摘 要：同步是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的一個重要，又有趣的現(xiàn)象.研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步具有重要意義.在本文中，就離散網(wǎng)絡(luò)及其同步做了簡單描述，介紹了使離散網(wǎng)絡(luò)同步的三種控制方法：脈沖控制，牽制控制與自適應(yīng)控制.

關(guān)鍵詞：離散網(wǎng)絡(luò)；同步；脈沖控制；牽制控制；自適應(yīng)控制

Control Methods to Synchronize Discrete-time Networks

WANG Yaoyao

（Jiangxi College of Engineering，338000，Xinyu）

Abstract：Synchronization is an important and interesting phenomenon of complex networks.There is an significant research value in complex networks.In this paper，discrete-time networks and its synchronization are described briefly and three control methods--impulsive control，pinning control and adaptive control--are introduced to synchronize discrete-time networks

Key words：discrete network；synchronization；impulsive control；pinning control；adaptive control

1 引言

在真實世界中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無處不在，例如萬維網(wǎng)，電網(wǎng)，社交網(wǎng)絡(luò)，交通網(wǎng)絡(luò)以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)指的是具有自組織，自相似，吸引子，小世界，無標(biāo)度中的部分或全部性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò).研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，即研究各種從表面上看去互不相同的網(wǎng)絡(luò)之間的共性及處理它們的普適方法.要研究它們結(jié)構(gòu)上的共性，需要借助某種可以用來描述網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)一工具，數(shù)學(xué)上把這種工具稱之為圖（Graph）.就是將任一網(wǎng)絡(luò)看作可由一些節(jié)點通過某種方式連接在一起所構(gòu)成的一個系統(tǒng).具體網(wǎng)絡(luò)的抽象圖表示就是用抽象的點表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，抽象點之間的連線就表示網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點之間的連接關(guān)系.[1] 通常用一個m維變量表示節(jié)點的狀態(tài)，一個從m維空間映到m維空間的對應(yīng)法則表示節(jié)點動力學(xué)，且設(shè)一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點動力學(xué)是相同的.而所謂的同步就是網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點都達(dá)到同一個目標(biāo)狀態(tài).一般情況，在沒有受任何外力作用下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自身是很難達(dá)到同步的.于是，就需要對網(wǎng)絡(luò)施加適當(dāng)?shù)目刂剖蛊溥_(dá)到同步，如間歇控制，脈沖控制，牽制控制等.

同步，是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)基本的集體行為，具有廣泛的應(yīng)用前景，這一有趣的現(xiàn)象引起了廣大領(lǐng)域的關(guān)注.[2-4] 在過去幾十年間，連續(xù)網(wǎng)絡(luò)的同步被廣泛研究，并且獲得了很多有價值的研究成果.[5] 近來有研究表明，相比較于連續(xù)網(wǎng)絡(luò)，離散網(wǎng)絡(luò)在某些領(lǐng)域更具優(yōu)勢，例如最優(yōu)化，圖像處理，分布式計算和時間序列分析.[6] 因此對離散網(wǎng)絡(luò)的研究也同樣很重要.在離散網(wǎng)絡(luò)中，每個節(jié)點的狀態(tài)是離散的，所以連續(xù)的控制方法就不能應(yīng)用在離散網(wǎng)絡(luò)中，比如間歇控制，間歇控制它是在一段連續(xù)的時間內(nèi)對網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點施加控制的方法，因此間歇控制不適用在離散網(wǎng)絡(luò)中.即表明要研究離散網(wǎng)絡(luò)的同步，只能從離散的方法入手，下面介紹研究離散網(wǎng)絡(luò)同步的三種控制方法：脈沖控制，牽制控制以及自適應(yīng)控制.

2 離散網(wǎng)絡(luò)同步的控制方法

2.1脈沖控制

作為一種離散的控制方法——脈沖控制，它有著相對簡單的結(jié)構(gòu).因此，脈沖控制被廣泛用于設(shè)計恰當(dāng)?shù)目刂破饕詫崿F(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步.脈沖控制就是在某些離散的時刻點對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)施加控制，此刻節(jié)點的狀態(tài)都隨之發(fā)生變化；而在其他時刻點則不施加控制，這樣的時刻點把它稱之為脈沖時刻.這樣對離散網(wǎng)絡(luò)只在脈沖時刻施加控制的方法就叫做脈沖控制.并以此設(shè)計出合適的脈沖控制器使得網(wǎng)絡(luò)中的所有節(jié)點狀態(tài)逐漸達(dá)到給定的目標(biāo)狀態(tài)，離散網(wǎng)絡(luò)就實現(xiàn)了同步.對任意給定的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，為實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步，設(shè)計出適當(dāng)?shù)目刂破鞯年P(guān)鍵在于脈沖時刻與脈沖間隔的選取，這就需要運用李雅普諾夫函數(shù)和數(shù)學(xué)分析技巧將它們推導(dǎo)出來.眾所周知，對于離散函數(shù)，它沒有導(dǎo)數(shù)的概念.所以只能通過作差比較來推導(dǎo).最后可以得到實現(xiàn)同步的一個充分條件.基于給定條件，就可以估計出脈沖增益和脈沖間隔，脈沖增益是指控制的強度，它的取值通常在 的開區(qū)間內(nèi).

2.2牽制控制

我們知道很多真實網(wǎng)絡(luò)是由大量節(jié)點構(gòu)成的，這正是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性之一.那么在實際應(yīng)用中，要想控制網(wǎng)絡(luò)中所有的節(jié)點是非常難的，甚至是不可能的.于是，就考慮到能否只對網(wǎng)絡(luò)中的某些節(jié)點施加控制，這就是牽制控制.在牽制控制計劃中，僅需控制網(wǎng)絡(luò)中一小部分的節(jié)點.這樣一來，對網(wǎng)絡(luò)的控制既易于實現(xiàn)，又能節(jié)約成本.所以牽制控制是很受歡迎的.接下來設(shè)計牽制控制器的關(guān)鍵在于受控制的節(jié)點的選取，任一離散時刻每個節(jié)點的狀態(tài)是不同的，目標(biāo)是為了使所有節(jié)點達(dá)到同一預(yù)想的狀態(tài)，自然最應(yīng)該受控制的就是偏離目標(biāo)狀態(tài)遠(yuǎn)的那些節(jié)點.因此，通過計算每個節(jié)點在不同的離散時刻與目標(biāo)狀態(tài)的誤差范數(shù)，按從小到大進行排序選出誤差范數(shù)較大的前一小部分節(jié)點加以控制.而其他節(jié)點不加控制，最終實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步.牽制控制通常與其他控制方法結(jié)合使用，比如與脈沖控制結(jié)合，那么就不需要在所有的離散時刻控制，而只需在選取的脈沖時刻對網(wǎng)絡(luò)中的一小部分節(jié)點施加控制即可，所得控制器就更加優(yōu)化.

2.3自適應(yīng)控制

自適應(yīng)控制與其說是一種控制方法，不如說是一種控制策略.它不會單獨用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步控制.不論是采取何種控制方法實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的同步，最終都會得到一個使網(wǎng)絡(luò)同步的充分條件，這個充分條件是與系統(tǒng)自身參數(shù)有關(guān)的不等式，自然設(shè)計的控制器也與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，這樣所得到的控制器就只能運用在同一類的系統(tǒng)中，而對不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)參數(shù)以及所需控制節(jié)點的個數(shù)可能是完全不同的，例如脈沖控制，在不同復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中就需要重新選取脈沖增益和脈沖間隔.只要有參數(shù)發(fā)生變化，其余的數(shù)據(jù)就需要被重新計算，所得控制器不具備普適性.為了避免發(fā)生重復(fù)計算這一狀況，在控制計劃中引進自適應(yīng)策略.在一定條件下，所需數(shù)據(jù)可以自身進行調(diào)節(jié).

3 小結(jié)

本文主要從離散網(wǎng)絡(luò)的角度出發(fā)，對運用脈沖控制、牽制控制以及自適應(yīng)控制方法實現(xiàn)離散網(wǎng)絡(luò)的同步作了簡單的描述介紹.

參考文獻(xiàn)：

[1] 汪小帆.探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，清華大學(xué)出版社.

[2] 朱會賓.復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步控制及應(yīng)用.江南大學(xué)，2011，6.

[3] 徐德剛.基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的復(fù)雜系統(tǒng)同步控制研究.浙江大學(xué)，207，10

[4] 李朕.基于脈沖的幾類離散時間網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步分析與控制.東華大學(xué)，2016，3.

[5] 榮婷婷.節(jié)點數(shù)不同的不確定時空網(wǎng)絡(luò)的同步研究.遼寧師范大學(xué)，2018，3.

[6] 朱彪.幾種離散脈沖切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.湖南工業(yè)大學(xué)，2014，6.

作者簡介：

汪瑤瑤（1993-），女，碩士研究生.

（作者單位：江西工程學(xué)院）