廣義逆威布爾分布參數(shù)的ML估計

王樅

摘要：逆威布爾分布是可靠性理論中常見的一種失效分布，可廣泛應(yīng)用于化學(xué)化工，電子電氣，機(jī)械材料領(lǐng)域.對于逆威布爾分布的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的極大似然估計是研究威布爾分布模型問題的重要方法.由于考慮到普通迭代估計過程的不穩(wěn)定性，本文利用修正牛頓迭代法給出了完全樣本情況下廣義逆威布爾分布多個參數(shù)的極大似然估計，然后通過隨機(jī)模擬來驗證估計的合理性.

關(guān)鍵詞：廣義逆威布爾分布;極大似然估計;牛頓迭代法

中圖分類號：O212.1? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）02-0005-03

早在20世紀(jì)30年代，費(fèi)舍（R.A.Fisher，1860- 1960）在漸進(jìn)分布的研究中，發(fā)現(xiàn)了極值分布中的逆威布爾分布.這一重要的函數(shù)分布在軍工、醫(yī)學(xué)、物理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.越來越多的學(xué)者對它的研究產(chǎn)生了極大的興趣.Keller and Kamath（1982）[1]在基本的逆威布爾分布的模型下考慮了其密度函數(shù)和失效率函數(shù)的形狀.Drapella（1993）[2]Mudholkar and Kollial（1994）[3]和Jiang et.al.（1999）[4]正式地給出了逆威布爾分布的累積分布函數(shù).

如果隨機(jī)變量T的累積分布函數(shù)具有如下的形式：

變量T就服從逆威布爾分布.而逆威布爾分布是廣義逆威布爾分布的一個特例.Gusm？觔o and Ortega （2011）[5]首次提出了廣義逆威布爾分布的概念，并且在文中介紹了廣義逆威布爾分布很多優(yōu)良的性質(zhì)和特點.根據(jù)上述文獻(xiàn)的研究內(nèi)容，我們不妨假設(shè)變量T服從廣義逆威布爾分布，它的累積分布函數(shù)F（t）可以視為函數(shù)G（t）以非負(fù)參數(shù)？酌為指數(shù)的冪，則廣義逆威布爾分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為

本文主要研究廣義逆威布爾分布三參數(shù)的極大似然估計以及參數(shù)估計有效性的隨機(jī)模擬.

1 廣義逆威布爾分布的參數(shù)極大似然估計

1.1 極大似然估計

1.2 修正極大似然估計

2 隨機(jī)模擬

在本節(jié)中，我們利用matlab對廣義逆威布爾分布的參數(shù)估計進(jìn)行隨機(jī)模擬，參數(shù)真值的選取會對估計結(jié)果產(chǎn)生影響.我們選取兩組不同的參數(shù)真值（2.0879，2.1535，2.9411）和（3.1632，1.5935，3.2733），并且在兩組中分別產(chǎn)生10，20，40，60，100，140，200樣本量的隨機(jī)變量x的樣本，然后利用matlab對3個參數(shù)？琢，？茁，？酌進(jìn)行修正極大似然估計的模擬，重復(fù)迭代2000次，取平均值作為參數(shù)的估計值，得到模擬結(jié)果見表1和表2.其中令誤差范數(shù)

我們可以看出無論是第1組還是第2組，隨著樣本量的不斷增大，參數(shù)的估計值會越接近真實值，當(dāng)樣本量為200時，迭代估計的模擬效果達(dá)到最佳.由于第1組的參數(shù)估計值與真值的誤差明顯大于第2組.所以選取合適的真值也有利于控制模擬的誤差.

3 總結(jié)

廣義逆威布爾分布的參數(shù)估計在可靠性理論中有非常重要的作用.本文介紹了參數(shù)的修正極大似然估計，并且驗證了隨機(jī)模擬下迭代估計的可行性.本文還有其他的問題沒有考慮，例如：如何利用林德利近似方法給出參數(shù)的貝葉斯估計.這是我們后續(xù)應(yīng)該進(jìn)一步探討的問題.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕Keller AZ， Kamath AR. Reliability analysis of CNC machine tools. Reliab Eng ，1982，3：449–473.

〔2〕Drapella A， Complementary Weibull distribution： unknown or just forgotten. Qual Reliab Eng Int， 1993， 9：383–385.

〔3〕Mudholkar GS， Kollia GD Generalized Weibull family： a structural analysis. Commun Stat Ser A，1994， 23：1149–1171.

〔4〕Jiang R， Zuo MJ， Li HX Weibull and Weibull inverse mixture models allowing negative weights. Reliab Eng Syst Saf ，1999，66：227–234.

〔5〕Gusm？觔o， F. R. S. ， Ortega， E. M. M. & Cordeiro， G. M. The Generalized Inverse Weibull Distribution. Stat. Pap， 2011，52（3）： 591–619.

〔6〕韋博成.參數(shù)統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2006.