張 強(qiáng), 蔣 豹, 崔 巍,劉 巨保, 朱 昱

(東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,黑龍江大慶 163318)

隨著深井、超深井等鉆井技術(shù)不斷深入,受井筒約束的管柱,井底受壓段極易發(fā)生屈曲,管柱屈曲后與井壁進(jìn)行碰撞、摩擦,極易造成管柱的快速失效。Lubinski等[1]研究了鉆柱在垂直井眼中的穩(wěn)定性,給出了鉆柱正弦屈曲的臨界載荷。Lubinski等[2]利用能量法推導(dǎo)了等螺距和軸向壓力的關(guān)系式。Kwon等[3]采用非等螺距假設(shè),分析了自重作用下垂直管柱的螺旋屈曲。Hajianmaleki等[4]采用顯式有限元法,研究了垂直井有重管柱的屈曲問題。Mitchell[5]、Lukasiewicz[6]、Thompson[7-8]和Gulyayev等[9]采用微分法、能量法、實(shí)驗(yàn)法和有限元等方法研究了管柱的屈曲問題。國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)管柱屈曲進(jìn)行了研究,高國(guó)華等[10]給出了管柱正弦和螺旋屈曲方程的漸進(jìn)解。張永弘等[11]用三維光彈性應(yīng)力凍結(jié)法實(shí)驗(yàn)研究了管柱螺旋屈曲問題。姜麗紅等[12]用DQ單元法分析了端部約束對(duì)鉆柱正弦屈曲的影響。黃文君等[13]用最小勢(shì)能原理研究了邊界條件對(duì)無重管柱螺旋屈曲的影響。孫友宏等[14]利用打靶法進(jìn)行了管柱的屈曲分析。岳欠杯等[15]用能量法與實(shí)驗(yàn)法研究了井筒內(nèi)受壓桿管后屈曲。尹飛等[16]研究了外壓作用下套管側(cè)向屈曲。Liu等[17]采用打靶法研究了有重管柱的后屈曲問題,張強(qiáng)等[18]采用慢動(dòng)力法研究受壓扭管柱的靜力屈曲問題,但均未考慮井筒的約束作用。王尊策等[19]基于梁-梁接觸理論對(duì)分層采油管柱進(jìn)行了屈曲分析。張強(qiáng)等[20]采用慢動(dòng)力法研究了懸掛管柱剛好發(fā)生螺旋屈曲的問題。李子豐等[21]回顧了油氣井桿管柱力學(xué)研究進(jìn)展,Gao等[22]展望了懸掛管柱屈曲問題的研究方法,提出連續(xù)接觸段采用微分方程的設(shè)想。黃文君等[23]根據(jù)這個(gè)設(shè)想將管柱屈曲問題轉(zhuǎn)化為非線性方程組。筆者摒棄常規(guī)方法中管柱屈曲撓曲線的假設(shè),施加初始擾動(dòng)力,虛擬較大的阻尼比,提出正向和逆向加載法,研究不同長(zhǎng)度管柱的屈曲過程。

1 模型建立

1.1 力學(xué)模型

正常作業(yè)的鉆柱,下入過程中的套管柱,起下過程中的油管柱等,管柱模型為上端懸掛,下端自由[24]。如果鉆壓過大或井下受阻,在管柱自重、摩擦力等載荷作用下,管柱下端受壓,易引起管柱自身屈曲。為此建立了如圖1所示的力學(xué)模型,管柱位移邊界取上下兩端鉸支,上端施加懸掛拉力FT,下端約束軸向位移,下端的約束反力即為井底受壓載荷FC。

(1)

式中,L為管柱總長(zhǎng)度,m;E為管柱的彈性模量,Pa;I為管柱橫截面對(duì)中性軸的慣性矩,m4;q為管柱的單位長(zhǎng)度重力,N/m。

同理,可得井底壓力FC和井口懸掛拉力FT,表示為

(2)

(3)

式中,FC為井底壓力,N;FT為井口懸掛拉力,N;LC為管柱受壓段長(zhǎng)度,m;LT為管柱受拉段長(zhǎng)度,m;ξC為受壓段無因次長(zhǎng)度;ξT為受拉段無因次長(zhǎng)度。

圖1 管柱屈曲力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model for buckling of suspended tubing

1.2 基本假設(shè)

力學(xué)模型做如下假設(shè):

(1)管柱在井筒內(nèi)的初始狀態(tài)是完全豎直的。管柱與井筒之間有初始環(huán)空間隙存在,管柱變形前軸線與井筒軸線完全重合。

(2)管柱屈曲后與井筒內(nèi)壁面接觸,考慮管柱與井筒之間摩擦力的影響。

(3)研究管柱屈曲的最終穩(wěn)定狀態(tài),忽略管柱上提或下放過程中的瞬態(tài)影響。

(4)忽略接頭等部件對(duì)屈曲的影響。

因此在不同的管柱總長(zhǎng)度條件下,利用新建立的力學(xué)模型,通過減小井口的懸掛拉力,將使管柱下端的壓力增大,使管柱發(fā)生屈曲。

2 計(jì)算方法

2.1 慢動(dòng)力法

慢動(dòng)力法是利用動(dòng)力學(xué)方法按照一定方式施加恒定外載荷,引入慣性力和阻尼力,考慮時(shí)間積分效應(yīng),設(shè)置較大的虛擬阻尼,計(jì)算一定的時(shí)間,求解動(dòng)力響應(yīng)直至穩(wěn)定。也就是利用動(dòng)力學(xué)方法解決靜力屈曲問題[19]。

考慮懸掛管柱與井筒的非線性接觸,為了解決井筒內(nèi)管柱屈曲過程的收斂困難和算法不穩(wěn)定性問題,利用無接觸管柱靜力屈曲的慢動(dòng)力法[18,20]進(jìn)行管柱非線性接觸的慢動(dòng)力分析。

2.2 動(dòng)力學(xué)方程

采用有限元法依據(jù)間隙元理論[25],經(jīng)過梁?jiǎn)卧烷g隙元的拼裝,管柱屈曲的動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

其中

F(t)=Fw(t)+Fn(d)(t)+Fτ(d)(t),

C=αM.

取第1階的固有頻率f作為模態(tài)阻尼比,可得阻尼比ζ與質(zhì)量阻尼的關(guān)系式為

α=4πfζ.

(5)

不考慮預(yù)應(yīng)力的影響,兩端鉸支條件下管柱第1階的固有頻率為

(6)

式中，f為管柱頻率，Hz;ρ為管柱密度，kg/m3;A為管柱橫截面積,m2。

輸入較大的阻尼比ζ,采用Newmark直接積分法對(duì)式(4)進(jìn)行隱式有限元求解。若已知t時(shí)刻管柱的位移、速度和加速度,則可計(jì)算出t+Δt時(shí)刻管柱的動(dòng)力響應(yīng)。隨著計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)管柱屈曲構(gòu)型趨于穩(wěn)定,各節(jié)點(diǎn)無速度和加速度,方程(5)可退化成靜力屈曲問題,實(shí)現(xiàn)用慢動(dòng)力法對(duì)管柱靜力屈曲的求解。

2.3 載荷施加

外載荷包括井口懸掛拉力FT和管柱自重載荷qL,施加方式采用2種方法:正向加載法和逆向加載法。

(1)正向加載法。在一定時(shí)間內(nèi),按照正弦函數(shù)的方式,將外載荷施加到最大值,并一直保持。通過調(diào)整ξC值,進(jìn)行反復(fù)試算,觀察管柱撓度的計(jì)算結(jié)果是否屈曲。圖2給出了外載荷和擾動(dòng)力曲線。

管柱上端懸掛拉力FT(t)和管柱重力Fg(t)的施加函數(shù)分別為

(7)

(8)

其中

T=1/f,

mg=qL.

式中,m為管柱總質(zhì)量kg;g為自由落體加速度,m/s2;T為管柱固有周期,s。

圖2 正向加載法中的載荷施加Fig.2 Load applied in forward loading method

正向加載的最終懸掛拉力FT,end為

(9)

為了易于屈曲,施加了初始擾動(dòng),在管柱下端施加擾動(dòng)扭矩Mr(t),在管柱受壓段中部施加橫向擾動(dòng)力Fr(t),施加函數(shù)分別為

(10)

(11)

擾動(dòng)扭矩Mr0和橫向擾動(dòng)力Fr0取單位載荷,計(jì)算總時(shí)間取2個(gè)周期,即tend=2T。外載荷按照正弦波施加能夠減小對(duì)管柱的沖擊,使管柱響應(yīng)更平穩(wěn)。微小擾動(dòng)力是在初始施加,在后續(xù)分析中撤銷,不會(huì)影響管柱屈曲的臨界載荷。本文中采用初始擾動(dòng)力方式,既保持了管柱結(jié)構(gòu)的完整性,又實(shí)現(xiàn)了初始缺陷的施加。采用此種加載方式通過調(diào)整ξC反復(fù)計(jì)算,便會(huì)計(jì)算出管柱穩(wěn)定的正弦和螺旋屈曲構(gòu)型。

(2)逆向加載法。首先按照正向加載法獲得超過一個(gè)多螺距的屈曲構(gòu)型,然后上提管柱,逐漸增大懸掛拉力,從而減小管柱下端壓力,使管柱依次經(jīng)歷螺旋屈曲和正弦屈曲構(gòu)型,計(jì)算對(duì)應(yīng)的臨界載荷。圖3給出了逆向加載法的懸掛拉力曲線。

圖3 逆向加載法中的載荷施加Fig.3 Load applied in backward loading method

3 計(jì)算結(jié)果分析

3.1 計(jì)算參數(shù)

3.2 正向加載法螺旋屈曲分析

提取管柱受壓段每1/4段長(zhǎng)度位置的橫向撓度v和u,位置從上到下依次記為1、2和3。圖4給出了這3個(gè)位置處撓度(u/rC和v/rC)隨時(shí)間變化曲線,圖5給出了各個(gè)計(jì)算時(shí)間點(diǎn)的螺旋屈曲穩(wěn)定過程的平面二維圖,圖6給出了各個(gè)計(jì)算時(shí)間點(diǎn)管柱的三維空間屈曲構(gòu)型。

圖4 撓度隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Deflection curve with time

由圖4可見,計(jì)算時(shí)間達(dá)到2個(gè)周期時(shí),各點(diǎn)的撓度保持常值,管柱不存在速度和加速度,解決了采用慢動(dòng)力方法計(jì)算管柱靜力螺旋屈曲問題。

由圖5可見,當(dāng)t<0.37T時(shí),管柱與井壁未產(chǎn)生接觸;當(dāng)t=0.37T時(shí),管柱與井壁剛好有一個(gè)接觸點(diǎn);當(dāng)t=0.47T時(shí),管柱與井壁正好產(chǎn)生兩處接觸,管柱撓度具有螺旋屈曲特征;當(dāng)t=0.65T時(shí),管柱與井壁產(chǎn)生三處接觸;然后隨著時(shí)間增加,中間的接觸點(diǎn)逐漸往兩側(cè)擴(kuò)展,形成連續(xù)段接觸;當(dāng)t=1.72T時(shí),連續(xù)接觸段形成了一個(gè)完整螺距,且不再隨時(shí)間變化。

圖5 正向加載法中螺旋屈曲的穩(wěn)定過程Fig.5 Stable process of helical buckling in forward loading method

圖6 三維空間屈曲構(gòu)型Fig.6 Buckling configuration in 3D space

從圖6可見,當(dāng)t≤1.26T時(shí),屈曲構(gòu)型隨著時(shí)間增加變化較大;當(dāng)1.26T1.72T時(shí),管柱的三維空間屈曲構(gòu)型不再隨時(shí)間增加而產(chǎn)生變化,說明已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

綜上所述,采用正向加載法,計(jì)算時(shí)間在2個(gè)周期內(nèi)能夠得到穩(wěn)定的螺旋屈曲構(gòu)型。

3.3 逆向加載法屈曲過程分析

取無因次長(zhǎng)度ξL=8,采用逆向加載法,圖7給出了螺旋角隨管柱下端受壓載荷變化曲線,螺旋角以第1接觸點(diǎn)之間的角度度量,第1接觸點(diǎn)的說明如圖8所示。

圖8 各種臨界載荷對(duì)應(yīng)的屈曲構(gòu)型Fig.8 Buckling configuration corresponding to critical loads

由圖7可知,隨著管柱上端拉力增加,管柱下端壓力逐漸減小,管柱的螺旋角θ也線性減小,但在圖中放大位置處,曲線表現(xiàn)出非線性特性,表明發(fā)生了剛螺旋的屈曲構(gòu)型。最后螺旋角突然消失,管柱呈直線狀態(tài)。阻尼比對(duì)剛發(fā)生螺旋屈曲有一定的影響,如圖中放大部分所示。但整體來看,阻尼比對(duì)管柱的螺旋角影響較小,隨著阻尼比減小影響也逐漸減小,表明逆向加載法對(duì)分析管柱屈曲是可行的。

取阻尼比為1,根據(jù)圖7的計(jì)算結(jié)果,圖8給出了各種臨界載荷對(duì)應(yīng)的屈曲構(gòu)型圖。圖8中圓點(diǎn)代表第1接觸點(diǎn),三角代表第2接觸點(diǎn),管柱下端部與第1接觸點(diǎn)之間為第1非接觸段,第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)之間為第2非接觸段,管柱上下端的第2接觸點(diǎn)之間為連續(xù)接觸段。

由圖8可見,當(dāng)ξL=8.67時(shí),俯視圖的屈曲構(gòu)型中第2接觸點(diǎn)重合,螺旋角正好360°,管柱發(fā)生了以第2接觸點(diǎn)度量螺距的螺旋屈曲,此時(shí)第1接觸點(diǎn)之間的螺旋角為467.8°,見圖8(b);當(dāng)ξL=7.38時(shí),俯視圖的屈曲構(gòu)型中第1接觸點(diǎn)重合,螺旋角正好360°,管柱發(fā)生了以第1接觸點(diǎn)度量螺距的螺旋屈曲,此時(shí)第2接觸點(diǎn)之間的螺旋角為262.9°,見圖8(c);當(dāng)ξL=4.06時(shí),管柱剛發(fā)生螺旋屈曲,管柱撓曲線為空間三維曲線,與井筒存在2處接觸,接觸點(diǎn)之間的螺旋角為82.7°,見圖8(d);當(dāng)ξL=1.91時(shí),管柱發(fā)生正弦屈曲,管柱撓曲線為平面曲線,與井筒存在1個(gè)接觸點(diǎn),見圖8(e)。

取不同的阻尼比,各階屈曲模態(tài)的無因次臨界載荷見表1。由表1可知,阻尼比0.75≤ζ≤24.0時(shí),阻尼比對(duì)各個(gè)臨界載荷的影響甚微,逆向加載法得到的臨界載荷與正向加載法結(jié)果的最大誤差為1.55%,而與黃文君等[23]理論解的最大誤差為2.77%。另一方面,正弦屈曲臨界載荷與Lubinski等[1]的解析解1.94更接近,說明逆向加載法的方法是合理的,同時(shí)表明計(jì)算精確度較高。

表1 屈曲無因次臨界載荷對(duì)比

3.4 管柱長(zhǎng)度對(duì)臨界載荷影響

圖9給出了不同管柱長(zhǎng)度條件下螺旋角隨受壓載荷變化曲線。在正弦屈曲、剛螺旋屈曲、以第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距的屈曲條件下,圖10給出了隨管柱長(zhǎng)度變化的撓曲線。

由圖9可見,在同一個(gè)受壓載荷作用下,管柱越長(zhǎng),對(duì)應(yīng)的螺旋角越大,表明達(dá)到同一個(gè)螺旋屈曲狀態(tài)時(shí),對(duì)應(yīng)的臨界載荷也越小,例如以第1和第2接觸段度量螺距便是這種情況。剛螺旋屈曲和正弦屈曲時(shí),管柱越長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的臨界載荷也越小。其中螺旋向正弦屈曲構(gòu)型轉(zhuǎn)變是一個(gè)突變的過程。

由圖10可見,在同一種屈曲構(gòu)型中管柱下端的撓曲線基本一致。隨著管柱長(zhǎng)度增加,從受壓段到受拉段,管柱撓度逐漸趨于0,表明受拉段對(duì)螺旋屈曲的構(gòu)型有影響;但是,隨著管柱長(zhǎng)度增加,受壓段屈曲后的撓度趨于相同,也表明受拉段對(duì)螺旋屈曲受壓段長(zhǎng)度的影響是有一定限度的。

圖9 螺旋角隨受壓載荷變化曲線Fig.9 Change of helix angle with compression load

圖10 隨管柱長(zhǎng)度變化的撓曲線Fig.10 Deflection curve with tubing length changing

圖11 不同摩擦系數(shù)下管柱摩擦力隨受壓載荷曲線Fig.11 Change of friction force with compression load at different friction coefficient

在正弦屈曲、剛螺旋屈曲、以第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距條件下,圖12給出了臨界載荷隨管柱無因次長(zhǎng)度曲線。由圖12可見,隨著管柱無因次總長(zhǎng)度增加,無因次臨界載荷均逐漸減小并趨于常值。管柱無因次總長(zhǎng)度8≤ξL≤50時(shí),正弦屈曲無因次臨界載荷ξC從1.92減小到1.65,見圖12(a);剛螺旋屈曲的無因次臨界載荷ξC從4.06減小到3.84,見圖12(b);以第1接觸點(diǎn)度量螺距的無因次臨界載荷ξC從7.37減小到6.75,見圖12(c);以第2接觸點(diǎn)度量螺距的無因次臨界載荷ξC從8.65減小到7.48,見圖12(d)。

無因次總長(zhǎng)度ξL從8增加到30時(shí),這4種屈曲構(gòu)型的無因次臨界載荷分別減小了13.02%、5.17%、7.19%和12.14%,無因次總長(zhǎng)度ξL從30增加到50時(shí),對(duì)應(yīng)的臨界載荷分別減小了1.20%、0.26%、1.32%和1.58%,進(jìn)一步表明隨著管柱總長(zhǎng)度增加,其臨界載荷逐漸減小并趨于常值。

根據(jù)圖12的載荷曲線,利用Origin軟件中的Logistic函數(shù),進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合,擬合具有較高的吻合度。得到的無因次臨界載荷的擬合公式為

ξC=A+(B-A)/[1+(ξL/E)F], 8≤ξL≤50.

(12)

式中,A、B、E和F為擬合系數(shù),表2給出了擬合公式及其各項(xiàng)系數(shù)。

圖12 管柱長(zhǎng)度對(duì)臨界載荷影響Fig.12 Effect of tubing length on critical load

表2 無因次臨界載荷的擬合公式

在工程應(yīng)用中,根據(jù)式(1)將管柱的總長(zhǎng)度L進(jìn)行無因次化,由于臨界載荷隨管柱長(zhǎng)度的增加而逐漸減小,并趨于常值,如果無因次總長(zhǎng)度ξL大于50,取ξL=50時(shí)的ξC。按照式(12)進(jìn)而得到管柱正弦屈曲、剛螺旋屈曲、以第1接觸點(diǎn)和第2接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距條件下的無因次臨界載荷ξC。

由于摩擦力對(duì)臨界載荷影響甚微,qL?FT+FC,可求出臨界載荷對(duì)應(yīng)的井口懸掛拉力FT,表示為

(12)

當(dāng)井口懸掛拉力大于FT時(shí),管柱在井底受壓段不會(huì)發(fā)生相應(yīng)的屈曲變形。

4 結(jié) 論

(1)提出的逆向加載法中,根據(jù)正向加載得到的穩(wěn)定螺旋屈曲構(gòu)型,逐漸增大懸掛拉力,從而減小了管柱的井底壓力,得到了相繼發(fā)生以第2接觸點(diǎn)和第1接觸點(diǎn)度量一個(gè)完整螺距的屈曲、剛螺旋屈曲和正弦屈曲的各階屈曲模態(tài)構(gòu)型。其中形成完整螺距的屈曲和正弦屈曲過程的螺旋角與井底壓力為線性關(guān)系,只有2接觸點(diǎn)的剛螺旋構(gòu)型的螺旋角與井底壓力呈現(xiàn)出非線性特性,螺旋屈曲構(gòu)型向正弦屈曲構(gòu)型轉(zhuǎn)變是一個(gè)突變的過程。

(2)摩擦力對(duì)臨界載荷的影響甚微。隨著管柱無因次總長(zhǎng)度增加,各階屈曲模態(tài)的無因次臨界載荷均逐漸減小并趨于常值。