問(wèn)題讓探究發(fā)生
——“圍圓柱的奧秘”教學(xué)實(shí)錄與思考

◇陳瑞華

“圍圓柱的奧秘”這節(jié)課來(lái)源于北師大版教材六年級(jí)下冊(cè)第一單元“圓柱與圓錐”中的一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，目的是通過(guò)“用長(zhǎng)方形紙卷圓柱”的探索活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的圓柱表面積和體積的知識(shí)，經(jīng)歷探索規(guī)律的過(guò)程，體會(huì)一些變量之間的關(guān)系。

一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：今天老師帶來(lái)了一張長(zhǎng)方形卡紙，用這張卡紙可以做什么呢？

生1：可以做一個(gè)沒有上底和下底的圓柱。

師：可以做一個(gè)圓柱，怎么做？

（請(qǐng)生1 上前示范，把長(zhǎng)方形紙橫著圍成圓柱）

師：他是做成這樣子的，還有別的做法嗎？

（生2 把長(zhǎng)方形紙豎著圍成圓柱）

師：兩個(gè)同學(xué)的做法有什么不同？

生3：生1 是橫著圍圓柱的，長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)。

生4：生2 是豎著圍圓柱的，長(zhǎng)方形紙的寬是圓柱的底面周長(zhǎng)。

師：觀察得很仔細(xì)。今天我們就一起來(lái)研究用長(zhǎng)方形紙圍圓柱的奧秘。（出示課題）每個(gè)小組有兩張跟老師手中一樣的卡紙，請(qǐng)你們按照不同的圍法，把它們圍成圓柱。

學(xué)生活動(dòng)：用卡紙圍圓柱。

【反思】以數(shù)學(xué)的眼光看一張紙，基于平面到立體，通過(guò)思考、想象、操作，把二維的面和三維的體進(jìn)行轉(zhuǎn)化，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手圍一圍的活動(dòng)感受平面到立體的變化。

二 合作研究，猜測(cè)驗(yàn)證

提出問(wèn)題：用同一張長(zhǎng)方形卡紙圍圓柱，哪種圍法體積大？

（一）猜測(cè)。

師：猜一猜，哪個(gè)圓柱的體積大？

生：橫著圍的圓柱體積大，因?yàn)楸容^粗。

生：我覺得豎著圍的圓柱體積大，圓柱雖然不粗，但是比較高。

生：我覺得是一樣大的，因?yàn)樗怯猛瑯哟笮〉募垏傻摹?/p>

師：有三種猜想，到底誰(shuí)說(shuō)得對(duì)呢？我們?cè)撛趺崔k？

生：我們需要計(jì)算、驗(yàn)證。

師：是的，可以通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證。想一想，計(jì)算時(shí)我們需要哪些條件呢？

生：我認(rèn)為需要知道圓柱的高。

生：還要知道圓柱底面的半徑。

生：我認(rèn)為只要知道這張紙的長(zhǎng)和寬就可以了。

師：經(jīng)過(guò)測(cè)量，這張長(zhǎng)方形卡紙長(zhǎng)27 厘米，寬19 厘米。小組合作，求出這兩種圓柱的體積，并填寫在表中（表略）。

（學(xué)生活動(dòng)，教師巡視）

（二）驗(yàn)證。

（教師出示一個(gè)小組的表格，如表1)

師：請(qǐng)這個(gè)小組和大家分享一下。

表1

師：請(qǐng)大家看看你們的數(shù)據(jù)，跟屏幕上的是一樣的嗎？

（學(xué)生點(diǎn)頭表示一樣）

師：通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)怎樣圍成的圓柱體積大？

生：橫著圍的圓柱體積比較大。

【反思】這一環(huán)節(jié)以“怎么圍體積大”這一問(wèn)題為引領(lǐng)，通過(guò)問(wèn)題讓探究發(fā)生，學(xué)生在經(jīng)歷了操作活動(dòng)的過(guò)程后，對(duì)長(zhǎng)方形紙圍成的圓柱有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

三 不斷追問(wèn)，操作驗(yàn)證

提出問(wèn)題：用同樣的長(zhǎng)方形卡紙圍圓柱，怎樣圍體積會(huì)更大？

（一）猜測(cè)。

師：用一張長(zhǎng)方形卡紙橫著圍成的圓柱，體積比較大。再想一想，還是用這張卡紙，能否圍出體積更大的圓柱？

生：如果把卡紙分成兩半再圍，我覺得它的體積會(huì)更大。

師：你是怎么分的？

（學(xué)生做示范，將卡紙橫著對(duì)折剪開）

師：拿剪刀從中間剪開，這張紙就變成了兩份，把它們接在一起來(lái)圍，是這樣嗎？

（學(xué)生表示能理解這種方法）

師：還有別的方法嗎？

生：我認(rèn)為也可以把紙豎著剪，再來(lái)圍圓柱。

(教師操作課件，動(dòng)態(tài)演示兩種剪法與圍法)

師：想一想，用這兩種方法剪開后，圍成的圓柱體積會(huì)更大嗎？

生：（齊）會(huì)。

師：這是我們的猜測(cè)，到底對(duì)不對(duì)呢？現(xiàn)在我們來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證。請(qǐng)小組分工合作，一起來(lái)剪一剪、拼一拼、圍一圍、算一算。

（學(xué)生小組合作，剪、拼、圍、算）

（二）匯報(bào)方法與算法。

師：請(qǐng)第九組的代表來(lái)說(shuō)一說(shuō)：你們是怎么做的？怎么算的？把你們做的圓柱和填的表格與大家分享。

（教師出示學(xué)生填好的表格并引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，表略）

分析數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：為了方便大家進(jìn)行觀察，我把剛才我們得到的四組數(shù)據(jù)放在一起，請(qǐng)大家一起觀察表2。

表2

師：這是四種圍法，請(qǐng)你觀察表格中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)又矮又胖的圓柱的體積大于又高又瘦的圓柱的體積。

師：我有一個(gè)疑問(wèn)，什么叫又矮又胖？

生：指的是圓柱比較短又粗。

（學(xué)生拿出兩個(gè)圓柱進(jìn)行比較）

師：還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)它們的側(cè)面積都是一樣的。

生：我發(fā)現(xiàn)剪開后圍成的體積都比原來(lái)的體積大。

生：我發(fā)現(xiàn)它們的底面半徑越小，體積就越小。

生：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形紙剪開后圍成圓柱的體積幾乎是原來(lái)的兩倍。

師：能不能嘗試把我們的發(fā)現(xiàn)用一句話說(shuō)出來(lái)呢？

生：底面半徑越大，體積就越大。

生：我認(rèn)為還要側(cè)面積相等。側(cè)面積相等時(shí)，底面半徑越大，體積就越大。

師：還有別的想法嗎？

師：（將四個(gè)圓柱從高到低排列好）從左到右，圓柱的底面半徑越來(lái)越大，高越來(lái)越小，體積卻越來(lái)越大。這是為什么呢？

生：因?yàn)閳A柱體積公式中半徑是平方，要乘兩次，而高只能乘一次。

師：他的解釋有沒有道理呢？需要我們進(jìn)一步思考。

【反思】“你發(fā)現(xiàn)了什么？” 這一問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生立刻進(jìn)入思考階段，通過(guò)比較數(shù)據(jù)，學(xué)生對(duì)“用同樣大小的長(zhǎng)方形紙圍圓柱，半徑越大，體積越大”這一規(guī)律理解得更加透徹。

四 拓展訓(xùn)練，科學(xué)說(shuō)明

提出問(wèn)題：為什么側(cè)面積相等時(shí)，底面半徑越大，圓柱體積就越大？

師：回憶一下圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，是不是這樣的？（課件出示圓柱及由圓柱轉(zhuǎn)化成的近似長(zhǎng)方體）誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這個(gè)公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的？

生：把圓柱分成若干個(gè)小的“三角體”，把這些“三角體”拼接起來(lái)，形成一個(gè)近似于長(zhǎng)方體的圖形。這樣轉(zhuǎn)化之后，長(zhǎng)方體的高就等于圓柱的高。長(zhǎng)方體的計(jì)算公式是長(zhǎng)×寬×高。

生：其中，長(zhǎng)×寬就是它的底面積。

師：我們把圓柱切開以后拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，“長(zhǎng)方體”和圓柱的體積是相等的，所以，圓柱的體積等于底面積×高。

師：下面我們要換一種思路了。請(qǐng)大家看仔細(xì)了（操作學(xué)具，把“長(zhǎng)方體”放倒），這時(shí)體積有沒有發(fā)生變化？

生：沒有變化，還可以用底面積×高來(lái)求體積。

師：想一想，底面積是多少？底面是哪個(gè)？

生1：底面就是原來(lái)圓柱的側(cè)面。

生2：我補(bǔ)充一下，我覺得底面積是原來(lái)圓柱側(cè)面積的一半。

師：高是什么？

生：高就是半徑。

師：我們是否可以得到圓柱體積的新的計(jì)算公式？

生：側(cè)面積的一半再乘半徑。

師：真不錯(cuò)，我們一起推導(dǎo)出了一個(gè)圓柱體積的新的計(jì)算公式。這個(gè)公式和我們今天發(fā)現(xiàn)的結(jié)果有聯(lián)系嗎？

生：我們今天的結(jié)論是：當(dāng)側(cè)面積相等時(shí)，圓柱的底面半徑越大，體積就越大。我們?cè)倏催@個(gè)公式，公式是由兩部分組成的，一個(gè)是側(cè)面積的一半，還有就是半徑。如果側(cè)面積一樣，體積的大小就取決于半徑，半徑越大，那么圓柱的體積就越大。

【反思】為什么側(cè)面積相等時(shí)，底面半徑越大，圓柱體積就越大？這一問(wèn)題的設(shè)計(jì)主要是讓學(xué)生知其然，還要知其所以然。學(xué)生借助學(xué)具操作，進(jìn)一步解釋了這一現(xiàn)象。

五 課后小結(jié)，總結(jié)收獲

師：回憶一下，我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？

生：圍圓柱的奧秘。

師：我們是通過(guò)哪些步驟得到這個(gè)奧秘的？

生：我們進(jìn)行了猜想—操作，并用計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。

師：猜測(cè)、操作、驗(yàn)證，這是我們學(xué)數(shù)學(xué)的一種方法。我們可以用這種方法解決數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題。

【反思】問(wèn)題讓探究發(fā)生，本節(jié)課以“問(wèn)題串”的形式引領(lǐng)課堂，通過(guò)四個(gè)問(wèn)題讓課堂一步步走向深入，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為核心，隨著問(wèn)題的推進(jìn)，學(xué)生的思維不斷向深處邁進(jìn)，而不僅是一個(gè)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。