楊洪玖，李 鵬

(燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

近年來，隨著計算機網(wǎng)絡(luò)的廣泛使用和通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)被越來越多地應(yīng)用到控制系統(tǒng)中，從而產(chǎn)生了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)。隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)通信能力得到了極大的提升，某些情況下的通信時延已經(jīng)達到了很小的數(shù)量級，從而大大改善了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的控制效果[1]。對于那些具有長時延和多丟包的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，采用預(yù)測控制可以有效補償時延和丟包，使系統(tǒng)達到滿意的控制效果[2-3]。網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制是一種基于時延的補償策略，因此需要知道網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的時鐘信息。發(fā)送端發(fā)送數(shù)據(jù)包時，需要將發(fā)送時刻的時鐘信息也加上，從而接收端可以根據(jù)接收時刻與發(fā)送時刻的時鐘差值得到時延信息。對于某些網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，實現(xiàn)全部網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的時鐘同步是不現(xiàn)實的，也是非必要的。對于網(wǎng)絡(luò)化控制來說，我們只關(guān)心系統(tǒng)的回路時延，即傳感器到控制器和控制器到執(zhí)行器的時延之和，并總能用預(yù)測控制算法將回路時延補償?shù)簟２煌氖?，精確的時鐘同步下，各個通道的單程時延都可以知道，從而減小控制器需要發(fā)送數(shù)據(jù)包的大小，節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬資源[4-5]。

針對一類控制器節(jié)點與被控對象節(jié)點時鐘非同步的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，本文研究了對時延和丟包的變增益預(yù)測補償問題。在本文所設(shè)計的方案中，首先在本地端設(shè)置狀態(tài)觀測器來獲得更精確的狀態(tài)估計值。在預(yù)測控制器端，設(shè)計一套變增益網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制算法來補償網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生的時延和丟包[6-9]。通過錐補線性化的方法將控制器求解過程中的非線性矩陣不等式問題轉(zhuǎn)化為求解一組帶約束的線性矩陣不等式，得到了閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，同時得到滿足控制要求的狀態(tài)觀測器參數(shù)和一組隨時延變化的控制器增益。最后，通過倒立擺模型的數(shù)值仿真驗證了所提出方案的有效性。本文內(nèi)容的主要貢獻點總結(jié)如下：

1) 針對帶有時延、丟包和時鐘非同步的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，設(shè)計了變增益網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制器補償時延和丟包。

2) 采用錐補線性化的方法將非線性矩陣不等式問題轉(zhuǎn)化為帶約束的線性矩陣不等式問題并求解優(yōu)化問題。

3) 提出的設(shè)計方案降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的保守性，同時簡化了控制器參數(shù)的設(shè)計和調(diào)節(jié)的過程。

在沒有特別聲明的情況下，本文中的所有矩陣都具有合適的維度。Rn表示n維歐幾里得空間，P-1和PT分別表示矩陣P的逆矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣。I代表具有合適維度的單位矩陣。P>0表示矩陣P是一個正定對稱實數(shù)矩陣。N代表非負整數(shù)集合。表達式diag{·}表示對稱矩陣。記號*表示對稱矩陣中的對稱內(nèi)容。

1 系統(tǒng)模型與問題描述

本文考慮如圖1所示的帶有時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制系統(tǒng)。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
Fig.1 Networked predictive control system diagram

在圖1中，被控對象的模型可描述為下面的離散方程：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),

(1)

y(k)=Cx(k),

(2)

式中，x(k)∈Rn，u(k)∈Rm和y(k)∈Rq分別代表系統(tǒng)的狀態(tài)向量，輸入向量和輸出向量，A、B和C是具有合適維度的已知常數(shù)矩陣。

為了方便本文研究，給出如下的假設(shè)條件。

假設(shè)1：系統(tǒng)模型(1)、(2)滿足(A,B)完全可控，(A,C)完全可觀測。傳感器、控制器和執(zhí)行器均為時間驅(qū)動方式且具有相同的采樣周期。

假設(shè)2：所有發(fā)送到網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)包都有時間戳，網(wǎng)絡(luò)中傳感器節(jié)點和控制器節(jié)點的時鐘是非同步的，傳感器和執(zhí)行器的時鐘是同步的。

假設(shè)3：傳感器到控制器通信網(wǎng)絡(luò)和控制器到執(zhí)行器通信網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)總的傳輸時延范圍為τ1∈{1,2,…，H} ，反饋通道和前向通道的最大連續(xù)丟包數(shù)分別為N和R，則回路總時延τ(k)的上界為H=M+N+R。

2 主要工作

2.1 狀態(tài)觀測器

考慮到系統(tǒng)狀態(tài)不可由傳感器測量的情況，設(shè)計如下形式的狀態(tài)觀測器

(3)

(A-LC)e(k)。

(4)

2.2 預(yù)測控制器

(5)

最后，預(yù)測控制器將計算得到的H個預(yù)測控制量打包成如下的形式

τ(k)=(tr-ts)/T。

對于時間驅(qū)動的傳感器和執(zhí)行器，時延τ(k)總是整數(shù)。執(zhí)行器將預(yù)測控制量u(k|k-τ(k))作為當前時刻的實際控制量。當下一采樣時刻沒有新的預(yù)測控制量數(shù)據(jù)包被接收時，則使用數(shù)據(jù)包中對下一時刻的預(yù)測控制量u(k+1|k-τ(k))作為真實控制量。

在這種固定增益的預(yù)測控制算法下，閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以用下式來描述

Ax(k)+BK(A+BK)τ(k)x(k-τ(k))-

BK(A+BK)τ(k)e(k-τ(k)),

(6)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，閉環(huán)系統(tǒng)可以描述成上述包含H個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)，應(yīng)用切換系統(tǒng)理論可以得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。如式(6)形式的系統(tǒng)穩(wěn)定性證明已在文獻[10]中給出，此處不再贅述。

固定增益預(yù)測控制算法在傳輸時延和連續(xù)丟包步數(shù)較少時，可以很好地補償網(wǎng)絡(luò)中的時延和丟包。然而，控制器的參數(shù)K是針對系統(tǒng)中沒有時延和丟包的情況下設(shè)計的，雖然能夠使無網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)獲得滿意的控制效果，但并沒有反映出網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的時延，因此設(shè)計方法比較保守，并沒有考慮根據(jù)網(wǎng)絡(luò)時延情況來設(shè)計控制器。本文提出一種變增益網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測控制方案，控制器參數(shù)根據(jù)時延信息來設(shè)計，可以得到保守性更低的設(shè)計方法，同時使系統(tǒng)獲得更好的控制效果。下面給出本文的變增益預(yù)測控制器設(shè)計方案。

(7)

作為真實控制量。同傳統(tǒng)預(yù)測控制方法一樣，當下一時刻執(zhí)行器沒有接收到新的數(shù)據(jù)包時，使用可利用數(shù)據(jù)包中對下一時刻的預(yù)測控制量u(k+1|k-τ(k))作為系統(tǒng)的真實控制量。

由上述預(yù)測控制方案可得閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(8)

令(BKτ(k)-BK0(A+BK0)τ(k))x(k-τ(k))=BK0e(k)，則系統(tǒng)狀態(tài)方程可改寫為

x(k+1)=Ax(k)+
BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0e(k)-BKτ(k)e(k-τ(k))=
Ax(k)+BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0(A-LC)He(k-H)-
BKτ(k)(A-LC)H-τ(k)e(k-H)),

(9)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，K0和L為在無網(wǎng)絡(luò)情況下能夠使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的控制器參數(shù)和觀測器參數(shù)，可以由極點配置的方法來得到。

由式(4)和(9)，閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)可以描述為下式所示的切換系統(tǒng)

(10)

式中，

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1 對于切換系統(tǒng)(10)，如果存在一個合適維數(shù)的正定對稱矩陣P>0使得對于所有的τ(k)=1,2,…,H，都有

(11)

那么閉環(huán)切換系統(tǒng)在任意切換律下漸近穩(wěn)定。

證明根據(jù)切換系統(tǒng)理論，如果對所有的子系統(tǒng)存在一個公共的李雅普諾夫函數(shù)，且該函數(shù)隨時間的差分小于0，那么切換系統(tǒng)在任意切換條件下是漸近穩(wěn)定的。對于系統(tǒng)(10)，給定公共李雅普諾夫函數(shù)為

則有

令ΔV(k)<0，則可得定理1的結(jié)論。即對于有限個子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)(10)，如果對于所有的τ(k)=1,2,…,H，存在合適維數(shù)的正定對稱矩陣P>0使得不等式(11)成立，則閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證畢。

接下來，在定理1的條件下求解變增益預(yù)測控制器的設(shè)計問題。首先把閉環(huán)系統(tǒng)(10)改寫為

(12)

式中，

下面給出控制器的設(shè)計過程。對不等式(11)應(yīng)用Schur補引理，可以得到ΔV(k)<0等價于矩陣不等式

(13)

由于非線性項P-1的存在，式(13)不能應(yīng)用線性矩陣不等式的方法來求解。令Q=P-1替換掉非線性項P-1，然后采用錐補線性化的方法將下式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式

(14)

然后，通過求解優(yōu)化問題minimize trace(PQ)，且同時滿足約束條件

(15)

從而得到一組優(yōu)化問題的解，進而得到控制器參數(shù)Kτ(k),τ(k)=1,2,…,H。

3 仿真結(jié)果

為了驗證本文所設(shè)計變增益預(yù)測控制方案的有效性，使用圖2的倒立擺的模型進行數(shù)值仿真。

圖2 倒立擺模型圖
Fig.2 Inverted pendulum model

對于通信網(wǎng)絡(luò)，給定回路的數(shù)據(jù)傳輸時延上界M=4，反饋通道和前向通道的最大連續(xù)丟包數(shù)分別為N=1和R=1，則整個回路由傳輸時延和丟包造成的總的時延上界為H=6。通過極點配置的方法給定滿足本地控制性能要求的控制器參數(shù)和觀測器參數(shù)分別為

然后通過求解滿足不等式約束(15)的優(yōu)化問題，得到變增益預(yù)測控制器的參數(shù)為

最后，仿真得到觀測器的觀測誤差曲線與閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線分別如圖3中(a)和(b)所示。

由圖3(a)可知，狀態(tài)觀測誤差漸近收斂到0，從而證明了所設(shè)計狀態(tài)觀測器的有效性。由圖3(b)可知，應(yīng)用本文設(shè)計的控制器參數(shù)可以使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。上述仿真結(jié)果證明了本文所提出的變增益預(yù)測控制方案是有效的，系統(tǒng)能夠以接近本地控制的效果達到漸近穩(wěn)定。

圖3 狀態(tài)觀測誤差和系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線
Fig.3 State observation error and system state response curves

4 結(jié)論

本文研究了網(wǎng)絡(luò)時鐘不同步的情況下，帶有時延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的變增益預(yù)測控制器設(shè)計問題。根據(jù)切換系統(tǒng)理論，通過錐補線性化的方法將控制器求解過程中遇到的非線性矩陣不等式問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題，通過求解一組優(yōu)化問題，得到滿足條件的優(yōu)化問題的解。最后通過倒立擺模型的數(shù)值仿真結(jié)果驗證了本文設(shè)計方案的有效性。