切線長定理在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

【摘 要】切線長定理在高中數(shù)學(xué)中，與“直線與圓”這塊內(nèi)容緊密相連，經(jīng)?？疾?，但很多學(xué)生在遇到這種題型的時(shí)候，都有點(diǎn)束手無策。而切線長定理每次考到的考點(diǎn)都是類似的，本質(zhì)上都是從圓外一點(diǎn)向圓引切線，只是題目條件會(huì)發(fā)生變化，點(diǎn)和圓是否含參數(shù)會(huì)讓整個(gè)題的難度不一樣。本文先將切線長定理相關(guān)考點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，再根據(jù)點(diǎn)和圓是否含參數(shù)，將題型分為以下三類：①定點(diǎn)定圓型;②動(dòng)點(diǎn)定圓型;③定點(diǎn)動(dòng)圓型。希望通過總結(jié)能幫助高中生增強(qiáng)解決切線長定理相關(guān)問題的信心。

【關(guān)鍵詞】切線長定理;定點(diǎn)定圓型;動(dòng)點(diǎn)定圓型;定點(diǎn)動(dòng)圓型

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）28-0038-03

高中數(shù)學(xué)中，切線長定理和“直線與圓”這塊內(nèi)容緊密相連，經(jīng)常考查，但很多學(xué)生在遇到這種題型的時(shí)候，都有點(diǎn)束手無策，針對(duì)這種情況，筆者將自身經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，希望能為廣大學(xué)生解除困惑，增強(qiáng)自信。

1? ?切線長定理在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用中的有關(guān)考點(diǎn)總結(jié)

如圖1，過圓外一點(diǎn)P向該圓M引兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則;

MP平分∠APB;

MP垂直平分AB;

MA⊥AP，MB⊥BP;

S四邊形AMBP=2S△AMP;

S四邊形AMBP=∣AB∣·∣PM∣;

M，A，P，B四點(diǎn)共圓，直徑為MP。

證明：（1）∵PA與圓相切于A，∴PA⊥MA，在Rt△PMA中，由勾股定理得，由切線長定理可知，，因此成立;

由切線長定理得MP平分∠APB;

由對(duì)稱性可證（略）;

相切可得（略）;

由對(duì)稱性可證（略）

∵M(jìn)P⊥AB，

S四邊形AMBP=∣AB∣·∣PM∣

四邊形MAPB對(duì)角互補(bǔ)，所以M，A，P，B四點(diǎn)共圓，∵∠MBP=90°，∴直徑為MP。

2? ?切線長定理題型總結(jié)

在具體的考題中，這種題型的難度又不盡相同，有些屬于基礎(chǔ)題，有些屬于中檔甚至壓軸題，主要體現(xiàn)在是否含參數(shù)上，根據(jù)筆者經(jīng)驗(yàn)，把切線長定理相關(guān)題型分成以下三個(gè)類型。

類型一：定點(diǎn)定圓型

例1 過點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，線段AB的中點(diǎn)為Q，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，如圖2.

求切線PA或PB的長度;

求圓PAOB的方程;

求直線AB的方程;

求四邊形PAOB的面積;

求PQ的長度;

實(shí)際上，以上三種題型本質(zhì)上都是一樣的，方法都是類似的，區(qū)別只是在于P點(diǎn)和圓是否含參，類型一P點(diǎn)和圓都不含參，難度較低;類型二是P點(diǎn)含參;類型三是圓含參，難度就提高了，主要體現(xiàn)在表達(dá)式含參數(shù)，顯得更復(fù)雜了。但是，如果讓學(xué)生了解考點(diǎn)和題型，并采用化歸的數(shù)學(xué)思想方法，把題轉(zhuǎn)化到類似的模型上去，那學(xué)生就能比較容易的解決出來，那么學(xué)生就不會(huì)再畏懼這樣的題，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信。

【作者簡介】

譚莉，研究生畢業(yè)于北京師范大學(xué)教育學(xué)部課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)專業(yè)），本科畢業(yè)于北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，畢業(yè)后任成都市新都一中高中數(shù)學(xué)教師，擔(dān)任班主任工作。