漫話高斯函數(shù)

倉萬林

“數(shù)學(xué)王子”高斯小時(shí)候的故事，連小學(xué)生都知道.在許多人眼中，他就是數(shù)學(xué)的代名詞.

高斯（Gauss，1777 1855），德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.如果推選世界十大數(shù)學(xué)家，高斯是其中的一位;如果推選世界三大數(shù)學(xué)家，高斯仍然位列其中.

一、高斯函數(shù)簡介

我們把不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x].

取整函數(shù)y=[x]早在18世紀(jì)就為“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù).和前面遇到的狄利克雷函數(shù)一樣，高斯函數(shù)也是高中階段我們會(huì)遇到的感覺“怪怪”的函數(shù).

它的圖象是由一些高低不同的水平線段組成，形狀上像個(gè)階梯，通常義稱為“階梯函數(shù)”.

二、高斯函數(shù)的應(yīng)用

例1 （2017年北京順義區(qū)二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生綜合素質(zhì)、發(fā)展創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生健康成長，開展評選“校園之星”活動(dòng).規(guī)定各班每10人推選一名候選人，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于7時(shí)再增選一名候選人，那么，各班可推選候選人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為

（

）

A.y=[x/10]

B.y=[x+2/10]

c.y=[x+3/10]

D.y=[x+4/10]

答案 B.

解析 由題意，根據(jù)規(guī)定每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于7時(shí)再增加一名代表，即余數(shù)分別為8，9時(shí)可以增選一名代表，此時(shí)要進(jìn)一位，所以x最小應(yīng)該加2，最大要小于3，因此利用取整函數(shù)可表示為y=[x+2/10]，所以選項(xiàng)B是正確的.

點(diǎn)評 本題在處理時(shí)，除了用高斯函數(shù)性質(zhì)來分析外，也可以直接特殊化確定結(jié)論.

例2 （2016年高考課標(biāo)理科卷）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，S7=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[0. 9]=0，[lg99] =1.

（1）求bl，b11，b101;

（2）求數(shù)列{bn}的前1 000項(xiàng)和.

解析 （1）設(shè){an}的公差為d，據(jù)已知有7+21d=28，解得d=l，

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n.

b1=[lg1]=0，b11=[lg11] =1，b101=[lg101]=2.

（2）因?yàn)閎n={ 0，1≤n<10， 1，10≤n<100， 2，1OO≤n<1 OOO， 3，n=1 OOO，

所以數(shù)列{bn）的前1 000項(xiàng)和為1×90+2×900+3×1=1 893.

點(diǎn)評 原本簡單的基本量運(yùn)算問題，和高斯函數(shù)進(jìn)行整合后立即變得很新穎.一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”;二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”.要看清問題的本質(zhì)，我們可以在閱讀上多下功夫.

類比取整函數(shù)，我們不難構(gòu)造出小數(shù)函數(shù)f（x）=x-[x].圖象如圖2所示：

例3 已知x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f（x）=x- [x]在R上為

（

）

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.增函數(shù)

D.周期函數(shù)

答案 D.

解析 因?yàn)閒（x）=x-[x]，

則f（x+1）=（x+1）- [x+1]=x+1- （[x]+1）=x-[x]=f（x），所以f（x） =x一[x]在R上是周期為1的函數(shù)，故選D.

1855年高斯去世，留下遺言把正十七邊形（高斯第一個(gè)給出了正十七邊形的尺規(guī)作圖法）刻在墓碑上，母校哥廷根大學(xué)實(shí)現(xiàn)了他的遺愿，樹立了以正十七棱柱為底座的墓碑，由于完整的十七邊形，看起來會(huì)和圓難以區(qū)分，所以用正十七邊形的各頂點(diǎn)代替，刻在墓碑上，以此紀(jì)念“數(shù)學(xué)王子”對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn).