巧用規(guī)律 化繁為簡(jiǎn)

賽先生

德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。他推動(dòng)了多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展，這得益于他從小養(yǎng)成的愛(ài)思考、愛(ài)總結(jié)、愛(ài)找規(guī)律的習(xí)慣。

據(jù)說(shuō)高斯在讀小學(xué)時(shí)，有一次老師出了一道數(shù)學(xué)題：1+2+3+……+99+100=？沒(méi)過(guò)多久，高斯就說(shuō)算好了，答案是5050。老師驚訝得張大嘴巴，答案是正確的，高斯怎么算得如此迅速？

高斯告訴大家，他將“1+2+3+……+99+100”寫(xiě)成一排，再在下面寫(xiě)“100+99+98+……+2+1”，每列上下兩數(shù)相加等于101，共有100個(gè)101相加，100×101=10100。那么，1+2+3+……+99+100=10100÷2=5050。

用高斯的方法，我們可以推導(dǎo)出求正整數(shù)依次相加之和的公式嗎？1+2+3+……+（n一1）+n=？

同樣的，我們把“1+2+……+（n一1）+n”寫(xiě)成一排，在下面對(duì)應(yīng)寫(xiě)“n+（n一1）+……+2+1”，每列上下兩數(shù)相加等于n+1，共有n個(gè)n+l。那么，1+2+3+……+（n-1）+n=（n-1）+n/2。

我們?nèi)绻麑ⅰ?+2+3+……+（n-1）+n”具體化為如下圖的石子堆，能發(fā)現(xiàn)什么？

1粒石子、1+2粒石子、1+2+3粒石子、1+2+3+4粒石子……我們觀察后不難發(fā)現(xiàn)，每堆石子都可以被排成等邊三角形。石子總數(shù)分別為1、3、6、10……這些數(shù)被稱為三角形數(shù)。也就是說(shuō)，正整數(shù)依次相加的和（n-1）+n/2必是三角形數(shù)。

我們繼續(xù)探索，稍微改變那4堆石子的排法，讓它們排成等邊直角三角形。

然后，如上圖所示，我們用兩個(gè)相同的等邊直角三角形石子堆構(gòu)成長(zhǎng)方形石子堆。通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方形石子堆一邊是n、另一邊是n+1，共有石子數(shù)為n（n+1）。

我們來(lái)檢驗(yàn)這一結(jié)論：三角形石子堆的石子數(shù)為（n+1）n/2，兩個(gè)三角形石子堆的石子數(shù)是2x（n+1）n/2=n（n+1），與剛剛算的結(jié)果相同。

我們?cè)谏钪袝?huì)遇到三角形數(shù)嗎？當(dāng)然會(huì)！比如堆木樁，如果人們?cè)诘厣掀椒?5個(gè)木樁，再依次往上放木樁，把木樁堆成等邊三角形，一共能堆多少個(gè)木樁？我們很快就可以算出答案45x（45+1）/2 =1035。

舉一反三，對(duì)很多問(wèn)題，我們可以快速解答。假設(shè)有7位來(lái)自不同學(xué)校的學(xué)生參加一個(gè)會(huì)議，在參會(huì)前倆倆握手認(rèn)識(shí)，他們一共握手多少次？

我們來(lái)分析一下，第1位學(xué)生與其他6位學(xué)生分別握手，握手6次。第2位學(xué)生已經(jīng)與第一位學(xué)生握過(guò)手了，只需與其余5位學(xué)生握手5次。第3位學(xué)生已經(jīng)與前兩位學(xué)生握過(guò)手了，只需與其余4位學(xué)生握手4次。如此類(lèi)推，第4位學(xué)生接下來(lái)握手3次，第5位學(xué)生接下來(lái)握手2次，第6位學(xué)生接下來(lái)握手1次，第7位學(xué)生不用再握手了。

看，上圖和我們之前看到的等邊三角形石子堆如出一轍，那我們很快就能算出來(lái)：6x（6+1）/2=217位學(xué)生一共握手21次。

如果宴會(huì)上12位朋友倆倆碰杯，共碰杯多少次？同理，我們也可以這樣求解：11x（11+1）=66，12位朋友一共碰杯66次。

這樣的例子有很多。數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系，還有很多規(guī)律等待人類(lèi)學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)，我們繼續(xù)探索吧！