“挖洞”類型題的一題多解

李遠(yuǎn)梅

摘 要：本文針對第二類曲線積分“挖洞”難題的計算，分別提出了三種方法：格林公式法、直接法、全微分法。特別是全微分法，摒棄格林公式應(yīng)用條件的束縛，從一全新的角度解決第二類曲線積分的挖洞難題。

關(guān)鍵詞：第二類曲線積分;格林公式;挖洞難題;全微分法

在計算第二類曲線積分時，往往要注意應(yīng)用格林公式的條件，條件不夠要創(chuàng)造條件，如曲線不封閉，要添加帶方向性的輔助線。當(dāng)所圍區(qū)域有一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)時，需要挖去。傳統(tǒng)的做法是挖洞，構(gòu)造復(fù)連通區(qū)域，再進(jìn)行計算。但是往往“挖洞”具有技巧性，是挖“圓洞”還是“橢圓洞”，還是其他洞呢，這是一個值得思考的問題。不同的題有不同的方法，本文針對這類問題，找到了一個全新解決此類題的方法——全微分法。

事實(shí)證明，采用全微分方法不用考慮“挖洞”是挖什么類型的洞，同時也得出了格林公式不是解決此類問題的唯一方法。同時發(fā)現(xiàn)：“挖洞”類型題有一個共同點(diǎn)，即被積函數(shù)化簡之后只是關(guān)于參數(shù)的微分或者都是。這樣為我們什么時候使用全微分法計算第二類曲線積分提供了理論依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]高等數(shù)學(xué).第七版下冊.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等教育出版社2014.7

[2]高等數(shù)學(xué).第七版上冊.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等教育出版社2014.7