季 蕾， 樊春霞

南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210023

現(xiàn)今無人機(jī)技術(shù)已用于商業(yè)、科研和軍事等多個(gè)領(lǐng)域，無人機(jī)的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)也成為一個(gè)熱門的研究課題.在對生物系統(tǒng)的觀察過程中，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了編隊(duì)運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)優(yōu)于個(gè)體運(yùn)動(dòng)，比如大雁組成人字形梯隊(duì)飛行可以減少阻力，魚群通過編隊(duì)也能提高游泳和捕食的效率.因此，無人機(jī)的編隊(duì)運(yùn)動(dòng)相對于個(gè)體飛行運(yùn)動(dòng)而言擁有更高的效率、更強(qiáng)的穩(wěn)定性和魯棒性，有利于執(zhí)行高強(qiáng)度的任務(wù)，例如災(zāi)情監(jiān)測、搜索救援等.編隊(duì)控制是在無人機(jī)進(jìn)行編隊(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)保持或改變機(jī)組成員隊(duì)形的控制技術(shù)，而現(xiàn)代嵌入式系統(tǒng)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和控制技術(shù)為無人機(jī)的編隊(duì)控制提供了許多便捷的方案[1-2].

無人機(jī)編隊(duì)控制方法分為下列幾類：1）Leader-follower 法，由編隊(duì)中的某些特定無人機(jī)作為leader，其余的無人機(jī)作為follower 跟隨leader 運(yùn)動(dòng)[3]；2）基于行為法，預(yù)設(shè)每一架無人機(jī)的行為，即飛行速度、運(yùn)動(dòng)軌跡等，并基于控制輸入的加權(quán)平均為每一個(gè)行為設(shè)計(jì)單獨(dú)的控制輸入[4]；3）虛擬結(jié)構(gòu)法，將整個(gè)無人機(jī)編隊(duì)看成一個(gè)單一的虛擬主體，根據(jù)其動(dòng)力學(xué)方程為每一架無人機(jī)設(shè)計(jì)合適的參考軌跡[5]；4）圖論法，構(gòu)造無人機(jī)編隊(duì)拓?fù)鋱D，以節(jié)點(diǎn)表示單架無人機(jī)，以邊表示無人機(jī)間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即通信關(guān)系、控制連接等[6]；5）一致性法，無人機(jī)通過與相鄰無人機(jī)的信息交互更新自身狀態(tài)，最終達(dá)到所有無人機(jī)狀態(tài)一致的目的[7].這些方法各有利弊，在無人機(jī)編隊(duì)控制領(lǐng)域都有應(yīng)用.

多無人機(jī)編隊(duì)控制的關(guān)鍵就是保證通信交互，但實(shí)際上受到惡劣天氣、電磁干擾、通信堵塞等原因的干擾，無人機(jī)之間的交互信息在通信過程中必定存在時(shí)延.文獻(xiàn)[8-9]研究了考慮通信時(shí)延時(shí)變時(shí)多無人機(jī)系統(tǒng)的一致性問題，提出了分布式動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器.文獻(xiàn)[10-11]在兼顧隨機(jī)時(shí)延的基礎(chǔ)上研究了以二階積分模型描述的多無人機(jī)系統(tǒng)的一致性問題.文獻(xiàn)[8-11]雖然將無人機(jī)的編隊(duì)飛行建模成質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，但沒有考慮無人機(jī)自身的非線性，因此其應(yīng)用范圍受到了限制.

本文以垂直起降無人機(jī)為研究對象，根據(jù)其特性建立非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用隨機(jī)變量描述通信時(shí)延的發(fā)生，使得無人機(jī)組達(dá)到預(yù)設(shè)的編隊(duì)目標(biāo)并且保持懸停狀態(tài).首先建立垂直起降無人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)中間控制輸入，利用提取算法推導(dǎo)出無人機(jī)的推力和目標(biāo)姿態(tài).然后以推力作為無人機(jī)平移子系統(tǒng)的輸入，同時(shí)將設(shè)計(jì)力矩作為無人機(jī)旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的輸入，從而實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)姿態(tài)的跟蹤，達(dá)到最終編隊(duì)目標(biāo)；接著構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii 泛函，推導(dǎo)出保持無人機(jī)編隊(duì)同步的時(shí)延相關(guān)性條件；最后利用Matlab 進(jìn)行仿真，驗(yàn)證推導(dǎo)結(jié)果的正確性.

1 基礎(chǔ)知識

1.1 本文所用物理量的定義

在本文中，R 表示實(shí)數(shù)集，Rn表示歐氏n 維空間，向量Rp表示p 維列向量，矩陣Rp×q表示p×q 矩陣.In表示n 維單位矩陣.向量x 的時(shí)間導(dǎo)數(shù)表示為即同樣d2x/dt2.

本文所有函數(shù)中與時(shí)間相關(guān)的自變量直接省略(x ?x(t))，但是帶有時(shí)延的自變量是不可省略的，如x(t ?τ)含有時(shí)延τ，故不可省略.當(dāng)積分項(xiàng)內(nèi)函數(shù)的自變量與微分變量相同時(shí)，函數(shù)的自變量直接省略函數(shù)在無窮處的極限可以表示為

本文以加權(quán)圖描述無人機(jī)組內(nèi)成員之間的信息交換.加權(quán)圖G 由三元組(N,γ,K)構(gòu)成，其中N ={1,··· ,n}是無人機(jī)節(jié)點(diǎn)的集合，γ 是成對無人機(jī)節(jié)點(diǎn)的集合（稱為邊），K =[kij]∈Rn×n是加權(quán)鄰接矩陣.邊(i,j) ∈γ 表示第i 架無人機(jī)接收到來自第j 架無人機(jī)的信息.加權(quán)鄰接矩陣定義如下：kii= 0；當(dāng)(i,j) ∈γ 時(shí)，kij> 0；反之，當(dāng)(i,j)γ 時(shí)，kij= 0.本文中系統(tǒng)通信是雙向互連的，即G 是無向的，γ 中節(jié)點(diǎn)對是無序的，即(i,j)∈γ ?(j,i)∈γ，K 是對稱的，即kij=kji.

本文用單位四元數(shù)將無人機(jī)飛行姿態(tài)的方式定義為

式中，q ∈R3、η ∈R 分別表示單位四元數(shù)的向量和標(biāo)量部分，q = (q1,q2,q3)T；Q 為單位四元數(shù)集合，可定義為

1.2 所用引理

引理1[12]如果

引理2[13]令x(t)為微分方程的一個(gè)解，其中a(t)為一致連續(xù)函數(shù).如果當(dāng)t →∞時(shí)，x(t)→c，b(t)→0，c 為常數(shù)，則當(dāng)t →∞時(shí)，

引理3[13]考慮二階系統(tǒng)

式中，kp和kd均為正標(biāo)量增益；飽和函數(shù)χ(θ)=(σ(θ1),σ(θ2),σ(θ3))T∈R3，θ =(θ1,θ2,θ3)T∈R3，σ :R →R 是一個(gè)嚴(yán)格遞增連續(xù)可微函數(shù)，且滿足以下性質(zhì)：

性質(zhì)1當(dāng)時(shí)，σ(0)=0 且θσ(θ)>0；

性質(zhì)2對于θ ∈R，，其中σb>0；

性質(zhì)3對于θ ∈R，函數(shù)有界.

如果ε 全局有界且ε →0，那么θ ˙θ 也全局有界，且

引理4[13]Yong’s 不等式

對于任意ε>0、任意兩個(gè)維度相同的向量x 和y 來說，它們之間滿足下列不等式：

引理5[14]Jensen’s 積分不等式

對于任意正對稱常數(shù)矩陣M ∈Rn×n，標(biāo)量a 和b 滿足a < b，向量函數(shù)f : [a,b]→Rn，使得皆有意義，則有

引理6提取算法[15]

若中間控制輸入Fi:=(μ1,μ2,μ3)T, 對于任意xg，皆滿足Fi(0,0,x)T，那么可由中間控制輸入量Fi推導(dǎo)出無人機(jī)的推力Λi和目標(biāo)姿態(tài)Qdi

另外，在中間控制輸入Fi可微的前提下，可將無人機(jī)的目標(biāo)角速度ωdi定義為ωdi=Ξ(Fi) ˙Fi.

式中，γ1=(Λi/m)，γ2=γ1+(g ?μ3).

2 系統(tǒng)模型

2.1 無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

建立一個(gè)由n 架垂直起降無人機(jī)組成的多無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[16]

式(3)為多無人機(jī)組的平移動(dòng)力學(xué)模型，式(4)為旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型.其中，i ∈N :={1,··· ,n}，n 為編隊(duì)中無人機(jī)數(shù)目；pi∈R3，vi∈R3分別表示第i 架無人機(jī)的重心位置和線速度；單位四元數(shù)Qi為第i 架無人機(jī)的姿態(tài)；ωi∈R3為第i 架無人機(jī)的角速度；mi為第i 架無人機(jī)的質(zhì)量；J ∈R3×3表示機(jī)體相對坐標(biāo)系的對稱正定常數(shù)慣性矩陣；Λi∈R3，Γi∈R3分別表示作用于第i 架無人機(jī)的推力與輸入力矩；表示地面坐標(biāo)系下的單位向量且=(0,0,1)T；Fi∈R3表示待設(shè)計(jì)的第i 架無人機(jī)的中間控制輸入.

在式(3)和(4)中

表示與單位四元數(shù)Q 相關(guān)的旋轉(zhuǎn)矩陣，其中

表示與單位四元素Q 的向量部分q 相關(guān)的斜對稱矩陣，T(Q)為

2.2 姿態(tài)誤差動(dòng)力學(xué)模型

姿態(tài)跟蹤的目標(biāo)使Qi→Qdi或根據(jù)四元數(shù)的特性可知Qi與?Qi代表相同姿態(tài)，只是其中一個(gè)繞特定軸旋轉(zhuǎn)2π，故對應(yīng)相同的姿態(tài).

由式(8)可推算出

式中

3 時(shí)延相關(guān)的編隊(duì)控制方案

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種控制方案，使得無人機(jī)之間的信息傳輸可能存在時(shí)延的前提下達(dá)到預(yù)設(shè)的編隊(duì)目標(biāo)且保持懸停狀態(tài)，即

其中，δ1= (2,2,0)T表示第i 架無人機(jī)與第j 架無人機(jī)在編隊(duì)中的相對距離，它定義了編隊(duì)模式.無人機(jī)的控制結(jié)構(gòu)如圖1 所示，首先根據(jù)無人機(jī)間的相對距離δij以及接收到的鄰居信息pj為第i 架無人機(jī)設(shè)計(jì)中間控制輸入Fi；然后根據(jù)引理6 提取出推力Λi和目標(biāo)姿態(tài)Qdi，提取的推力可以作為無人機(jī)平移動(dòng)力學(xué)模型式(3)中的輸入，使得無人機(jī)線速度vi→0，第i 架無人機(jī)和第j 架無人機(jī)相對位置(pi?pj) →δij；最后將目標(biāo)姿態(tài)Qdi看作旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型式(4)的參考輸入，可以通過設(shè)計(jì)無人機(jī)的輸入力矩Γi使得無人機(jī)的姿態(tài)Qi收斂于目標(biāo)姿態(tài)，即第i 架無人機(jī)的角速度誤差→0，姿態(tài)誤差→0.

圖1 無人機(jī)控制結(jié)構(gòu)Figure 1 UAV formation control structure

3.1 中間控制輸入設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)式(3)中的中間控制輸入Fi，其中g(shù) 表示重力加速度.定義位置誤差和速度誤差分別為

式中，θi∈R3和αi∈R3為設(shè)計(jì)變量，變量θi、αi及其一階微分可任意初始化.

設(shè)計(jì)第i 架無人機(jī)的中間控制輸入Fi為

考慮到無人機(jī)之間信息傳輸時(shí)延發(fā)生的隨機(jī)性，將φi設(shè)計(jì)為

隨機(jī)變量λ ∈[0,1]服從Bernoulli 分布[11]λ = 1 表示沒有通信時(shí)延，其誤差變量可定義為ξij(t) = ξi?ξj?δij；λ = 0 表示出現(xiàn)通信時(shí)延，其誤差變量可定義為ξij(t ?τij)=ξi?ξj(t ?τij)?δij.

一旦得到中間控制輸入Fi，便可根據(jù)引理6 推導(dǎo)出平移動(dòng)力學(xué)模型式(3)中必要的推力Λi和目標(biāo)姿態(tài)Qdi，從而求出式(3)中的重心位置pi和線速度vi.

與文獻(xiàn)[16]相比，本文將一定發(fā)生的通信時(shí)延考慮為可能發(fā)生的通信時(shí)延，以服從Bernoulli 分布的隨機(jī)變量描述是否發(fā)生通信時(shí)延，這符合實(shí)際的通信狀況[17-18].本文研究了具有時(shí)變通信時(shí)延的多無人機(jī)編隊(duì)控制和不具有通信時(shí)延的多無人機(jī)編隊(duì)控制兩種情況，兼顧了無人機(jī)編隊(duì)系統(tǒng)的理論與實(shí)際，使得系統(tǒng)更具有實(shí)踐意義.

3.2 輸入力矩設(shè)計(jì)

考慮旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程式(4)，為實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)姿態(tài)Qdi的跟蹤，設(shè)計(jì)飛行器的輸入力矩Γi為

4 穩(wěn)定性證明

第3 節(jié)給出了每架無人機(jī)的推力和輸入力矩的設(shè)計(jì)方法.為了得到多無人機(jī)的編隊(duì)飛行，本節(jié)將給出式(12)～(14)與式(16)中各參數(shù)的設(shè)計(jì)方法，并分析多無人機(jī)系統(tǒng)編隊(duì)控制的穩(wěn)定性.

定理1由式(3)和(4)建立無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型.由引理6 提取算法得出推力輸入Λi和目標(biāo)姿態(tài)Qdi，由式(12)～(14)給出中間控制輸入Fi，由式(16)給出轉(zhuǎn)矩輸入Γi.假設(shè)無人機(jī)之間的連接圖是無向且連通的，則對于某一個(gè)ε > 0，待設(shè)計(jì)的正標(biāo)量增益以及分別滿足式(18)和(19)

證明由式(12)可得

σb為σ(·)函數(shù)的上界，即式(20)說明中間控制輸入Fi是先驗(yàn)有界的.Fi還需滿足提取算法的條件，即對于任意的xg，有滿足定理1 中第1 個(gè)不等式.

由式(14)可得

定義姿態(tài)跟蹤誤差?i為

則姿態(tài)跟蹤動(dòng)力學(xué)為

由式(22)和(24)可以看出，姿態(tài)誤差動(dòng)力學(xué)與平移誤差動(dòng)力學(xué)之間是相互解耦的，因此可以單獨(dú)完成兩個(gè)動(dòng)力學(xué)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.

首先考慮姿態(tài)誤差動(dòng)力學(xué)的穩(wěn)定性.選取類李雅普諾夫函數(shù)為

然后根據(jù)平移誤差動(dòng)力學(xué)方程，建立類Lyapunov-Krasovskii 泛函為

因?yàn)棣蝘j=?ξji且kij=kji，所以可得

接著對式(29)求導(dǎo)可得

對式(27)求導(dǎo)可得

式(37)等價(jià)于

式中，δi表示第i 架無人機(jī)相對編隊(duì)中心的目標(biāo)位置，由δij=δi?δj可知

得到ξij→0，即(ξi?ξj)→δij.

式(12)可化為

式(40)代表一個(gè)穩(wěn)定二重積分器的動(dòng)力學(xué)，它有一個(gè)全局有界且漸近趨于0 的攝動(dòng)項(xiàng)φi+因此，αi和皆有界，并且αi→0，

式(12)中θi的動(dòng)力學(xué)模型可以簡化為

5 仿真實(shí)例

在本次仿真中，n = 4，即編隊(duì)中的無人機(jī)數(shù)目為4，組成一個(gè)與地面平行的正方形編隊(duì).編隊(duì)的形狀由δij來定義，δij=(δi?δj)，(i,j)∈γ，δi的值定義如下：

無人機(jī)之間的通信流圖是固定、無向且連通的.考慮鄰接矩陣K，當(dāng)(i,j) ∈γ 時(shí)，kij=0.5，否則kij=0；邊集γ ={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4)}.

無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型為式(1)和(2)，其中mi= 3 kg，Ji=diag(0.13,0.13,0.04)kg·m2，i ∈N :={1,··· ,4}.各個(gè)元素的初始值如下：

變量θi、αi及其一階微分初始值分別為

時(shí)變通信時(shí)延定義為τij(t) = 0.2|sin(0.5t)|s，(i,j) ∈γ，當(dāng)其上界τ = 0.2 s 時(shí)滿足定理1 中的式(16)和(17).在函數(shù)χ中，σ(·) = tanh(·)，σb= 1.系統(tǒng)中各個(gè)正標(biāo)量增益賦值如表1 所示.

表1 控制增益量Table 1 Control gains

圖2 時(shí)的無人機(jī)編隊(duì)仿真結(jié)果Figure 2 Simulation results of UAV formation when

圖3 時(shí)的無人機(jī)編隊(duì)仿真結(jié)果Figure 3 Simulation results of UAV formation when

圖4 時(shí)的無人機(jī)編隊(duì)仿真結(jié)果Figure 4 Simulation results of UAV formation when

6 結(jié) 語

本文考慮了無人機(jī)之間信息傳輸時(shí)延是隨機(jī)發(fā)生的情況，研究了多無人機(jī)編隊(duì)控制問題.利用Bernoulli 隨機(jī)變量描述是否發(fā)生信息傳輸時(shí)延，使用四元數(shù)描述無人機(jī)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)，根據(jù)提取算法獲得無人機(jī)在預(yù)設(shè)隊(duì)形下的目標(biāo)姿態(tài).設(shè)計(jì)了無人機(jī)平移運(yùn)動(dòng)中的推力，以及旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)矩輸入，使得多個(gè)無人機(jī)在信息傳輸存在隨機(jī)時(shí)延時(shí)依然能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)定的隊(duì)形.最后，利用數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所設(shè)計(jì)的編隊(duì)控制器.

圖5 無人機(jī)編隊(duì)仿真結(jié)果Figure 5 Simulation results of UAV formation when