緊扣圖形的核心本質(zhì)特征

董文彬

摘要：圖形內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的核心本質(zhì)特征。圓的核心本質(zhì)特征包括圓的普遍存在性、廣泛對(duì)稱(chēng)性、各點(diǎn)均勻性以及“以直代曲”“化無(wú)窮為有限”的曲線(xiàn)研究方法。小學(xué)數(shù)學(xué)《圓》這個(gè)單元的教學(xué)，應(yīng)該設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)圓的學(xué)習(xí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的思維碰撞，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓達(dá)到最核心、最本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。

關(guān)鍵詞：《圓》廣泛對(duì)稱(chēng)各點(diǎn)均勻轉(zhuǎn)化思想極限思想

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。無(wú)疑，圖形內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)緊扣圖形的核心本質(zhì)特征。只有這樣，才能促進(jìn)學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)圖形，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀(guān)念和高階思維。那么，《圓》這個(gè)單元的教學(xué)如何做到這一點(diǎn)呢？

一、圓的核心本質(zhì)特征分析

在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圓，最重要的是認(rèn)識(shí)什么？我認(rèn)為，應(yīng)該是圓的三個(gè)特性和一種研究方法。

（一）圓的普遍存在性

在現(xiàn)實(shí)世界中，從建筑、圖案設(shè)計(jì)到天體、粒子運(yùn)動(dòng)，圓的模型幾乎是無(wú)處不在的。而作為思維對(duì)象的圓因其思維特征體現(xiàn)為高度與完全的抽象、純粹，又只存在于數(shù)學(xué)世界里。

（二）圓的廣泛對(duì)稱(chēng)性

其一，圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，任何一條直徑所在的直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸。其二，圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，并且具有任意的旋轉(zhuǎn)不變性，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都映射到自身上。從這個(gè)角度來(lái)看，圓是所有平面圖形中最“和諧”的一種圖形。

（三）圓的各點(diǎn)均勻性

圓的各點(diǎn)均勻性是指圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等（即“一中同長(zhǎng)”），圓上每一點(diǎn)附近的弧的向心（即彎曲）程度都一樣（由圖1可以很好地看出圓上一段弧的彎曲程度）?？梢哉f(shuō)，圓上的每一點(diǎn)都是“平等”的。

圖1

（四）圓的曲線(xiàn)研究方法

圓是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中第一個(gè)認(rèn)識(shí)的曲邊平面圖形。用直線(xiàn)逼近曲線(xiàn)，用有限逼近無(wú)限，這種“以直代曲”“化無(wú)窮為有限”的數(shù)學(xué)方法（如圖2示例）貫穿于所有曲邊平面圖形的學(xué)習(xí)中。而這種轉(zhuǎn)化與極限的思想也是學(xué)生最難理解的。

圖2

如果說(shuō)圓心、半徑、直徑等是圓的外在“相貌”的話(huà)，那么圓的普遍存在性、廣泛對(duì)稱(chēng)性、各點(diǎn)均勻性和“以直代曲”“化無(wú)窮為有限”的研究方法就是圓的內(nèi)在“性格”。在實(shí)際教學(xué)中，教師要特別重視讓學(xué)生感受圓的這種內(nèi)在“性格”，逐步積累研究曲邊圖形的經(jīng)驗(yàn)。

此外，在《圓》這個(gè)單元的后續(xù)教學(xué)中，學(xué)生還要學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)和面積以及實(shí)際應(yīng)用等內(nèi)容。認(rèn)識(shí)了圓的上述“性格”，才能夠更好地探索圓的周長(zhǎng)和面積的推導(dǎo)過(guò)程和方法，以及圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解決過(guò)程和方法。同時(shí)，關(guān)注這些過(guò)程和方法，可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷圖形轉(zhuǎn)化、對(duì)應(yīng)關(guān)系等諸多思考，從而有助于學(xué)生對(duì)圓的核心本質(zhì)特征的再認(rèn)識(shí)。

二、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)圓的學(xué)習(xí)

為了幫助學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)圓的核心本質(zhì)特征，教師可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題，驅(qū)動(dòng)圓的學(xué)習(xí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的思維碰撞，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓達(dá)到最核心、最本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。下面舉例說(shuō)明。

（一）驅(qū)動(dòng)圓的廣泛對(duì)稱(chēng)性的學(xué)習(xí)

對(duì)于圓的廣泛對(duì)稱(chēng)性，學(xué)生需要在平時(shí)的教學(xué)中不斷經(jīng)歷想象、操作的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在比較中深刻認(rèn)識(shí)圓的這種區(qū)別于其他圖形的本質(zhì)特征。

問(wèn)題1請(qǐng)?jiān)趫D3的大圓中描出一個(gè)或幾個(gè)小圓，使原來(lái)的大圓和描出的小圓組成的新圖形分別滿(mǎn)足“有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸”“只有一條對(duì)稱(chēng)軸”“只有兩條對(duì)稱(chēng)軸”“只有三條對(duì)稱(chēng)軸”。分別應(yīng)該怎樣描？

圖3

此題可以驅(qū)動(dòng)圓的軸對(duì)稱(chēng)性的學(xué)習(xí)。學(xué)生需要思考多個(gè)圓組合在一起時(shí)對(duì)稱(chēng)軸數(shù)量的變化情況，對(duì)圓的軸對(duì)稱(chēng)性產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)。

問(wèn)題2圖4中的圓、正方形和等邊三角形標(biāo)出了中心點(diǎn)A。想象將它們分別繞著中心點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，每個(gè)圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度才能與原來(lái)的圖形重合？每個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中與原來(lái)的圖形重合了幾次？

圖4

此題可以驅(qū)動(dòng)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性的學(xué)習(xí)。學(xué)生通過(guò)想象與操作可以發(fā)現(xiàn)：正方形至少旋轉(zhuǎn)90°才能與原來(lái)的圖形重合，等邊三角形至少旋轉(zhuǎn)120°才能與原來(lái)的圖形重合，而圓旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都可與原來(lái)的圖形重合;正方形旋轉(zhuǎn)一周會(huì)與原來(lái)的圖形重合4次，等邊三角形旋轉(zhuǎn)一周會(huì)與原來(lái)的圖形重合3次，而圓旋轉(zhuǎn)一周可與原來(lái)的圖形重合無(wú)數(shù)次。

（二）驅(qū)動(dòng)圓的各點(diǎn)均勻性的學(xué)習(xí)

對(duì)于圓的各點(diǎn)均勻性，學(xué)生也需要在觀(guān)察、想象、操作、思考、比較中體會(huì)圓的這種區(qū)別于其他平面圖形的本質(zhì)特征。

問(wèn)題3圖5所示是兩塊不同的圓形銅鏡邊緣的殘片。對(duì)比這兩塊殘片，哪塊銅鏡的面積更大？

圖5

此題可以驅(qū)動(dòng)圓的各點(diǎn)均勻性的學(xué)習(xí)。學(xué)生可以借助對(duì)圓的特征的理解，通過(guò)具體操作（延長(zhǎng)外圓）找到圓的半徑，或者通過(guò)感性思考（空間想象）還原圓的整體，或者通過(guò)理性思考（看弧度：圓越大，彎曲的程度就越小;圓越小，彎曲的程度就越大）來(lái)解決。

問(wèn)題4有圖6所示的幾種形狀的硬紙板。將這幾塊硬紙板分別沿一條直線(xiàn)滾一滾，描出滾動(dòng)過(guò)程中O點(diǎn)留下的痕跡。

圖6

下面（）痕跡是圓形紙板滾動(dòng)過(guò)程中留下的。

此題可以驅(qū)動(dòng)圓的“一中同長(zhǎng)”特征的學(xué)習(xí)。學(xué)生需要想象不同圖形的中心在運(yùn)動(dòng)中的高低變化，重點(diǎn)理解為什么圓心的運(yùn)動(dòng)痕跡是直線(xiàn)，進(jìn)而體會(huì)圓區(qū)別于其他平面圖形的核心本質(zhì)特征——圓心到圓周的距離是圓的半徑，同一個(gè)圓的半徑是相等的。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓心到滾動(dòng)面的距離一直等于半徑，所以圓心的運(yùn)動(dòng)痕跡是一條直線(xiàn)。這也從數(shù)學(xué)的角度解釋了“為什么車(chē)輪是圓的”。

問(wèn)題5在自制的陀螺上點(diǎn)一個(gè)黑點(diǎn)，在陀螺旋轉(zhuǎn)時(shí)，黑點(diǎn)便可以形成一個(gè)圓形的痕跡（如圖7）。淘氣也自制了幾個(gè)陀螺，并點(diǎn)上了黑點(diǎn)（如圖8，“×”標(biāo)出的是插入旋轉(zhuǎn)軸的地方）。其中哪個(gè)陀螺在旋轉(zhuǎn)時(shí)，黑點(diǎn)可以形成一個(gè)圓形的痕跡？

圖7

圖8

此題也可以驅(qū)動(dòng)圓的“一中同長(zhǎng)”特征的學(xué)習(xí)。學(xué)生可以在想象、操作中，感悟圓的定點(diǎn)、定長(zhǎng)，體會(huì)只要給一個(gè)定點(diǎn)，那么以一定長(zhǎng)度為距離旋轉(zhuǎn)一周所形成的封閉曲線(xiàn)就是圓，即圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合。圖9

圖10

（三）驅(qū)動(dòng)圓的曲線(xiàn)研究方法的學(xué)習(xí)

對(duì)于圓的曲線(xiàn)研究方法，學(xué)生需要基于有限情況下的操作，展開(kāi)無(wú)限情況下的想象，逐漸由“動(dòng)手”轉(zhuǎn)向“動(dòng)腦”，從而領(lǐng)悟“以直代曲”“化無(wú)窮為有限”的思想。

問(wèn)題6如圖9，用一張正方形紙這樣折疊三次后，沿虛線(xiàn)剪出一個(gè)等腰三角形，打開(kāi)后的圖形接近圓。如圖10，用一張同樣大的正方形紙這樣折疊四次后，沿虛線(xiàn)剪出一個(gè)等腰三角形，打開(kāi)后的圖形也接近圓。上述哪一種方式剪出的圖形更接近圓呢？

此題可以驅(qū)動(dòng)圓的曲線(xiàn)研究方法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感悟正多邊形邊的條數(shù)越多，圖形越接近圓，體會(huì)正多邊形逼近于圓的轉(zhuǎn)化與極限思想。

問(wèn)題7將一個(gè)圓形紙片沿著它的半徑平均分成若干份后剪開(kāi)，用它們可拼成一個(gè)近似的平行四邊形（如圖11）。已知這個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)是16.56厘米，那么這個(gè)圓形紙片的面積是（）平方厘米。

圖11

此題可以驅(qū)動(dòng)圓的面積公式推導(dǎo)過(guò)程中圖形轉(zhuǎn)化時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系的學(xué)習(xí)。學(xué)生需要根據(jù)平行四邊形相鄰兩條邊的長(zhǎng)度分別對(duì)應(yīng)圓的周長(zhǎng)的一半和圓的半徑，以及圓的周長(zhǎng)和半徑的關(guān)系，反向算出圓的半徑，進(jìn)而計(jì)算圓的面積。教師在教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生將圓盡可能多地等分，同時(shí)想象轉(zhuǎn)化后的情況，然后啟發(fā)學(xué)生思考：為什么要盡可能多地等分？在圖形轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，什么變了？什么沒(méi)變？如果學(xué)生能夠體會(huì)到在這個(gè)過(guò)程中圓的周長(zhǎng)增加，面積守恒，形狀不斷趨近于長(zhǎng)方形，那么，他們對(duì)轉(zhuǎn)化與極限思想的理解就算有了一定的深度了。