聚合物驅(qū)牛頓—非牛頓—牛頓三區(qū)復(fù)合試井模型

劉文濤，張德富，程宏杰，王曉光

（中國石油新疆油田公司勘探開發(fā)研究院，新疆克拉瑪依834000）

試井分析作為油氣藏動態(tài)監(jiān)測和地層參數(shù)求取的重要手段，國內(nèi)外許多學(xué)者對存在非牛頓流體條件下的試井解釋模型已經(jīng)有了一定的研究。關(guān)于非牛頓冪律流體的研究，國外學(xué)者IKOKU和RAMEY[1-2]研究了多孔介質(zhì)中非牛頓冪律流體不穩(wěn)定滲流特征，建立并求得了考慮井儲和表皮效應(yīng)的試井解釋數(shù)學(xué)模型拉氏空間解；我國學(xué)者欒志安[3]建立了雙重介質(zhì)非牛頓流體的試井解釋模型并求得了拉氏空間解析解；對于復(fù)合油藏試井解釋模型的研究，我國學(xué)者宋考平、劉彬、程時清、朱常玉、徐有杰等[4-11]對于不同的注采方式分別建立了非牛頓流體—牛頓流體雙區(qū)復(fù)合、多區(qū)復(fù)合、牛頓流體—非牛頓雙區(qū)流體復(fù)合以及非牛頓流體—牛頓流體—牛頓流體三區(qū)復(fù)合試井解釋數(shù)學(xué)模型并求得了拉氏空間解析解。這些模型的建立為聚合物驅(qū)油試井資料的解釋打下了很好的基礎(chǔ)。

聚合物驅(qū)作為油氣藏提高采收率的重要手段，隨著三次采油技術(shù)的不斷進步，在三次采油中發(fā)揮著極其重要的作用。注聚合物驅(qū)油時，通常采用前緣水驅(qū)—聚驅(qū)—后續(xù)水驅(qū)的注入方式。聚合物被視為非牛頓冪律流體，聚合物沒有驅(qū)替到的區(qū)域被視為牛頓流體，從而形成了一個由牛頓流體—非牛頓流體—牛頓流體構(gòu)成的三區(qū)復(fù)合油藏模型。

基于之前的研究，建立了由牛頓流體—非牛頓冪律流體—牛頓流體構(gòu)成的三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋數(shù)學(xué)模型，通過拉普拉斯變換求出了模型在拉普拉斯空間的解析解，利用Stefest數(shù)值反演算法[12]做出無因次壓力、無因次壓力導(dǎo)數(shù)與無因次時間的雙對數(shù)理論圖版并進行了響應(yīng)的影響因素分析。

1 數(shù)學(xué)模型的建立與求解

1.1 數(shù)學(xué)模型的建立

當以注入井為中心，進行前緣水驅(qū)—聚驅(qū)—后續(xù)水驅(qū)（圖1）的注入方式時，根據(jù)IKOKU的研究，在聚合物溶液注入的區(qū)域，地層流體可視為非牛頓冪律流體，前緣水驅(qū)和后續(xù)水驅(qū)地層流體可視為牛頓流體，形成由牛頓流體—非牛頓流體—牛頓流體組成的三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋模型（圖1）。其他假設(shè)條件如下：

1）油層為水平、均質(zhì)、等厚的無限大地層，流動呈層流。

2）各區(qū)內(nèi)流體均為單相微可壓縮的液體，忽略重力和毛管力的影響。

3）各區(qū)內(nèi)流體均符合達西平面徑向滲流規(guī)律，等溫滲流。

4）考慮井筒儲存效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響。

5）兩相鄰滲流區(qū)域界面不存在附加壓力降，不考慮相間的吸附效應(yīng)。

圖1 三區(qū)復(fù)合油藏示意圖Fig.1 Composite reservoir with three parts

6）非牛頓流體黏度服從Ostwald-De Waele[13]冪律流體模型。根據(jù)文獻[13]可得：

基于上述假設(shè)條件，建立考慮井筒儲存效應(yīng)和表皮效應(yīng)影響的牛頓流體—非牛頓冪律流體—牛頓流體三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋數(shù)學(xué)模型如下：

無限大外邊界：

式中：

無因次變量定義：

1.2 試井數(shù)學(xué)模型求解

對式（2）進行拉普拉斯變換得到3個區(qū)域微分方程的通解分別為：

式中：

對于無限大邊界，根據(jù)貝塞爾函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得：C1=0。

分別將式（4）—（6）代入式（2）的邊界條件求得無因次井底壓力為：

式中：

2 典型曲線特征及影響因素分析

利用Stehfest數(shù)值反演算法對式（7）進行反演，可得到無限大外邊界條件下無因次壓力與壓力導(dǎo)數(shù)關(guān)于無因次時間的典型曲線。

圖2是聚合物驅(qū)牛頓—非牛頓—牛頓三區(qū)復(fù)合油藏試井模型典型曲線。根據(jù)導(dǎo)數(shù)曲線特征，可劃分為7個階段：第一階段為井筒儲集效應(yīng)階段，無因次壓力及導(dǎo)數(shù)曲線重合，呈一條斜率為1的直線；第三階段為內(nèi)區(qū)徑向流階段，描述內(nèi)區(qū)牛頓流體的滲流特征，導(dǎo)數(shù)曲線呈值為0.5的水平直線；第五階段為聚合物區(qū)徑向流階段，描述聚合物區(qū)非牛頓冪律流體的滲流特征，導(dǎo)數(shù)曲線呈現(xiàn)（1-n）/（3-n）斜率的直線，冪律指數(shù)越小，曲線越陡；第七階段為外區(qū)徑向流階段，導(dǎo)數(shù)曲線呈一條水平直線，水平直線的值為M13/2；第二、四、六階段為過渡段。

圖2 聚合物驅(qū)牛頓—非牛頓—牛頓三區(qū)復(fù)合油藏試井模型典型曲線Fig.2 Typical curves of well test model of three parts composite reservoirs with Newtonian/non-Newtonian/Newtonian for polymer flooding

圖3 冪律指數(shù)對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.3 Relation curves of influence of power-law index on dynamic of bottom-hole pressure

圖3為冪律指數(shù)n對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線。由于聚合物區(qū)為聚合物溶液，冪律指數(shù)的變化主要影響聚合物區(qū)徑向流階段的壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，冪律指數(shù)n越小，聚合物區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線越陡。也就是說，冪律指數(shù)n越小，流體流動越困難，壓力波在聚合物區(qū)的傳播越慢；如果冪律指數(shù)n為0，則流體不流動，相當于存在封閉外邊界的情形，導(dǎo)數(shù)曲線呈斜率為1的上翹直線，表現(xiàn)為封閉邊界的特征。

圖4為內(nèi)區(qū)半徑rD1對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線。內(nèi)區(qū)半徑的變化主要影響流體在內(nèi)區(qū)和聚合物區(qū)地層內(nèi)流動的持續(xù)時間。內(nèi)區(qū)半徑rD1越小，相對來說聚合物區(qū)范圍則越大；壓力波在內(nèi)區(qū)流動持續(xù)的時間越短，在聚合物區(qū)流動持續(xù)的時間越長。在無因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線上主要表現(xiàn)為內(nèi)區(qū)徑向流階段結(jié)束時間越早，導(dǎo)數(shù)曲線0.5水平線越短；聚合物區(qū)徑向流開始時間越早，導(dǎo)數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線段則越長。

圖4 內(nèi)區(qū)半徑對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.4 Relation curves of influence of radius of inner part on dynamic of bottom-hole pressure

圖6 內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.6 Relation curves of influence of mobility ratio of inner and outer part on dynamic of bottom-hole pressure

圖5 聚合物區(qū)半徑rD2對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線Fig.5 Relation curves of influence of radius（rD2）of polymer part on dynamic of bottom-hole pressure

圖7 內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比對井底壓力動態(tài)影響關(guān)系曲線Fig.7 Relation curves of influence of mobility ratio of inner part and polymer part on dynamic of bottom-hole pressure

圖5為聚合物區(qū)半徑rD2對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線。聚合物區(qū)半徑的變化主要影響流體在聚合物區(qū)和外區(qū)地層內(nèi)流動的持續(xù)時間。聚合物區(qū)半徑rD2越大，壓力波在聚合物區(qū)流動的范圍越大、流動持續(xù)的時間越長。在無因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線上主要表現(xiàn)為聚合物區(qū)徑向流階段結(jié)束時間越晚，導(dǎo)數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線段越長；外區(qū)徑向流階段開始時間越晚。

圖6為內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比M13對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線。由于內(nèi)區(qū)和外區(qū)都是牛頓流體，所以內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比的變化主要影響外區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置的高低。內(nèi)區(qū)與外區(qū)流度比M13越大，外區(qū)流體的流動能力越差，外區(qū)徑向流階段無因次壓力導(dǎo)數(shù)曲線水平段位置越高，其值為M13/2；反之亦然。

圖7為內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比M12對井底壓力動態(tài)的影響關(guān)系曲線。由于內(nèi)區(qū)是牛頓流體而聚合物區(qū)是非牛頓流體，所以在冪律流體的冪律指數(shù)一定的情況下，內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比的變化主要影響聚合物區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置的高低，而不影響外區(qū)壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置的變化。內(nèi)區(qū)與聚合物區(qū)界面流度比M12越大，聚合物區(qū)徑向流階段壓力導(dǎo)數(shù)曲線位置越高，反之亦然。

3 結(jié)論

1）建立并求解了適用于聚合物驅(qū)油藏的牛頓流體—非牛頓流體—牛頓流體三區(qū)復(fù)合油藏試井解釋模型，根據(jù)導(dǎo)數(shù)曲線特征可識別出四個典型的流動階段：純井筒儲集效應(yīng)階段、內(nèi)區(qū)牛頓流體徑向流階段、聚合物區(qū)冪律流體徑向流階段、外區(qū)牛頓流體徑向流階段。

2）在聚合物區(qū)冪律流體徑向流階段，壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線，冪律指數(shù)越小，導(dǎo)數(shù)曲線斜率越大。在外區(qū)牛頓流體徑向流階段，壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線呈值為0.5M13的水平直線，M13越大，導(dǎo)數(shù)曲線位置越高。

3）內(nèi)區(qū)和聚合物區(qū)半徑主要影響其徑向流階段持續(xù)的時間：內(nèi)區(qū)半徑越小，內(nèi)區(qū)徑向流階段結(jié)束時間越早，導(dǎo)數(shù)曲線0.5水平線越短；聚合物區(qū)半徑越大，聚合物區(qū)徑向流階段結(jié)束時間越晚，導(dǎo)數(shù)曲線呈（1-n）/（3-n）斜率的直線段越長。

符號說明

B為地層原油體積系數(shù)，m3/（標）m3；C為井儲系數(shù)，m3/MPa；Q為地面儲量，m3/d；h為儲層厚度，m；S為表皮系數(shù)，無因次；t為生產(chǎn)時間，h；rw為井筒半徑，m；r為儲層某處到井筒中心線的距離，m；ri為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)半徑，m，（i=1，2）；n為冪律指數(shù)，無因次；pe為原始地層壓力，MPa；pw為井底壓力，MPa；Ki為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)滲透率，μm2；Cti為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)壓縮系數(shù)，MPa-1；Pi為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)壓力，MPa-1；?i為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)壓力，無因次；μi為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)流體黏度，mPa·s；μ*為冪律流體表觀黏度，mPa·s；rwD為無因次井筒半徑；CD為無因次井儲系數(shù)；tD為無因次時間；pwD為無因次井底壓力；piD為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)和外區(qū)無因次壓力，（i=1，2，3）；riD為內(nèi)區(qū)、聚合物區(qū)無因次半徑，（i=1，2）；Kv（x），Iv（x）分別為v階的第二類和第一類修正貝塞爾函數(shù)；I（0x），I（1x）分別為零階和一階的第一類修正貝塞爾函數(shù)；K0（x）、K（1x）分別為零階和一階的第二類修正貝塞爾函數(shù)；下標D表示無因次為進行拉普拉斯變換后的無因次井底壓力為進行拉普拉斯變換后的無因次壓力，當r=rw時，；PD為無因次壓力，當r=rw時，PD=PwD；A為公式推導(dǎo)時的中間變量。