從平面向量的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題2392

李偉健

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

文[1]提出了一個(gè)涉及三點(diǎn)共線的命題，本文探討的問題是：題設(shè)中的條件“點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上”是否必要.首先選取平面向量的角度重新證明數(shù)學(xué)問題2392，在證明的過程中揭示條件“點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上”是多余的.建立在這一判斷基礎(chǔ)之上，本文提出數(shù)學(xué)問題2392的修正命題.

數(shù)學(xué)問題2392如圖1，若PAB、PCD分別是⊙O的兩條割線，交⊙O于點(diǎn)A、B、C、D，AD與BC相交于點(diǎn)Q.若點(diǎn)M、N分別滿足四邊形MAQC、四邊形NBQD都是平行四邊形.證明：P、M、N三點(diǎn)共線.

圖1

證明因?yàn)镻、C、D三點(diǎn)共線，

所以P、M、N三點(diǎn)共線.

通過上面的證明可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問題2392中的條件“點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上”與結(jié)論“P、M、N三點(diǎn)共線”無關(guān)，因此數(shù)學(xué)問題2392可以修正為如下命題，即：

數(shù)學(xué)問題2392修正命題如圖2，已知平面內(nèi)四點(diǎn)A、B、C、D任意三點(diǎn)不共線，且AD與BC相交于點(diǎn)Q.若點(diǎn)M、N分別滿足四邊形MAQC、四邊形NBQD都是平行四邊形.那么P、M、N三點(diǎn)共線.

圖2

證明設(shè)直線AD與BC的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)分別為E、F，根據(jù)帕普斯線，AB×CD=P、AF×CE=M、BE×DF=N三點(diǎn)共線.

從上述證明可以發(fā)現(xiàn)：考察數(shù)學(xué)問題2392的結(jié)構(gòu)特征，本質(zhì)是帕普斯線定理.

[1]數(shù)學(xué)問題解答.數(shù)學(xué)問題2392 [J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017,56(11)：封底.