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      含Ornstein-Uhlenbeck過程的隨機SIS模型疾病的滅絕性分析

      2019-09-06 02:13:28李海燕韋煜明彭華勤
      關鍵詞:感染力全局均值

      李海燕,韋煜明,彭華勤

      (廣西師范大學 數學與統(tǒng)計學院,廣西 桂林 541004)

      0 引言

      (1)

      值得注意的是, 大多數學者在研究環(huán)境變化對傳染病的影響時, 所考慮的白噪聲擾動都是線性的, 此外, 模型中的參數也可能滿足均值回復過程(i.e.,Ornstein-Uhlenbeck過程).[11-14]假設接觸系數β滿足均值回復過程, 其形式如下:

      dβ(t)=θ(βe-β(t))dt+ξdB(t)

      (2)

      其中,θ和ξ為正常數,θ為回復速率,ξ為波動強度,βe為接觸系數的長期平均水平. 對(3)式積分, 得到

      (3)

      其中β0:=β(0).易知β(t)的期望為E[β(t)]=βe+(β0-βe)e-θt

      (4)

      β(t)的方差為

      (5)

      因此, (3)式可寫成如下形式

      (6)

      (7)

      本文在文獻[12]的基礎上, 考慮總人口變化和因病死亡率, 并且接觸系數滿足均值回復過程, 得到如下模型:

      (8)

      其中B(t)為標準布朗運動, 因為當染病者人數較少時, 人們重視程度不高, 沒有通過采取措施來控制接觸率, 此時感染力是增加的; 當染病者增加時, 人們開始重視, 從而通過采取一些手段來控制接觸率, 進而降低了感染力, 此時感染力是遞減的. 所以感染力度是一個非單調的函數, 因此, 為了確保有一個非單調的感染力, 我們做出如下假設:

      (H1)f(0) >0并且f(I)′ >0,(I>0)

      本文主要討論模型(8)全局解的存在唯一性以及疾病滅絕的條件.

      1 全局正解的存在唯一性

      本文總假設(Ω,F, {Ft}t≥0,P)是一個完備的概率空間, 其中{Ft}t≥0滿足通常條件,

      顯然Γ是系統(tǒng)(8)的一個正不變集.

      τη=inf{t∈[0,τe):S(t) ≤η,S(t) ≤η}

      P{τη≤T}≥ε,

      顯然,V(S(t),I(t))是正定的.根據It公式, 我們有:

      (9)

      其中

      :=M

      將其帶入(9)式有:

      (10)

      對(10)式從0→τη∧T積分, 有

      所以有

      E[V(S(τη∧T),I(τη∧T)) ]≤V(S(0),I(0))+MT

      (11)

      設Ωη={τη:τη≤T}, 由P{τη≤T}≥ε知P(Ωη) ≥ε, 且對每個ω∈Ωη,由停時的定義知,在S(τη∧T),I(τη∧T) 中, 至少有一個等于η, 所以

      根據(11)式有

      令η→0, 則有∞>V(S(0),I(0))+MT=∞, 矛盾. 所以τ0=∞,a.s., 即系統(tǒng)(8)存在全局唯一正解.

      2 疾病的滅絕

      本節(jié)主要討論在白噪聲是一個均值回復過程下疾病的滅絕, 定義系統(tǒng)(8)中ξ=0時的基本再生數

      定義系統(tǒng)(8) 的隨機基本再生數為:

      定理2 如果

      (12)

      (13)

      (14)

      對(14)式從0→t積分, 有

      (15)

      則有

      顯然

      (17)

      是一個局部鞅, 根據鞅的強大數定理[15]知

      (18)

      (19)

      根據(16),(17),(18),(19)有

      (20)

      此時, 根據(16),(17),(18),(20)有

      所以疾病滅絕, 從而定理得證.

      3 結論

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