秦浩星　楊德慶

摘要： 通過建立聲子晶體負(fù)泊松比蜂窩基座的等效動(dòng)力學(xué)模型，研究該基座局域共振減振機(jī)理。探討動(dòng)力學(xué)參數(shù)（固有頻率比、質(zhì)量比、阻尼比）、聲子晶體的周期層數(shù)等對(duì)基座減振性能的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明，當(dāng)聲子晶體固有頻率與基座固有頻率接近時(shí)，能有效降低基座發(fā)生結(jié)構(gòu)共振時(shí)的響應(yīng)幅值。建立聲子晶體蜂窩基座的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，優(yōu)化得到具有指定局域共振固有頻率的聲子晶體結(jié)構(gòu)。動(dòng)力學(xué)頻響計(jì)算表明，該優(yōu)化設(shè)計(jì)基座能夠有效抑制結(jié)構(gòu)的低頻共振現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞： 減振; 聲子晶體; 負(fù)泊松比; 蜂窩; 基座

中圖分類號(hào)： U661.44; O735? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? 文章編號(hào)： 1004-4523（2019）03.0421.10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004.4523.2019.03.006

引 言

船舶大型化發(fā)展趨勢(shì)，造成船體結(jié)構(gòu)固有頻率隨之降低，而船舶動(dòng)力設(shè)備載荷的峰值主要集中在低頻段，這將導(dǎo)致船體共振現(xiàn)象和振動(dòng)響應(yīng)幅值顯著增加。此外低頻振動(dòng)線譜分量能量較大，輻射距離遠(yuǎn)，是影響艦艇隱蔽性的主要因素。常見的單層、雙層、浮筏、浮艙、浮動(dòng)地板等減振隔振裝置，存在著低頻減振效果不好、不能適應(yīng)外擾變化等缺點(diǎn)[1]，傳統(tǒng)的減振設(shè)計(jì)方法有隔振、吸振和阻尼減振技術(shù)等[2.3]?；侵С写皠?dòng)力設(shè)備的重要結(jié)構(gòu)，在保證其結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的前提下，適當(dāng)減小其剛度有利于提高減振效果，通過對(duì)基座進(jìn)行減振設(shè)計(jì)來降低船舶結(jié)構(gòu)振動(dòng)是有效途徑之一[4.5]，主要是通過改變基座自身結(jié)構(gòu)形式和尺寸以達(dá)到減振效果[6]。

負(fù)泊松比材料具有不同于普通材料的獨(dú)特性質(zhì)，其高空隙率和低密度的特點(diǎn)，在結(jié)構(gòu)輕量化與減振降噪方面有廣泛應(yīng)用[7.8]，成為工程領(lǐng)域不可缺少的材料之一[9.11]。圍繞泊松比效應(yīng)材料在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方面的特性，以下學(xué)者做了相關(guān)的研究：李永強(qiáng)等[12.13]研究了蜂窩夾層板主共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)特性，分析了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響。Hnig等[14]研究了正六角蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)抗沖擊性能。Banerjee等[15]利用等效連續(xù)介質(zhì)模型研究了蜂窩結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)特性。Hayes等[16]采用微極理論研究了正六角形蜂窩胞元的蜂窩結(jié)構(gòu)在垂向簡諧力激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)變形。文獻(xiàn)[17.18]采用尺寸優(yōu)化方法研究了內(nèi)六角負(fù)泊松比蜂窩材料的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)減振、抗沖性能的影響規(guī)律。對(duì)于蜂窩多孔材料在減振方面的工程應(yīng)用研究仍存在不足，尤其是對(duì)于低頻段的減振效果不佳。

聲子晶體是指由彈性固體周期排列在另一種固體或流體介質(zhì)中形成的一種新型功能材料。國內(nèi)外對(duì)聲子晶體的研究主要圍繞晶體的聲學(xué)特性上，現(xiàn)有文獻(xiàn)較少涉及到結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性研究。此外，聲子晶體在理論研究領(lǐng)域受到了很多關(guān)注，但對(duì)于應(yīng)用領(lǐng)域的研究較少。Pennec等[19]采用數(shù)值模擬的方法研究了周期性板中的局域共振型帶隙特性，并在試驗(yàn)中進(jìn)行了驗(yàn)證;Diaz.De.Anda等[20]從理論的角度研究了聲子晶體中周期Timoshenko桿的彎曲振動(dòng)帶隙，吳旭東等[21]提出了一種雙側(cè)振子布置形式的局域共振聲子晶體梁結(jié)構(gòu)，并基于傳遞矩陣法和有限元法分析了雙帶隙配合減振的特性。對(duì)于聲子晶體的低頻減振特性，劉正猷等[22]提出了聲子晶體的局域共振的概念，為聲子晶體在低頻減振降噪領(lǐng)域的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[23.24]以梁框架結(jié)構(gòu)低頻減振為目標(biāo)，將質(zhì)量放大局域共振聲子晶體嵌入框架結(jié)構(gòu)中，對(duì)框架結(jié)構(gòu)一階固有頻率進(jìn)行聲子晶體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，抑制了一階固有頻率處的振動(dòng)。文獻(xiàn)[25.26]利用手性結(jié)構(gòu)進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)，在低頻段實(shí)現(xiàn)了局域共振帶隙的拓寬。張佳龍等[27]提出一種正八邊形孔狀局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)，在中低頻范圍內(nèi)具有較好的隔聲特性;Lai等[28]和Mei等[29]基于局域共振機(jī)理設(shè)計(jì)了體和薄膜超材料，解決了低頻降噪減振的控制問題。利用局域共振型的聲子晶體結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)低頻減振的優(yōu)點(diǎn)，文獻(xiàn)[30]中將聲子晶體結(jié)構(gòu)的可設(shè)計(jì)性與負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座局域剛度的可設(shè)計(jì)性相結(jié)合，提出一種聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座，但對(duì)該基座的減振機(jī)理缺少深入分析。

本文在文獻(xiàn)[30]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座的減振機(jī)理，通過建立動(dòng)力學(xué)模型探討聲子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)該基座減振性能的影響規(guī)律，提出低頻局域共振型聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座設(shè)計(jì)的方法。

1 聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座〖2〗1.1 負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座? 本文采用文獻(xiàn)[30]中的負(fù)泊松比蜂窩基座模型，該負(fù)泊松比蜂窩基座結(jié)構(gòu)如圖1所示，其由三部分組成：上面板、蜂窩芯、下面板，結(jié)構(gòu)長400 mm，高300 mm，寬224 mm，共7層胞元，上下面板厚6 mm。胞元形狀為內(nèi)凹等高度可閉合蜂窩胞元，壁厚、胞元內(nèi)凹角分別為1 mm，-38.2°，基座上面板承載的設(shè)備質(zhì)量為500 kg。

1.2 聲子晶體蜂窩基座的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

在負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過添加周期性分布的聲子晶體（由鉛塊與橡膠塊構(gòu)成），設(shè)計(jì)聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座。即以蜂窩基座的蜂窩單胞為基體，向單胞內(nèi)填充橡膠和鉛塊，鉛塊作為散射體，橡膠作為彈性體，從而得到局域共振型聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座，如圖2所示。

蜂窩胞元中聲子晶體結(jié)構(gòu)的尺寸定義方式如圖3所示：蜂窩單胞寬度B、高度H、內(nèi)凹角θ;散射體寬度b、散射體高度d;彈性體厚度h?；捎娩摬闹圃?，楊氏模量210 GPa，密度7800 kg/m3，泊松比0.3;橡膠的彈性模量為1 MPa，密度為1300 kg/m3;鉛塊的彈性模量為40.8 GPa，密度為11600 kg/m3。

聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座的局域共振減振機(jī)理〖2〗2.1 聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座的簡化動(dòng)力學(xué)模型? 本文將聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座簡化為圖4所示質(zhì)點(diǎn)系振動(dòng)系統(tǒng)。M，K分別為蜂窩基座的質(zhì)量（設(shè)備質(zhì)量與基座自身結(jié)構(gòu)質(zhì)量之和）和整體垂向剛度;F為外載荷激振力;x為蜂窩基座的垂向振動(dòng)位移。設(shè)基座中有n個(gè)聲子晶體;mi，ki，ci，xi（i=1，2，…，n）分別表示第i個(gè)聲子晶體的質(zhì)量、垂向剛度、阻尼系數(shù)和垂向振動(dòng)位移響應(yīng)。聲子晶體的質(zhì)量為鉛塊和橡膠塊的質(zhì)量之和，聲子晶體的剛度為橡膠塊的垂向剛度。

綜上，當(dāng)聲子晶體與蜂窩基座的固有頻率接近（fp=fn）時(shí)，適當(dāng)?shù)呐渲米枘岵牧?，能夠有效抑制蜂窩基座在共振頻率點(diǎn)速度響應(yīng)峰值，實(shí)現(xiàn)低頻減振。

2.3 聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座的減振機(jī)理分析? 局域共振聲子晶體結(jié)構(gòu)如圖3所示，由于閉合的剛性邊界和彈性介質(zhì)的存在，基體中傳播的行波被共振單元局域化，平移局域共振模態(tài)被激發(fā)，基體可等效為剛性的邊界，等效模型如圖9所示。彈性波在聲子晶體結(jié)構(gòu)中傳播，即等效為在圖9動(dòng)力系統(tǒng)[31]中施加激振力F，當(dāng)外載荷F的激振頻率與彈性體反饋力N的頻率相同時(shí)，兩作用力反向疊加，基體合外力為零，因而基體趨于靜止?fàn)顟B(tài)，彈性波局域化，振動(dòng)無法傳播，僅限于共振單元（散射體）中，由基體中傳播的彈性波被局域共振的散射體（鉛塊質(zhì)量塊）吸收，導(dǎo)致該頻率的彈性波無法通過聲子晶體結(jié)構(gòu)而傳播出去。

l通過上述理論和三類參數(shù)（γ，μ，ζ）計(jì)算分析表明：

（1） 通過在負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)胞元內(nèi)嵌入聲子晶體，有效抑制了低頻段的結(jié)構(gòu)振動(dòng)現(xiàn)象，從而實(shí)現(xiàn)了“小尺寸晶體控制大波長”。

（2） 在聲子晶體共振結(jié)構(gòu)中，由于橡膠塊彈性體包覆層的存在，將較硬的鉛塊連接在基體上，組成了具有低頻的共振單元。當(dāng)基體中傳播的彈性波的頻率接近共振單元的共振頻率時(shí)，共振結(jié)構(gòu)單元將與彈性波發(fā)生強(qiáng)烈的耦合作用，使其不能繼續(xù)向前傳播，從而實(shí)現(xiàn)減振效果。

（3） 通過設(shè)計(jì)單個(gè)聲子晶體的動(dòng)力學(xué)參數(shù)（質(zhì)量、剛度、阻尼），可改變聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座共振頻率附近的減振效果，即由單個(gè)聲子晶體的局域共振特性決定。

（4） 下文中分析的聲子晶體周期分布層數(shù)與減振效果的規(guī)律表明，隨著聲子晶體中彈性體填充率的增加（質(zhì)量比的增大），聲子晶體基座的減振效果增強(qiáng)。

對(duì)于局域共振型聲子晶體，以上四條基本特征，是認(rèn)定局域共振型聲子晶體時(shí)常用的判據(jù)。局域共振機(jī)理表明，彈性波激振頻率接近聲子晶體周期結(jié)構(gòu)中散射體的固有頻率時(shí)，彈性波的能量大幅度的被散射體吸收，從而隔離了彈性波在聲子晶體周期結(jié)構(gòu)中的傳播。因此，局域共振型聲子晶體周期結(jié)構(gòu)的減振本質(zhì)是利用散射體的局部共振現(xiàn)象吸收彈性波能量。本文設(shè)計(jì)的聲子晶體負(fù)泊松比蜂窩基座結(jié)構(gòu)中，利用聲子晶體結(jié)構(gòu)的局域共振特性，吸收由激振力引起的彈性波能量，降低傳遞到蜂窩基座的能量，從而減小蜂窩基座的響應(yīng)。

3 局域共振型聲子晶體的減振優(yōu)化設(shè)計(jì)? 基于上述減振機(jī)理分析，本文將設(shè)計(jì)一種局域共振型聲子晶體，通過優(yōu)化方法設(shè)計(jì)聲子晶體固有頻率fp使其等于蜂窩基座固有頻率fn，之后分析該聲子晶體負(fù)泊松比蜂窩基座在共振頻率點(diǎn)的速度響應(yīng)，驗(yàn)證其減振性能。由于聲子晶體中存在橡膠材料，因此該聲子晶體蜂窩基座的阻尼特性比較復(fù)雜，為簡化優(yōu)化過程，擬采用臨界阻尼忽略阻尼比對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響。

3.1 聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)基座的減振性能評(píng)價(jià)方法? 為比較減振效果，對(duì)照文獻(xiàn)[30]中原蜂窩基座減振系統(tǒng)，本文建立聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)基座動(dòng)力學(xué)模型，以便于分析添加聲子晶體后的聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座的減振效果。

將該基座安裝在指定板架上形成減振系統(tǒng)（如圖10所示）。支撐板架長2000 mm，寬710 mm，板厚6 mm。板架縱骨采用T型材TN50×50×5×7，肋骨用等邊角鋼L20×3;板架及基座均采用楊氏模量210 GPa，密度7800 kg/m3，泊松比0.3的鋼材制造。基座上面板所承載的設(shè)備質(zhì)量為500 kg，在基座上面板節(jié)點(diǎn)處均勻施加垂向簡諧激振力（振幅為20 N，10.500 Hz），板架的兩條短邊簡支，臨界阻尼系數(shù)取2%。

選取板架骨材上6個(gè)評(píng)價(jià)點(diǎn)的速度頻響幅值來評(píng)價(jià)基座減振效果，評(píng)價(jià)點(diǎn)的分布位置如圖11所示。

為評(píng)價(jià)該聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)基座的減振效果，分別計(jì)算了添加聲子晶體前/后結(jié)構(gòu)的頻響結(jié)果，對(duì)速度響應(yīng)共振峰值時(shí)對(duì)應(yīng)的六個(gè)評(píng)價(jià)點(diǎn)振動(dòng)幅值進(jìn)行比較，添加聲子晶體前、后的速度頻響結(jié)果分別如圖16和17所示。表1中，添加聲子晶體前、后固有頻率分別為25.48 Hz和24.83 Hz，對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)點(diǎn)速度響應(yīng)共振峰值進(jìn)行了總結(jié)，各評(píng)價(jià)點(diǎn)的速度幅值降低了13.0%.20.8%（1.2.2.0 dB）。這表明該聲子晶體負(fù)泊松比蜂窩基座能夠有效抑制低頻共振現(xiàn)象，具有較好的低頻減振性能。

4 聲子晶體層數(shù)對(duì)減振性能影響規(guī)律

基于優(yōu)化后的聲子晶體蜂窩基座，分析聲子晶體周期分布層數(shù)與減振效果的影響規(guī)律，按照由上而下的位置分布（如圖18所示），分別計(jì)算聲子晶體層數(shù)為1，3，5，7層時(shí)減振系統(tǒng)中各評(píng)價(jià)點(diǎn)的速度響應(yīng)幅值，并提取對(duì)應(yīng)的整體系統(tǒng)耦合一階垂向振動(dòng)固有頻率點(diǎn)處的速度響應(yīng)峰值（如表2所示）。表3總結(jié)了聲子晶體層數(shù)對(duì)應(yīng)的減振系統(tǒng)速度頻響峰值變化率。

表2和3表明，添加聲子晶體后各評(píng)價(jià)點(diǎn)的速度頻響峰值得到有效控制，且隨著聲子晶體層數(shù)的增加，各評(píng)價(jià)點(diǎn)的速度頻響峰值趨于減小。說明該聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座能夠有效抑制共振峰值。圖19總結(jié)了聲子晶體層數(shù)與速度頻響幅值減少量之間的關(guān)系，隨著聲子晶體層數(shù)的增加，基座的減振效果逐漸提升。

5 結(jié) 論

本文研究了聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座的減振機(jī)理。建立簡化動(dòng)力學(xué)模型以分析聲子晶體動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)基座減振性能的影響規(guī)律，總結(jié)了減振機(jī)理，并分析聲子晶體層數(shù)與減振性能的關(guān)系。結(jié)論如下：

（1） 通過理論與計(jì)算分析，驗(yàn)證了聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)蜂窩基座的低頻局域共振減振機(jī)理。

（2） 當(dāng)聲子晶體固有頻率與蜂窩基座固有頻率接近時(shí)，能夠有效減小基座的共振響應(yīng)峰值。

（3） 通過優(yōu)化聲子晶體的固有頻率，能抑制蜂窩基座的共振現(xiàn)象，并保證整體結(jié)構(gòu)的重量最小。

對(duì)于聲子晶體負(fù)泊松比效應(yīng)基座的研究尚待實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，且對(duì)彈性體（橡膠）的阻尼效應(yīng)也考慮不夠，后續(xù)研究將針對(duì)這些問題深入研究。

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Abstract： In this paper， the local resonance reduction mechanism of phononic crystal cellular mount with auxetic effects is studied by establishing the dynamic model. The influence of the dynamic parameters （natural frequency ratio， mass ratio and damping ratio） on the vibration reduction performance of this mount is analyzed. It was shown that the frequency response of the cellular mount in the vicinity of the resonant frequency can be effectively reduced when the natural frequency of the phononic crystal is close to the natural frequency of the cellular mount. Then， the optimization design model of the phononic crystal auxetic cellular mount is established， and the phononic crystal structure with the specified local resonant frequency is obtained. The dynamic frequency response characteristics of this novel mount are calculated， which shows that the novel mount has better vibration reduction performance in low frequency resonance.

Key words： vibration reduction; phononic crystal; auxetic; cellular; mount

作者簡介： 秦浩星（1989.），男，博士生。電話：15821170061;E.mail：qinhaoxing@163.com

通訊作者： 楊德慶（1968.），男，教授，博士生導(dǎo)師。E.mail：yangdq@sjtu.edu.cn