張冰 盧成嫻 沈中宇

【摘 要】“復(fù)數(shù)的概念”是滬教版高中數(shù)學(xué)教材第十三章“復(fù)數(shù)”的開(kāi)篇。在教學(xué)實(shí)踐中，大部分教師采取的教學(xué)設(shè)計(jì)尚未充分體現(xiàn)“知識(shí)之諧”“方法之美”“探究之樂(lè)”“能力之助”“文化之魅”“德育之效”等各類價(jià)值。基于以上考慮，文章試圖在問(wèn)題情境的探索和相關(guān)歷史的追溯中引入復(fù)數(shù)的必要性，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，感悟人類的理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展和社會(huì)發(fā)展中的重要性，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的多元價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】HPM視角;復(fù)數(shù)概念教學(xué);多元價(jià)值

“復(fù)數(shù)的概念”是滬教版高中數(shù)學(xué)教材第十三章“復(fù)數(shù)”的開(kāi)篇。教材采用簡(jiǎn)明扼要的引入方式，為解決負(fù)數(shù)的開(kāi)方問(wèn)題引入虛數(shù)單位，從而給出復(fù)數(shù)的概念。因此在教學(xué)中，教師既要解決為什么要引入虛數(shù)、如何引入復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)為什么不能規(guī)定大小等問(wèn)題，還要解決虛數(shù)除了解方程，還有什么用途的問(wèn)題[1-3]。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師大致采用了以下幾種教學(xué)設(shè)計(jì)：一是教科書(shū)里的引入方式，即直接從一元二次方程的求解問(wèn)題引入虛數(shù)[4];二是先講解數(shù)系的擴(kuò)充，然后給出方程求解問(wèn)題[5-6];三是利用卡爾丹（G. Cardano）或萊布尼茲（G. Leibniz）的二元二次方程組求解問(wèn)題[3][7-10];四是從三次方程的求根問(wèn)題引入復(fù)數(shù)概念[11-12]。前兩種教學(xué)設(shè)計(jì)遵循復(fù)數(shù)概念的邏輯序，而后兩種教學(xué)設(shè)計(jì)則遵循了復(fù)數(shù)概念的歷史序。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，可以構(gòu)建“知識(shí)之諧”、彰顯“方法之美”、營(yíng)造“探究之樂(lè)”、實(shí)現(xiàn)“能力之助”、展示“文化之魅”、達(dá)成“德育之效”[13]等價(jià)值，但已有的教學(xué)設(shè)計(jì)尚未充分體現(xiàn)以上各類價(jià)值。此外，學(xué)生未接觸過(guò)三次方程求根公式，故用三次方程引入復(fù)數(shù)概念往往會(huì)受到學(xué)生的質(zhì)疑，且已有的教學(xué)設(shè)計(jì)不夠自然。基于以上考慮，本節(jié)課試圖在問(wèn)題情境的探索和相關(guān)歷史的追溯中引入復(fù)數(shù)的必要性，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，感悟人類的理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展和社會(huì)發(fā)展中的重要性，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史的多元價(jià)值。

為此，研究者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)擬定如下。

（1）通過(guò)求解卡爾丹“分十”問(wèn)題和邦貝利（R.Bombelli）三次方程，了解虛數(shù)產(chǎn)生的歷史原因，體會(huì)引入虛數(shù)的必要性，在求解過(guò)程中借助幾何畫(huà)板直觀感受根的分布，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。

（2）理解復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念，如虛數(shù)單位、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。

（3）感知數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程和基本方法，能正確地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系。

（4）了解復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)史及其應(yīng)用，感悟數(shù)學(xué)家不斷探索、勇于創(chuàng)新的理性精神，培養(yǎng)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀。

復(fù)數(shù)概念的起源最早可以追溯到公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（Diophantus）在《算術(shù)》中已經(jīng)遇到了“不可約”的一元二次方程，但虛數(shù)概念的真正歷史始于16世紀(jì)的意大利。本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，重點(diǎn)選取了復(fù)數(shù)發(fā)展史上四個(gè)關(guān)鍵的時(shí)間點(diǎn)。

1.卡爾丹與“分十”問(wèn)題

1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在《大術(shù)》中提出一個(gè)著名問(wèn)題：將10分為兩部分，使它們的乘積等于40。在這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，他承受著良心的譴責(zé)，找到了x=5±-15這兩個(gè)當(dāng)時(shí)并不被人們所接受的數(shù)，也因此成為數(shù)學(xué)史上第一個(gè)寫下負(fù)數(shù)平方根的人。他稱這樣的數(shù)為“詭辯式的數(shù)”，由此可見(jiàn)他并未完全理解和接受復(fù)數(shù)[14]。

2.邦貝利與三次方程求解

1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利在《代數(shù)》一書(shū)中，討論了三次方程的解。對(duì)于方程x3=15x+4，邦貝利發(fā)現(xiàn)它有三個(gè)實(shí)數(shù)解4和-2±3，如果利用三次方程x3+px=q的求根公式x=3q2+q22+p33+3q2-q22+p33求解，卻得到含負(fù)數(shù)開(kāi)平方形式的解x=32+-121+32--121。面對(duì)這一問(wèn)題，邦貝利產(chǎn)生了一個(gè)“瘋狂”的想法：既然2+-121與2--121只相差一個(gè)符號(hào)，那么設(shè)32+-121=a+-b，32--121=a--b，便可解出a=2，b=1，得到x=32+-121+32--121=（2+-1）+（2--1）=4，從而解決了矛盾。這項(xiàng)工作標(biāo)志著復(fù)數(shù)的產(chǎn)生。邦貝利還規(guī)定了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，為復(fù)數(shù)理論奠定了基石[15]。

3.吉拉德與代數(shù)基本定理

1629年，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德（A. Girard）在其著作《代數(shù)新發(fā)明》中提出了代數(shù)基本定理——每個(gè)n次方程都有n個(gè)根，并給出了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系。為保證根的個(gè)數(shù)，吉拉德表示我們應(yīng)該接受虛根，至少可以將它作為方程的形式解。

對(duì)此，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒（R. Descartes）則認(rèn)為，雖然可以想象n次方程都有n個(gè)根，但是這些“虛”根是不能對(duì)應(yīng)到任何數(shù)的。于是笛卡兒給它們?nèi)×艘粋€(gè)名字——“虛數(shù)”（imaginary number），意思是“想象中的數(shù)”[16]。

4.歐拉與虛數(shù)單位的引入

1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L. Euler）在一篇論文中第一次引入i=-1。從18世紀(jì)開(kāi)始，虛數(shù)被廣泛地用于解決各種函數(shù)問(wèn)題。在此之后，高斯（C. F. Gauss）、哈密爾頓（W. Hamilton）等數(shù)學(xué)家逐步完善了復(fù)數(shù)的相關(guān)理論[17]。

5.復(fù)數(shù)在科技領(lǐng)域的應(yīng)用

除了數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的應(yīng)用之外，復(fù)數(shù)也在其他科技領(lǐng)域扮演著重要的角色。如電工學(xué)用復(fù)數(shù)表示交流電，量子力學(xué)用復(fù)數(shù)表示波函數(shù)，在空氣動(dòng)力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、彈性理論、位勢(shì)理論、熱流、靜電通量、周期現(xiàn)象等方面都用到復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)還在航空、航海和機(jī)翼理論中發(fā)揮作用[16]。

1.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，情境引入

問(wèn)題1 1545年意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在《大術(shù)》中提到這樣一個(gè)問(wèn)題——將10分為兩個(gè)部分，使它們的乘積等于40，這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

生1：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為10-x。列方程x（10-x）=40，即x2-10x+40=0，但因?yàn)棣?-60<0，所以方程無(wú)解。

師：這個(gè)方程無(wú)解，說(shuō)明卡爾丹要找的兩個(gè)數(shù)根本不存在。當(dāng)年，卡爾丹也是這樣認(rèn)為的，但后來(lái)他承受著良心的譴責(zé)，竟然找出了兩個(gè)數(shù)，分別是（5+-15）和（5--15）。先拋開(kāi)這兩個(gè)數(shù)的合理性，我們來(lái)檢驗(yàn)一下它們是否符合方程條件。把這兩個(gè)數(shù)（5+-15）和（5--15）加起來(lái)等于多少？

生（齊答）：10。

師：這兩個(gè)數(shù)（5+-15）和（5--15）的乘積是多少？

生（有些遲疑）：40。

師：這兩個(gè)數(shù)似乎完全符合卡爾丹問(wèn)題的兩個(gè)條件！那么卡爾丹是怎么找出這兩個(gè)數(shù)的？

生2：應(yīng)該是通過(guò)求根公式找出來(lái)的。由求根公式得x=10±-602，化簡(jiǎn)可以得到x=5±-15。

師：有道理！但這其中有一個(gè)問(wèn)題，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生3：將-60開(kāi)平方了。

師：可以這樣操作嗎？

生（齊答）：不可以，負(fù)數(shù)不能開(kāi)平方。

師：的確如此，所以當(dāng)年卡爾丹雖然找出了這樣的兩個(gè)數(shù)，但他也承認(rèn)，這是他的“癲狂”之舉，因?yàn)檫@樣的兩個(gè)數(shù)是不存在的。

問(wèn)題2 27年之后，意大利另一個(gè)數(shù)學(xué)家邦貝利研究了一個(gè)三次方程x3=15x+4。這個(gè)方程有解嗎？

生（齊答）：這個(gè)方程我們不會(huì)解。

師：既然二次方程有求根公式，那么三次方程也有。意大利的數(shù)學(xué)家塔塔格里亞（N. Tartaglia）研究出了三次方程x3+px=q的求根公式，即x=3q2+q22+p33+3q2-q22+p33。

生4：對(duì)照公式將p=-15，q=4代入，就可得出這個(gè)方程的解：x=32+-121+32--121。

師：這個(gè)解有什么問(wèn)題嗎？

生（齊答）：有，又出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方。

師：這個(gè)三次方程的解，重現(xiàn)了卡爾丹解題中負(fù)數(shù)開(kāi)平方的問(wèn)題。既然卡爾丹方式無(wú)解，那么邦貝利的三次方程也無(wú)解，這個(gè)觀點(diǎn)你們同意嗎？

生（大部分）：同意。

生（小部分）：不同意，這個(gè)方程有解的。

師：有解？你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：計(jì)算器上的計(jì)算結(jié)果顯示，這個(gè)方程有解。

師：這個(gè)方程有幾個(gè)解？

生5：三個(gè)。

師：分別是哪三個(gè)解？

生5：一個(gè)是4，另外兩個(gè)分別是-0.27和-3.73。

（教室里一片嘩然）

師：我們利用作圖軟件GeoGebra，一起來(lái)看看三次函數(shù)f（x）=x3-15x-4的圖像（見(jiàn)圖1）！

師：通過(guò)觀察圖像，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生（恍然大悟）：函數(shù)圖像與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明這個(gè)三次方程真的有三個(gè)實(shí)根！

師：是的，當(dāng)年邦貝利不僅發(fā)現(xiàn)了三個(gè)實(shí)根，而且還寫出了它們的精確形式——4，-2±3。今天我們的同學(xué)用計(jì)算器計(jì)算也發(fā)現(xiàn)了這三個(gè)實(shí)根，老師也通過(guò)作圖軟件更加清晰地呈現(xiàn)了這三個(gè)實(shí)根。也就是說(shuō)，邦貝利的這個(gè)三次方程的確存在三個(gè)實(shí)根！如果說(shuō)當(dāng)年卡爾丹拒絕承認(rèn)那樣的兩個(gè)數(shù)的存在尚屬情理之中，那么在邦貝利這個(gè)三次方程中，面對(duì)確實(shí)存在的三個(gè)實(shí)根，我們就必須認(rèn)真對(duì)待負(fù)實(shí)數(shù)開(kāi)平方這件事了！

2.溫故知新，擴(kuò)充數(shù)系

問(wèn)題3 讓我們繼續(xù)回到卡爾丹的那個(gè)二次方程。同學(xué)們?nèi)绾卫斫狻胺匠虩o(wú)解”？

生6：“方程無(wú)解”就是方程沒(méi)有實(shí)根的意思。

師：是的。確切地說(shuō)，是那個(gè)方程無(wú)“ 實(shí)數(shù)”解。

師：從這幾個(gè)方程的求解過(guò)程中，我們意識(shí)到一個(gè)問(wèn)題——所謂的方程無(wú)解，是指在某一個(gè)數(shù)集內(nèi)無(wú)解，一旦這個(gè)數(shù)集擴(kuò)充了，原來(lái)無(wú)解的方程可能就變得有解了，原來(lái)沒(méi)有辦法進(jìn)行運(yùn)算的方程可能進(jìn)行運(yùn)算了。

問(wèn)題4 每一次數(shù)系擴(kuò)充，都有哪些特點(diǎn)？

師：下面幾個(gè)方程的解（見(jiàn)表1）讓我們看到了數(shù)集的一次次擴(kuò)充，但如果僅僅因?yàn)榻夥匠痰男枰鴮?duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，那未免太狹隘了。事實(shí)上，歷史上每一次數(shù)集的擴(kuò)充，也都來(lái)自社會(huì)發(fā)展的需要。遠(yuǎn)古人類為了計(jì)數(shù)，用繩子、樹(shù)枝、石頭等表示個(gè)數(shù)，創(chuàng)造了自然數(shù)，

又把表示“ 什么也沒(méi)有”的“ 零”也歸入自然數(shù)，于是形成了自然數(shù)集;打獵歸來(lái)，為了分配的需要，如何用數(shù)表示每一份，于是創(chuàng)造了分?jǐn)?shù);后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)在描述一些相反意義的量時(shí)，如海平面以上或海平面以下，原來(lái)有的數(shù)又不夠用了，于是負(fù)數(shù)誕生了。至此，數(shù)集就擴(kuò)充到了有理數(shù)集。再后來(lái)，人們又發(fā)現(xiàn)有些正方形的對(duì)角線，或者說(shuō)是直角三角形的斜邊，既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)表示，就開(kāi)始猜想在有理數(shù)之外，是否還存在著別的數(shù)。幾百年之后，無(wú)理數(shù)終于得以見(jiàn)天日，形成了我們迄今為止學(xué)到的最大數(shù)集——實(shí)數(shù)集。這讓我們清晰地看到了，數(shù)集的擴(kuò)充不僅僅是數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要，也是社會(huì)發(fā)展的需要。

師：從運(yùn)算的角度來(lái)看，在數(shù)集的一次次擴(kuò)充過(guò)程中運(yùn)算也發(fā)生著變化。引入負(fù)整數(shù)之后，原來(lái)自然數(shù)集中已有的加法、乘法運(yùn)算還能成立嗎？

生（齊答）：成立。

師：數(shù)系擴(kuò)充之后，還能完成原來(lái)數(shù)集中所不能完成的某些運(yùn)算嗎？比如說(shuō)？

生（齊答）：可以，比如減法運(yùn)算。

師：引入分?jǐn)?shù)之后，原來(lái)整數(shù)集中的那些加法、減法、乘法運(yùn)算，繼續(xù)成立;同時(shí)又能完成原來(lái)整數(shù)集中不能完成的什么運(yùn)算？

生7：除法運(yùn)算。

師：是的。引入無(wú)理數(shù)之后，在原有的加、減、乘、除運(yùn)算基礎(chǔ)上，還可以增添什么運(yùn)算？

生7：開(kāi)方運(yùn)算。

師：從這些可以看出，數(shù)系一次次的擴(kuò)充都有一些共同的原則。那么，什么叫擴(kuò)充？數(shù)系的每一次擴(kuò)充，都發(fā)生了什么變化？

生（齊答）：有新的數(shù)產(chǎn)生。

師：對(duì)，引入新數(shù)是第一條原則，但引入的新數(shù)應(yīng)具備某些要求？從剛才的分析中，你們看出來(lái)了嗎？

生8：原來(lái)不能進(jìn)行的運(yùn)算，在引入新數(shù)之后，就可以進(jìn)行了。

師：好的，這樣我們就總結(jié)出了數(shù)系擴(kuò)充的又一個(gè)原則，即原有的運(yùn)算及性質(zhì)仍然適用，同時(shí)能解決原數(shù)集中不能實(shí)施的某些運(yùn)算。這是每一次數(shù)系擴(kuò)充都要遵循的原則。

問(wèn)題5 今天我們課堂上研究了卡爾丹的二次方程和邦貝利的三次方程。在求解過(guò)程中，我們?cè)庥隽耸裁蠢щy？又碰到了什么運(yùn)算障礙？

生9（思索片刻后）：負(fù)數(shù)開(kāi)平方。

師：負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，也就是說(shuō)負(fù)數(shù)開(kāi)平方已經(jīng)超越了實(shí)數(shù)集的范圍。你們能給出一個(gè)解決問(wèn)題的方案嗎？

生（齊答）：引入新數(shù)！

師：同學(xué)們有這樣的想法，很好！事實(shí)上，歷史上很多數(shù)學(xué)家為了解決這個(gè)問(wèn)題，早就付出了不懈的努力！

3.以時(shí)為經(jīng)，追溯歷史

教師按照幾個(gè)重要的時(shí)間點(diǎn)，通過(guò)微視頻的形式（如圖2），讓學(xué)生重溫那段漫長(zhǎng)的歲月。微視頻主要介紹了復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史，從卡爾丹第一次寫下“負(fù)數(shù)平方根”到邦貝利通過(guò)“構(gòu)造數(shù)”解決32+-121+32--121=4的矛盾，再到吉拉德從代數(shù)基本定理角度認(rèn)為我們應(yīng)該接受虛根，接著笛卡兒將“虛”根取名為“虛數(shù)”，歐拉引入記號(hào)i=-1，最后高斯和哈密爾頓完善了復(fù)數(shù)的相關(guān)理論。

至此，關(guān)于復(fù)數(shù)的意義及其合法性的懷疑已經(jīng)延續(xù)將近250年。從這漫長(zhǎng)的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)：對(duì)負(fù)數(shù)開(kāi)平方，這不是某個(gè)人的“癲狂”之舉，而是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然！

4.定義生成，概念辨析

師：為了解決負(fù)數(shù)開(kāi)平方問(wèn)題，人們引入了一個(gè)新數(shù)i，并規(guī)定i2=-1。作為一個(gè)引入的新數(shù)，它遵循數(shù)系擴(kuò)充的一般原則，即原來(lái)數(shù)系中已有的運(yùn)算和性質(zhì)仍然成立，并且能解決原來(lái)數(shù)系中不能解決的某些運(yùn)算。這個(gè)新數(shù)i和實(shí)數(shù)一樣可以進(jìn)行四則運(yùn)算，原來(lái)的加法和乘法運(yùn)算律仍然成立。這樣卡爾丹方程兩個(gè)根中出現(xiàn)的-15可以用什么來(lái)表示？

生（齊答）：-15=15×-1=15i，卡爾丹方程的兩個(gè)根為x=5±15i。

師：至此，我們正式解決了卡爾丹的問(wèn)題。不僅如此，我們把所有形如a+bi（a、b∈R）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。其中，a叫作實(shí)部，b叫作虛部，i叫作虛數(shù)單位。1813年高斯首次將這種實(shí)數(shù)與虛數(shù)“復(fù)合”而來(lái)的數(shù)定義為復(fù)數(shù)（complex number），a+bi（a、b∈R）稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。所有像這樣的數(shù)組成的集合，稱之為復(fù)數(shù)集，用大寫字母C表示。一個(gè)新的數(shù)集又誕生啦！

問(wèn)題6 大家想一想，這個(gè)嶄新的復(fù)數(shù)集與以前學(xué)的實(shí)數(shù)集，有什么聯(lián)系？又有什么不同？

生1：多了一個(gè)數(shù)i。

師：只是多了一個(gè)數(shù)i嗎？

生1：多了bi，它包含了很多的數(shù)。

師：復(fù)數(shù)集從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充而來(lái)，它一定包含了全部的實(shí)數(shù)，在什么時(shí)它表示實(shí)數(shù)？

生2：當(dāng)b=0時(shí)，表示實(shí)數(shù)。

師：當(dāng)b=0時(shí)，z=a+bi（a、b∈R）表示的就是z=a（a∈R），它是一個(gè)實(shí)數(shù);當(dāng)b≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）表示的一定不是實(shí)數(shù)，我們稱這樣的數(shù)為虛數(shù)。在所有的虛數(shù)中，有一類很特別，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生（齊答）：當(dāng)a=0時(shí)。

師：當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，這個(gè)復(fù)數(shù)是不是虛數(shù)？

生（齊答）：是虛數(shù)。

師：這樣的數(shù)也是虛數(shù)。當(dāng)a=0時(shí)，我們稱它為純虛數(shù)。此外，還有一種很特殊的情況，你們想到了嗎？

生3：當(dāng)a=0，b=0時(shí)，復(fù)數(shù)z表示的是實(shí)數(shù)0。

師：按照剛才的討論，我們可以將復(fù)數(shù)進(jìn)行分類：z=a+bi（a、b∈R）b=0，實(shí)數(shù)（a=0，實(shí)數(shù)0），b≠0，虛數(shù)a=0，純虛數(shù)，a≠0，非純虛數(shù).從中，我們清楚地看到實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集之間的關(guān)系，即復(fù)數(shù)集中包含了所有的實(shí)數(shù)。那么實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的什么？

生（齊答）：子集。

師：確切地講，應(yīng)該是什么？

生（齊答）：真子集。

師：引入虛數(shù)后，實(shí)數(shù)集和虛數(shù)集就合并為復(fù)數(shù)集，數(shù)系就從實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為復(fù)數(shù)集了。

5.講解例題，理解概念

例1 如圖3所示，請(qǐng)說(shuō)出下列集合之間的關(guān)系。

例2 指出下列復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)，并說(shuō)出它們的實(shí)部和虛部：-1+2i，5-2i，π，6i，4，-1+3，0。

例3 實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=（m-1）（m+2）+（m-1）（m+1）i分別是：（1）實(shí)數(shù);（2）虛數(shù);（3）純虛數(shù);（4）零。

設(shè)計(jì)例2和例3旨在讓學(xué)生熟悉復(fù)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中內(nèi)化復(fù)數(shù)的相關(guān)概念。

6.提煉知識(shí)，課堂小結(jié)

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有哪些深刻的體會(huì)和收獲？

生1：了解了數(shù)集的發(fā)展歷程。

生2：學(xué)會(huì)了數(shù)系擴(kuò)充的原則。

生3：知道了虛數(shù)單位i的引入。

生4：知道了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念。

師：除此之外，其實(shí)復(fù)數(shù)在我們的生活中還有很多應(yīng)用。比如，在電工學(xué)，復(fù)數(shù)表示交流電;在量子力學(xué)，復(fù)數(shù)表示波函數(shù)，能更加清晰地反映微觀粒子的本質(zhì)屬性。另外，復(fù)數(shù)在空氣動(dòng)力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、航空、航海等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。今天只是復(fù)數(shù)開(kāi)篇的第一課，在以后的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們還將會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)。

課后，研究者收集了全班45名學(xué)生對(duì)本節(jié)課的反饋信息。約95.5的學(xué)生喜歡將數(shù)學(xué)史融入課堂;約97.8的學(xué)生表示聽(tīng)懂了這節(jié)課。由此可見(jiàn)，本節(jié)課建立在讓學(xué)生理解的情況下融入數(shù)學(xué)史，從而讓學(xué)生喜歡歷史，并體會(huì)到其對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幫助。

其中，對(duì)于題目“設(shè)集合S=瘙綂SA=B”，約91的學(xué)生能正確回答。對(duì)于“當(dāng)你看到‘復(fù)數(shù)’時(shí)，你會(huì)想到什么？”的問(wèn)題，學(xué)生給出了159個(gè)回答，主要有：從代數(shù)形式的角度認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)（28個(gè)），認(rèn)為復(fù)數(shù)是a+bi;認(rèn)為復(fù)數(shù)是一個(gè)符號(hào)（47個(gè)），如i2=-1，i=-1等;認(rèn)為復(fù)數(shù)是數(shù)系擴(kuò)充的結(jié)果（60個(gè)），如RC、新的數(shù)集C等;從歷史和情感角度認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)（24個(gè)），如數(shù)學(xué)史以前從來(lái)沒(méi)學(xué)過(guò)等。對(duì)于“這節(jié)課你印象最深的是什么？為什么它會(huì)讓你印象深刻？”的問(wèn)題，學(xué)生的回答主要有：復(fù)數(shù)的定義（18個(gè)），如i2=-1等;負(fù)數(shù)能開(kāi)平方（11個(gè)），如“從未想過(guò)一個(gè)數(shù)的平方可以為負(fù)數(shù)”“ 負(fù)數(shù)竟然可以開(kāi)方”等;數(shù)系的擴(kuò)充（8個(gè)），如“我知道了實(shí)數(shù)集不是最大的數(shù)集”“實(shí)數(shù)和虛數(shù)可組成更大的數(shù)集—復(fù)數(shù)集”等;數(shù)學(xué)史（18個(gè)），如“虛數(shù)發(fā)現(xiàn)的歷史讓我了解到了發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的過(guò)程坎坷”“歷史上數(shù)學(xué)家的故事展示了創(chuàng)新思維，令人腦洞大開(kāi)”“數(shù)學(xué)的歷史十分有趣”等。

課后訪談表明，學(xué)生對(duì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中所接觸的數(shù)學(xué)史知識(shí)感到很新鮮，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的了解，知道了概念的來(lái)源，而數(shù)學(xué)史的融入也活躍了課堂氣氛，激發(fā)了他們的求知欲。作為“復(fù)數(shù)”一章的開(kāi)端，這是一個(gè)好的開(kāi)始。

在本節(jié)課中，數(shù)學(xué)史的融入體現(xiàn)了多元的教育價(jià)值。在概念引入的設(shè)計(jì)上，教師重構(gòu)復(fù)數(shù)的歷史，由卡爾丹“分十”問(wèn)題到邦貝利三次方程問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，體會(huì)引入虛數(shù)的必要性。特別是在求解三次方程的過(guò)程中，一部分學(xué)生利用求根公式，算出含負(fù)數(shù)開(kāi)方形式的根，認(rèn)為三次方程無(wú)解;但也有部分學(xué)生利用計(jì)算器，快速找到三次方程的三個(gè)根。在學(xué)生陷入無(wú)解與有解的矛盾之中時(shí)，教師借助作圖軟件從圖像角度讓學(xué)生看到三個(gè)真實(shí)存在的根，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，激發(fā)他們解決負(fù)數(shù)開(kāi)方問(wèn)題的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)，使數(shù)系的擴(kuò)充顯得自然而迫切;再?gòu)牟煌匠痰那蠼馊胧?，揭示?shù)系擴(kuò)充所遵循的原則。本課例較成功地實(shí)現(xiàn)了虛數(shù)概念的歷史序、邏輯序和學(xué)生心理序的有機(jī)統(tǒng)一，從而構(gòu)建了“知識(shí)之諧”。

微視頻“復(fù)數(shù)的歷史”向?qū)W生展示了不同時(shí)空數(shù)學(xué)家對(duì)虛數(shù)的探索以及虛數(shù)概念緩慢而艱辛的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程。這既有助于學(xué)生樹(shù)立動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀，又揭示了虛數(shù)概念背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)家的理性精神，因而展示了“文化之魅”，達(dá)成了“德育之效”。

但是，與許多HPM課例類似，本課例也還有很大的完善空間，如小結(jié)環(huán)節(jié)處理得還比較粗糙。如果教師能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念的歷史進(jìn)行深入反思，充分挖掘復(fù)數(shù)產(chǎn)生的育人價(jià)值，而不是僅僅強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)的應(yīng)用，那么數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，特別是德育價(jià)值，將能夠得到更有效的體現(xiàn)。

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