帥慕蓉，廖秀英，程 輝，謝貽文，楊鵬飛

(1.湖南科技大學(xué) 資源環(huán)境與安全工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201; 2.湖南科技大學(xué) 先進(jìn)礦山裝備教育部工程研究中心，湖南 湘潭 411201)

0 引 言

圖像在采集、生成、傳輸過(guò)程中會(huì)受到不同程度的噪聲污染，導(dǎo)致圖像出現(xiàn)模糊或受損，繼而影響圖像后續(xù)的分析與研究。目前，廣泛應(yīng)用的圖像去噪算法是由Donoho D L和Johnstone I M提出的基于小波變化的小波閾值去噪算法[1,2]。因傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)在定義域內(nèi)不連續(xù)，對(duì)大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行處理時(shí)，未考慮低頻區(qū)也存在噪聲的現(xiàn)象,導(dǎo)致圖像出現(xiàn)視覺(jué)上振鈴效應(yīng)的失真[3,4]，而軟閾值函數(shù)在閾值處不間斷，但其導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，對(duì)大于閾值的小波系數(shù)沿某一恒定量向零進(jìn)行收縮，這個(gè)過(guò)程會(huì)存在恒定的偏差，并丟失一些高頻信息，導(dǎo)致圖像出現(xiàn)邊緣模糊[5,6]。針對(duì)傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪中存在的不足，國(guó)內(nèi)外研究人員提出了大量的改進(jìn)去噪算法[7,8],改進(jìn)的軟硬閾值折中法[9]和自適應(yīng)特征閾值法[10]等。Andrew Bruce提出了半軟閾值函數(shù)算法[11]利用上下閾值來(lái)調(diào)節(jié)控制多尺度分解的小波系數(shù)和估計(jì)小波系數(shù)的偏差，雖然去噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)算法，但在求解2個(gè)閾值時(shí)增加了計(jì)算的復(fù)雜度；王世禮[12]提出了一種基于模糊控制的新閾值函數(shù)算法，雖然函數(shù)高階可導(dǎo)并增加了3個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)，去噪效果得到了優(yōu)化，但對(duì)大于閾值部分的小波系數(shù)并未徹底進(jìn)行排除噪聲存在的處理；葉裕雷[13]等人提出的閾值函數(shù)，雖然函數(shù)是連續(xù)的，但沒(méi)有給出閾值合理選取的方法，其去噪效果仍存在不足。

本文在半軟閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)，選取了一種結(jié)合尺度分解的改進(jìn)閾值進(jìn)行去噪處理。通過(guò)仿真測(cè)試對(duì)去噪效果進(jìn)行分析，改進(jìn)后的閾值函數(shù)算法在圖像細(xì)節(jié)保留上更完善，去噪效果得到更大的提升。

1 小波閾值去噪原理

因圖像有效信號(hào)與噪聲在不同分解尺度下所得到的小波系數(shù)具有不同的變化特征，經(jīng)小波分解后的低頻區(qū)域被認(rèn)為是有效信息，集中著較大的小波系數(shù)，而噪聲分布在高頻區(qū)域，集中著較小的小波系數(shù)。按照小波系數(shù)的幅值變化特征預(yù)先設(shè)定一個(gè)合適閾值，并遵循一定的數(shù)學(xué)準(zhǔn)則，將混合的小波系數(shù)進(jìn)行分離處理，對(duì)大于閾值的小波系數(shù)給予最大程度的保留，而小于閾值的小波系數(shù)完全將其置零，最后將處理后的估計(jì)小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，從而得到重構(gòu)后的最優(yōu)圖像。小波閾值去噪過(guò)程的基本數(shù)學(xué)模型如下

fopt=arg min‖f(I)-Im‖,Iopt=fopt(I),I=Im+In

(1)

式中f為實(shí)際圖像空間與小波函數(shù)空間的映射關(guān)系，下標(biāo)opt為最優(yōu)解，Im為原始圖像信號(hào)，In為噪聲信號(hào)，I為受污染后的圖像

2 閾值函數(shù)的構(gòu)造與閾值的選取

2.1 傳統(tǒng)閾值函數(shù)

在小波閾值圖像去噪中，采用閾值函數(shù)對(duì)選定的閾值進(jìn)行處理。常用的閾值函數(shù)有：硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和半軟閾值函數(shù)，如式(2)～式(4)所示

2.2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

在硬閾值函數(shù)去噪方法中，經(jīng)硬閾值處理后的小波系數(shù)在閾值±λ處不連續(xù)，導(dǎo)致小波重構(gòu)后的光滑性差；在軟閾值函數(shù)去噪方法中，雖然經(jīng)軟閾值處理后的小波系數(shù)整體上不間斷，但其在閾值處不可導(dǎo)，導(dǎo)致估計(jì)的小波系數(shù)與真實(shí)的小波系數(shù)之間存在一定的偏差，同時(shí)丟失的高頻信息影響著小波重構(gòu)的精度；而硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的折衷就形成了半軟閾值函數(shù)，含有上下閾值的特性，具有較好的連續(xù)性。

本文針對(duì)傳統(tǒng)閾值函數(shù)的缺陷及在半軟函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)

λ1=γλ2

(6)

2.3 閾值的選取

如果選取一個(gè)較大的閾值會(huì)導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)的嚴(yán)重丟失，使得圖像變得模糊，而閾值設(shè)定太小又不能有效去除圖像噪聲。目前，閾值主要有全局閾值和局部閾值，常用的全局閾值選取方法有：統(tǒng)一閾值、SureShrink閾值、MapShrink閾值、GCV(generalized cross validation)閾值、BayerShrink閾值、最大最小閾值等[14,15]。統(tǒng)一閾值因公式簡(jiǎn)單且易運(yùn)算，所以得到了廣泛的應(yīng)用，但其對(duì)任意層上的小波系數(shù)都取同一數(shù)值使得小波系數(shù)被“過(guò)扼殺”，導(dǎo)致小波重構(gòu)后的圖像容易模糊。針對(duì)統(tǒng)一閾值所存在的不足，本文選取一種改進(jìn)后的閾值公式[11]

(8)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了檢測(cè)改進(jìn)的函數(shù)在小波閾值去噪中的有效性，本文選取了512×512的Lena灰度圖像作為實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)。在小波閾值去噪過(guò)程中，圖像去噪的效果受到小波基和小波分解層的影響，因此,本文的實(shí)驗(yàn)仿真選用小波基函數(shù)為sym8，小波分解層為3，閾值函數(shù)中的可調(diào)參數(shù)α，β和γ分別設(shè)置為0.5,0.9,0.1。在MATLAB平臺(tái)下采用硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)、半軟閾值函數(shù)和改進(jìn)后的閾值函數(shù)算法對(duì)含高斯噪聲圖像進(jìn)行小波閾值去噪。針對(duì)Lena標(biāo)準(zhǔn)圖像添加了均值為0，方差分別為0.006,0.008,0.01,0.02,0.03,0.04和0.05的高斯隨機(jī)噪聲，采用不同的閾值函數(shù)方法進(jìn)行小波去噪處理，并從主觀和客觀角度進(jìn)行對(duì)比分析。

3.1 主觀評(píng)價(jià)

對(duì)Lena原始灰度圖像添加方差為0.01和0.05的高斯噪聲，分別采用4種閾值函數(shù)對(duì)其進(jìn)行降噪處理，去噪后的效果圖如圖1和圖2所示。

圖1 方差為0.01的不同閾值函數(shù)去噪效果

圖2 方差為0.05的不同閾值函數(shù)去噪效果

從去噪后的效果圖中可直觀的反映：1)當(dāng)方差為0.01時(shí)，因Lena圖像受隨機(jī)分布的高斯噪聲影響程度小，通過(guò)不同閾值函數(shù)對(duì)其進(jìn)行小波閾值去噪，去噪后的效果差異明顯；2)在硬閾值函數(shù)去噪處理后的圖像中，局部范圍仍存在著噪聲污染，其降噪效果不理想；3)在軟閾值函數(shù)去噪中，所有的噪聲能被剔除，但是去噪后的圖像平滑太嚴(yán)重，導(dǎo)致圖像很模糊；4)半軟閾值函數(shù)去噪具有軟閾值函數(shù)的所有優(yōu)勢(shì)，且提高了圖像的清晰度；而本文改進(jìn)后的閾值函數(shù)在去噪過(guò)程中能有效地濾除噪聲，在保留了圖像邊緣輪廓和紋理細(xì)節(jié)信息的前提下，圖像的亮度和對(duì)比度得到提高；5)當(dāng)方差為0.05時(shí)，圖像受到高斯噪聲的嚴(yán)重污染，硬、半軟閾值函數(shù)去噪時(shí)還存在大量的斑點(diǎn)噪聲，導(dǎo)致圖像失真較嚴(yán)重，而改進(jìn)的新閾值函數(shù)去噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的方法，且最大程度的保留了圖像的細(xì)節(jié)和邊緣。

3.2 客觀評(píng)價(jià)

選用的圖像定量評(píng)價(jià)指標(biāo)有：全參考型的峰值信噪比(peak signal noise ratio,PSNR)、均值絕對(duì)誤差(mean absolute deviation,MAE)和邊緣保持指數(shù)(edge preserve index,EPI)。若MAE數(shù)值越小，PSNR值越大，表明目標(biāo)圖像的質(zhì)量越好，反之則反；EPI的取值范圍為 ，當(dāng)EPI值越大時(shí)，表明圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息保留的更好

式中f(i,j)為標(biāo)準(zhǔn)原圖像的像素值(1≤i≤M且1≤j≤N)，(i,j)為濾波后圖像的像素值，M為圖像的寬度，N為圖像的長(zhǎng)度，L為圖像中的最大灰度值，m為圖像中的總像元數(shù)量，pt為去噪后的像元值，ptn為pt的相鄰像元值，pr為原始圖像的像元值，prn為pr的相鄰像元值。

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪的性能，將本文去噪的方法與傳統(tǒng)的閾值函數(shù)去噪方法分別進(jìn)行仿真試驗(yàn)，其結(jié)果如圖3所示。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從圖3(a)和(c)可知，采用不同的閾值函數(shù)對(duì)添加了不同程度方差下的高斯噪聲進(jìn)行處理，其去噪后的效果不同。改進(jìn)后的閾值函數(shù)去噪與其他3種閾值函數(shù)去噪相比，PSNR值整體上都大于其他去噪函數(shù)算法，且PSNR值隨噪聲方差的增大而減小，但下降幅度小于硬、半軟閾值函數(shù)，同時(shí)改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪后的MAE值都遠(yuǎn)小于其他算法，表明改進(jìn)后的閾值函數(shù)在去噪效果上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的算法。從圖4(b)可知，本文所改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪方法在EPI指標(biāo)數(shù)值上更優(yōu)，圖像邊緣和細(xì)節(jié)保留方面更加理想。從圖4(d)可知，本文改進(jìn)算法的去噪性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于硬、軟和半軟閾值函數(shù)。

4 結(jié) 論

本文方法避免了傳統(tǒng)閾值函數(shù)法中的不連續(xù)、偏差等問(wèn)題，選取了合理的小波基和基于分解尺度改進(jìn)的閾值進(jìn)行去噪處理。與硬閾值、軟閾值和半軟閾值函數(shù)去噪方法對(duì)比，從主觀角度上可以看出改進(jìn)的閾值函數(shù)不僅在不同程度的高斯噪聲下能有效去噪，且圖像整體上較清晰，從PSNR、MAE和EPI客觀指標(biāo)上能具體表明本文算法在去噪的過(guò)程中能有效地保留圖像邊緣和細(xì)節(jié)信息，去噪性能明顯優(yōu)于其他方法。