初中生“幾何推理”的初學(xué)困境淺談

唐開楊

摘 要?本文從初中學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和最近發(fā)展區(qū)入手，以教學(xué)一線中遇到的實(shí)際問題為載體，總結(jié)梳理了初一學(xué)生在初學(xué)“幾何推理”時(shí)所遇到的三個(gè)認(rèn)知瓶頸，并給出了可操作的解決辦法，最后提出了筆者關(guān)于“幾何推理”教學(xué)的一點(diǎn)思考。

關(guān)鍵詞?幾何推理;初學(xué);困境

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）05-0142-02

推理，思維的基本形式之一，由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）的過程。幾何推理就是在幾何圖形中根據(jù)一些條件推出結(jié)論的過程，學(xué)生幾何推理能力的提升與“邏輯推理”、“直觀想象”兩大核心素養(yǎng)的落地有著極其密切的聯(lián)系。

一、問題提出

進(jìn)入初中學(xué)習(xí)后，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)業(yè)水平的第一個(gè)分水嶺出現(xiàn)在學(xué)習(xí)“幾何推理”之后，以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為例，學(xué)生在七年級下第二章《相交線與平行線》的學(xué)習(xí)之后開始出現(xiàn)分化，七年級下第四章《三角形》的學(xué)習(xí)之后分化進(jìn)一步加劇，其結(jié)果直接導(dǎo)致七年級下的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績相較于七年級上在平均分控制的前提下其極差與方差都有顯著性增大。

林崇德將中學(xué)生“空間想象能力”分為三級水平，而初中一年級的學(xué)生其空間想象能力處于第一級水平向第二級水平過度的階段，因而，教師要能夠發(fā)現(xiàn)這個(gè)階段學(xué)生在認(rèn)知發(fā)展上的困境，并給予有針對性的幫助，使學(xué)生能夠順利從第一級水平進(jìn)階到第二級水平。

二、三重困境及應(yīng)對策略

筆者在長期的一線教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)七年級學(xué)生在初學(xué)幾何推理時(shí)主要有以下三重困境：

第一重困境：文字概念的核心要素與圖形基本型之間的轉(zhuǎn)換。

以北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)教材P59第8題第（2）問為例，如果希望c∥d，那么需要哪兩個(gè)角相等？

題目原圖，錯(cuò)解1：∠2=∠5

錯(cuò)解2：∠3=∠2，正解1：∠4=∠6

有趣的是，如果你追問答錯(cuò)解1、2的學(xué)生為何選這兩個(gè)角？

學(xué)生會肯定的告訴你：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?？梢?，學(xué)生并非是對平行線的判定定理不理解，而是對“內(nèi)錯(cuò)角”的概念理解出了偏差。課本P47關(guān)于“內(nèi)錯(cuò)角”的概念是如此說明：“具有∠1與∠2這樣位置關(guān)系的角稱為內(nèi)錯(cuò)角”。

參考人教版教材七年級下，教師一般會輔以文字說明：直線AB、CD被直線l所截構(gòu)成8個(gè)角，在直線AB、CD之間，并且分別在直線l兩側(cè)的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

可見，學(xué)生出現(xiàn)問題的主要原因是對“內(nèi)錯(cuò)角”概念的前提理解不到位，當(dāng)這個(gè)前提以文字形式出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生不能把此核心要素轉(zhuǎn)化成三線八角的基本型并從復(fù)雜圖形中提取出來。要解決這個(gè)困境，在教學(xué)中教師首先要重視幾何概念的生成過程，如學(xué)生不體會生成，便無法理解文字，更不用說將文字和復(fù)雜圖形間建立聯(lián)系;其次，要引導(dǎo)學(xué)生將圖形和文字，文字和圖形進(jìn)行雙向?qū)?yīng)的技能訓(xùn)練。

第二重困境：圖形解構(gòu)過程中對圖形已知的提取與應(yīng)用。

當(dāng)學(xué)生從平行四邊形學(xué)習(xí)到封閉圖形三角形的時(shí)候，其既需要對三角形的整體認(rèn)知，又在很多情況下需要解構(gòu)三角形，分別研究三角形的邊或者角。此時(shí)，解構(gòu)過程中對圖形已知的提取，明顯難于對文字或符號語言所給出的已知條件的提取。

三種常見的圖形已知如下：

公共邊1 ?????公共邊2 ?????公共角 ??????對頂角

經(jīng)過一定的訓(xùn)練，以上四種直接給出的圖形已知，學(xué)生能夠理解并很好的掌握，但是，當(dāng)圖形出現(xiàn)變化或更加復(fù)雜的時(shí)候，能否將圖形進(jìn)行解構(gòu)，拆解出的熟知的圖形已知，就成為了突破的關(guān)鍵。

以北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)教材P111第7題為例：如圖，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC，△ABC與△ADE全等嗎？

若學(xué)生無法解構(gòu)圖形，將△ABC和△ADE分離出來，那么他就無法將符號已知∠BAE=∠DAC與圖形已知∠EAC=∠CAE聯(lián)系起來?？梢?，學(xué)生初學(xué)幾何推理時(shí)面對的這個(gè)困境首先要具備解構(gòu)復(fù)雜圖形、分離基本圖形、抽取核心要素的能力，教師可以四種常見圖形已知為藍(lán)本，進(jìn)行變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生渡此困境。

第三重困境：文字語言、符號語言、圖形語言的三重轉(zhuǎn)換。

從學(xué)生一開始學(xué)習(xí)“幾何推理”，教師就會不厭其煩地在各種定義、定理的教學(xué)中，在各類習(xí)題的講評中滲透文字語言、符號語言和圖形語言的三重轉(zhuǎn)換，但教師往往只重視純數(shù)學(xué)問題中的轉(zhuǎn)換，所以文字語言與兩者之間的轉(zhuǎn)換常常是訓(xùn)練不到位的，同時(shí)也直接影響了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。

以北師大版七年級下冊數(shù)學(xué)教材P111第11題為例：

工人師傅經(jīng)常利用角尺平分一個(gè)任意角。如圖所示，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、邊OB上分別取OD=OE，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與D、E重合，這時(shí)過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是∠AOB的平分線，你能先說明△OPD與△OPD全等，再說明OP平分∠AOB嗎？

很明顯，教材編寫者已經(jīng)將問題拆解為兩步，刻意降低了問題的難度，搭建了臺階。但是在實(shí)際教學(xué)的過程中，仍然有不少的同學(xué)無法完成。究其原因，主要是無法將“移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與D、E重合”這句話結(jié)合圖形轉(zhuǎn)換成符號語言。如果我們將此題抽去實(shí)際背景，直接以符號語言給出已知、求證，學(xué)生的回答正確率就會大大提升。

這一認(rèn)知瓶頸提示我們，在進(jìn)行幾何推理的教學(xué)時(shí)，一定要兼顧學(xué)生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，既要有純幾何的熏陶，更要有實(shí)際問題的錘煉，條件允許的情況下要讓學(xué)生多操作，比如讓學(xué)生自制角尺，模擬操作等。在初學(xué)階段，大部分的問題都還停留在“簡單”的層次，是訓(xùn)練三種語言轉(zhuǎn)換，提升互譯能力的大好時(shí)機(jī)，確保進(jìn)入更為復(fù)雜的幾何推理學(xué)習(xí)之前，各個(gè)層次的學(xué)生的互譯能力都有提升。

三、關(guān)于“幾何推理”教學(xué)的一點(diǎn)思考

（一）“幾何推理”不僅是學(xué)生初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一個(gè)分水嶺，也是教師教學(xué)能力分化的一個(gè)分水嶺，一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師，不應(yīng)該任由學(xué)習(xí)能力相對較弱的學(xué)生在此處分流，而應(yīng)該多探究現(xiàn)象背后的原因，并積極尋找解決的辦法。

（二）7年級學(xué)生的幾何能力和幾何直觀推理意識快速增強(qiáng)，7下更是他們這種能力發(fā)展的關(guān)鍵期，教師要提供盡可能多的實(shí)驗(yàn)操作機(jī)會輔助學(xué)生判斷和推理，既要尊重他們現(xiàn)有的形象思維的認(rèn)知現(xiàn)狀，又要不遺余力地引導(dǎo)他們向抽象思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)軍。

（三）尊重學(xué)生的個(gè)體差異，尤其在幾何推理方面，男女生有顯著的差異，男生發(fā)展迅速但結(jié)束期早，女生發(fā)展緩慢但持續(xù)時(shí)間長，教師應(yīng)對此特點(diǎn)有所認(rèn)識并給予耐心的呵護(hù)，使每一位學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有所發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]李紅婷，初中生幾何推理能力發(fā)展研究，教育研究與實(shí)驗(yàn)，2009（1）.