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      Finsler-Hadwiger型不等式推廣的再研究

      2019-08-29 04:05:42王洪燕郭要紅
      數(shù)學(xué)通報(bào) 2019年7期
      關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓正三角形外接圓

      王洪燕 郭要紅

      (安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 241000)

      1 引言

      1919年,Weitzenbock提出了如下不等式:[1]

      定理1設(shè)a,b,c,S分別是△ABC的邊長與面積,則

      1937年,F(xiàn)insler和Hadwiger建立了一個(gè)更強(qiáng)的不等式如下:[2]

      定理2設(shè)a,b,c,S分別是△ABC的邊長與面積,則

      《美國數(shù)學(xué)月刊》2016年第9期刊登了馬其頓人Martin Lukarevski提供的問題11938如下:

      問題11938[3]設(shè)a,b,c,S,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑,則

      (1)

      事實(shí)上,1998年武鋼高三學(xué)生李磊應(yīng)用Kooi不等式[4]證明了不等式(1)[5],文[6]已收錄不等式(1).

      本文對(duì)不等式(1)進(jìn)行研討,得到如下不等式:

      定理3設(shè)a,b,c,S,R,r分別是△ABC的邊長、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑,則

      (2)

      2 兩個(gè)引理

      為證明不等式(2),先給出兩個(gè)引理

      引理1(Blundon不等式)[4]設(shè)a,b,c,s,R,r分別是△ABC的邊長、半周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑,則

      其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形.

      引理2設(shè)a,b,c,s,R,r分別是△ABC的邊長、半周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑,則

      (3)

      其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形.

      證明由引理1可知,只要證

      由歐拉不等式:R≥2r,只要證

      (4)

      因?yàn)?(R+r)(R-2r)+3r2≥0,而

      =4Rr3+r4≥0.

      所以(4)式成立,從而(3)式成立,由以上證明過程可知,(3)式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形.

      3 結(jié)論的證明

      定理3證明

      同理可得

      三式相加可得

      由三角恒等式

      利用引理2,由

      即有

      定理3得證.

      4 討論

      根據(jù)歐拉不等式:R≥2r,有

      所以(2)式是(1)式的加強(qiáng).

      ≤4R2+4Rr+3r2.

      所以引理2是Gerrentsen不等式[4]s2≤4R2+4Rr+3r2的加強(qiáng).

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