臋?quán)值w，通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了權(quán)值需要滿足的關(guān)系式，即當(dāng)權(quán)值滿足比例關(guān)系