程一斌， 侯俊峰， 王東光

(1.中國科學院 國家天文臺，北京 100101; 2.滁州職業(yè)技術(shù)學院，安徽，滁州 239000)

波片是偏振光學技術(shù)中的重要元件，被廣泛應(yīng)用于光通信、激光調(diào)諧、遙感、天文及物理學研究等領(lǐng)域[1-3]. 組合波片降低了加工難度，實現(xiàn)了波片的消色差性能，成為偏振測量領(lǐng)域不可或缺的一種波片類型. 但是組合波片在研制過程中存在一個容易被忽視的問題，由于不可避免的加工和裝配誤差，導致波片中晶體的快軸方位很難完全垂直，使得波片由一個完全理想的線性延遲器變?yōu)榱藱E圓延遲器. 此時，組合波片的偏振性能需由相位延遲、快軸方位和橢圓率角3個參數(shù)才能完全描述. 其中，相位延遲和快軸方位的測量方法較多，有機械旋轉(zhuǎn)調(diào)制[4-5]、偏振調(diào)制技術(shù)[6-8]、光彈調(diào)制[9-10]、補償法[11-12]、分頻激光探測法[13-14]等. 相比之下，橢圓率角的測量方法少有報道，現(xiàn)有的相位延遲和快軸方位的測量方法均無法有效測量橢圓率角. 然而，橢圓率角的測量對于高精度偏振測量極其重要，尤其當偏振測量精度或儀器定標精度要求優(yōu)于0.01時，橢圓率角的影響將愈加顯著. 因此，如何精確測量組合波片的橢圓率角成為高精度偏振測量面臨的新問題.

本文提出了一種基于Mueller矩陣的橢圓率角測量方法. 該方法基于偏振理論和Mueller矩陣分解，建立了組合波片的偏振模型，該偏振模型由相位延遲、快軸方位和橢圓率角3個未知參數(shù)完全描述. 通過測量組合波片的Mueller矩陣，利用非線性擬合可同時計算出組合波片的包括橢圓率角在內(nèi)的3個參數(shù). 本文利用Mueller矩陣橢偏測量系統(tǒng)分別測量并計算了λ/4和λ/2組合零級波片的橢圓率角，結(jié)果表明測量方法有效可行. 該方法適用于任意組合波片的橢圓率角測量，應(yīng)用廣泛.

1 基于Mueller矩陣的橢圓率角測量方法

1.1 組合波片偏振模型的建立

Shih-Yau Lu和Russell A. Chipman在1996年提出[15]，任意非奇異Mueller矩陣可以分解為3個矩陣，分別描述減偏、退偏和延遲效應(yīng). 其中描述延遲效應(yīng)的矩陣可用于描述任意組合波片的偏振特性，該矩陣如式(1)(2)所示.

(1)

(mR)ij=δijcosR+aiaj[1-cosR]+

(2)

式中：0表示三元零列矢；R表示相位延遲；δij為Kronecker delta函數(shù)；εijk為Levi-Civit置換符號. [1a1a2a3]T表示組合波片快軸的歸一化Stokes本征矢量，該矢量描述了組合波片的本征狀態(tài). 當a3=0時，本征矢量為線偏振，組合波片為理想的線性延遲器；當a3≠0時，本征矢量為橢圓偏振，組合波片變?yōu)闄E圓延遲器. 理論可獲得本征矢量與組合波片快軸方位和橢圓率角的函數(shù)關(guān)系，如式(3)所示.

(3)

式中：θ為組合波片的快軸方位角(-π≤θ≤π)；β為橢圓率角(-π/4≤β≤π/4)，綜合式(1)～(3)可獲得組合波片的Mueller矩陣，如式(4)所示.

(4)

理想情況下，如果組合波片為一個線性延遲器，則β=0. 此時，式(4)簡化為式(5)，后者即為常用的理想線性延遲器的Mueller矩陣，由相位延遲和快軸方位兩個參數(shù)完全描述.

(5)

非理想情況下，由于不可避免的存在加工和裝配誤差，導致組合波片各晶體之間的快軸方位沒有完全平行或垂直. 此時，組合波片由理想線性延遲器變?yōu)闄E圓延遲器(β≠0)，需要考慮橢圓率角參數(shù). 因此，式(4)為組合波片的通用偏振模型，由相位延遲、快軸方位和橢圓率角的三角函數(shù)完全描述.

1.2 橢圓率角測量方法

建立組合波片的偏振模型后，橢圓率角的測量步驟如下.

利用Mueller矩陣橢偏測量系統(tǒng)測量組合波片的Mueller矩陣Mmeas;

建立目標函數(shù)F(R,θ,β)=MR-Mmeas；

待定利用非線性最小二乘擬合方法求解函數(shù)F(R,θ,β)中的所有未知參數(shù). 擬合函數(shù)為

由Matlab庫函數(shù)lsqcurvefit擬合得到所有未知參數(shù),從而得到橢圓率角β.

1.3 仿真驗證

為了驗證上述橢圓率角測量方法的有效性，仿真模擬如下.

仿真模擬一個水晶材料的組合零級波片(λ/4@540 nm)，其雙折射率Δn=0.009，厚片為d1=1.015 mm，薄片為d2=1.000 mm，假設(shè)兩塊晶體之間的快慢軸對準誤差為Δθ=0.5°. 根據(jù)偏振傳輸理論，可計算波片的Mueller矩陣如式(6)所示. 其中，T(Δθ)為旋轉(zhuǎn)矩陣，M1、M2為每塊水晶的Mueller矩陣.

M=T(-Δθ)M2(R2)T(Δθ)M1(R1).

(6)

(7)

(8)

(9)

Ri=2πΔndi/λ,i=1,2.

(10)

由式(6)～(10)可獲得組合零級波片的Mueller矩陣隨波長的變化，如圖1所示. 橫坐標為波長，單位nm；縱坐標是Mueller矩陣的各個矩陣元，量綱為一. 圖中灰線為式(6)～(10)獲得的仿真結(jié)果，黑線為式(4)獲得的擬合結(jié)果，可以看出，仿真與擬合的結(jié)果是完全一致的. 根據(jù)圖1的矩陣擬合計算出相位延遲R、快軸方位θ和橢圓率角β隨波長變化的結(jié)果如圖2所示.

圖1的仿真結(jié)果表明,組合波片的偏振模型是正確的；基于Mueller矩陣的橢圓率角偏振測量方法有效可行.

圖1 組合零級波片Mueller矩陣隨波長的變化曲線Fig.1 Curves of Mueller matrix with wavelength for air spaced zero-order waveplate

圖2的仿真結(jié)果表明,組合波片的各晶體之間的快軸方位存在裝配誤差時，導致最終總的快軸方位角和橢圓率角隨波長振蕩，且兩個參數(shù)的振蕩幅度基本一致；相位延遲參數(shù)隨波長變化與快軸方位的裝配誤差無關(guān).

圖2 組合零級波片的偏振參數(shù)隨波長變化曲線Fig.2 Curves of polarization parameters with wavelength for air spaced zero-order waveplate

2 實驗測量和分析

本文作者購買了Thorlabs公司的兩個組合零級波片，型號為WPQ05M-532和WPH05M-532，分別對應(yīng)532 nm的λ/4和λ/2波片，利用Mueller矩陣橢偏儀測量了兩個樣品的Mueller矩陣，測量結(jié)果如圖3和圖4所示. 其中圖3為λ/4波片的Mueller矩陣測量結(jié)果，圖4為λ/2波片的Mueller矩陣測量結(jié)果. 圖3和4中，實線為Mueller矩陣橢偏儀的實測結(jié)果，一個理想波片的Mueller的第一行和第一列，除第一個元素為1以外，其余元素均為0. 因此，圖中實線在這些元素中的非零值代表了Mueller矩陣橢偏儀的測量誤差，在0.004范圍以內(nèi)；圓黑色為基于Mueller矩陣的橢圓率測量量方法的計算結(jié)果. 擬合計算和實測結(jié)果對比表明，兩者有很好的一致性，Mueller矩陣擬合誤差ΔM在0.004以內(nèi). 假設(shè)橢圓率角、快軸方位角和相位延遲3個參數(shù)相互獨立，通過對式(4)在(β=0,θ=0,R=π/2)附近求偏導，可得到橢圓率角、快軸方位角和相位延遲的測量誤差δβ、δθ和δR與ΔM之間的關(guān)系如下.

圖3 λ/4組合零級波片的Mueller矩陣隨波長的變化曲線Fig.3 Curves of Mueller Matrix with wavelength for air spaced zero-order quarter waveplate

圖4 λ/2組合零級波片的Mueller矩陣隨波長的變化曲線Fig.4 Curves of Mueller Matrix with wavelength for air spaced zero-order half waveplate

(11)

計算表明，橢圓率角、快軸方位角和相位延遲的測量誤差分別為0.11°、0.11°和0.22°.

圖5和圖6為基于Mueller矩陣的橢圓率角測量方法計算獲得的相位延遲、快軸方位以及橢圓率角3個參數(shù)的測量結(jié)果. 計算結(jié)果表明：

圖5 λ/4組合零級波片的偏振參數(shù)測量結(jié)果Fig.5 Curves from measurement of air spaced zero-order quarter waveplate

① 相位延遲參數(shù)不隨波長振蕩，與圖2的仿真結(jié)論一致；

②λ/4的橢圓率角和快軸方位角隨波長振蕩，振蕩幅度一致，約為1°;

③λ/2的橢圓率角和快軸方位角隨波長振蕩，振蕩幅度一致，約為0.4°；

圖6 λ/2組合零級波片的偏振參數(shù)測量結(jié)果Fig.6 Curves from measurement of air spaced zero-order half waveplate

分析結(jié)果表明，本文建立的偏振模型可以準確的描述組合波片的偏振特性；而且提出的基于Mueller矩陣的橢圓率角測量方法準確、有效、可行,實測結(jié)果和仿真驗證結(jié)果基本一致.

然而，實測獲得的快軸方位角除了隨波長振蕩以外，還隨波長有一定的下降趨勢，其中，λ/4的快軸方位角下降約0.2°，λ/2的快軸方位角下降約0.4°，具體原因需待未來進一步深入分析. 但是，該效應(yīng)不影響橢圓率角的精確測量.

3 結(jié) 論

在高精度偏振測量中，橢圓率角是組合波片最重要的偏振參數(shù)之一，如何精確測量橢圓率角是精密偏振測量面臨的關(guān)鍵問題. 本文提出了一種基于Mueller矩陣的橢圓率角測量方法. 該方法基于偏振理論和Mueller矩陣分解，建立了組合波片的偏振模型，該偏振模型由相位延遲、快軸方位和橢圓率角3個未知參數(shù)完全描述. 通過測量組合波片的Mueller矩陣，利用非線性擬合可同時獲得組合波片的包括橢圓率角在內(nèi)的3個參數(shù). 此外，利用偏振傳輸理論仿真模擬了組合零級波片的Mueller矩陣，驗證了該橢圓率測量方法的有效性. 在這些理論基礎(chǔ)上，本文利用Mueller矩陣橢偏測量系統(tǒng)分別測量并計算了λ/4和λ/2組合零級波片的橢圓率角，結(jié)果表明測量結(jié)果與仿真結(jié)果一致，測量方法有效可行.

測量計算結(jié)果表明基于此方法的擬合誤差在0.004以內(nèi)，橢圓率角和快軸方位角的測量誤差為0.11°，相位延遲的測量誤差為0.22°. 應(yīng)用此方法以λ/4和λ/2組合零級波片為樣本的測試計算發(fā)現(xiàn)其橢圓率角和快軸方位隨波長震蕩，震蕩幅度分別為1° 和0.4°. 本方法適用于任意組合波片的橢圓率角測量，應(yīng)用范圍廣.