保證金約束下資產(chǎn)定價(jià)模型的廣播式異步算法研究

童駿 尤建新 李展儒 張華祥

摘 要： 有保證金約束的資本資產(chǎn)定價(jià)模型在實(shí)際應(yīng)用中面臨著兩個(gè)挑戰(zhàn)， 一是模型引入了非線性的約束條件， 導(dǎo)致沒(méi)有解析的均衡價(jià)格， 二是市場(chǎng)中投資者和資產(chǎn)的數(shù)量都很龐大， 如何高效地找到近似解。針對(duì)有保證金約束的資本資產(chǎn)定價(jià)模型， 提出適用于多服務(wù)器協(xié)同運(yùn)算的廣播式異步算法。該算法把投資者分成若干個(gè)不同的組， 各組在不同的服務(wù)器上獨(dú)立運(yùn)行，組與組之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)相互傳遞外部?jī)r(jià)格信息， 各組內(nèi)部根據(jù)現(xiàn)有的價(jià)格和接收到的外部?jī)r(jià)格信息重新更新組內(nèi)價(jià)格， 并廣播給相鄰的組，減少了單臺(tái)服務(wù)器的計(jì)算負(fù)擔(dān)。該算法可看成一個(gè)非做市商的價(jià)格形成過(guò)程。研究證明， 在滿足一定的條件下， 各組價(jià)格均以概率1收斂到相同的均衡價(jià)格。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的效果。

關(guān)鍵詞： 保證金; 資產(chǎn)定價(jià); 廣播式; 異步算法

中圖分類號(hào)： F 22

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Abstract： The application of the capital asset pricing model with margin-requirement constraints in practice faces two challenges. One is that the model introduces non-linear constraints， leading analytic equilibrium prices unable to be derived. The other one is that the number of investors and available assets in the market is generally very large， raising the question of how to find an approximate solution efficiently in a promising time. In this paper， we propose an asynchronous broadcast-based algorithm for the capital asset pricing model with margin-requirement constraints， which is suitable for implementing on multi servers who can work collaboratively. The algorithm divides investors into several different groups， each of which runs on an independent server to reduce the computational burden of a single server. The groups transmit prices information to each other through the network. Each group updates prices by combing their current prices with the received neighbors′ prices， and broadcasts them to its neighbors. We prove that under certain conditions， each group′s prices will converge to the same equilibrium prices with probability 1. The numerical experiments verify the effectiveness of our proposed algorithm.

Key words： margin requirement; asset pricing; broadcast; asynchronous algorithm

資本資產(chǎn)定價(jià)理論（CAPM）由Sharpe （1964）、Lintner （1965）和Mossin （1966）提出， 是公認(rèn)的奠定現(xiàn)代金融學(xué)的基石之一， 目前依然是學(xué)術(shù)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。 然而， 該模型假設(shè)投資者是同質(zhì)的且市場(chǎng)是無(wú)摩擦的， 這種過(guò)于簡(jiǎn)化的假設(shè)導(dǎo)致其應(yīng)用效果并不理想。 因而， 模型自提出以來(lái)備受爭(zhēng)議。 為了使模型更有解釋力， 目前已有大量的文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)， 針對(duì)不同的市場(chǎng)情景提出了不同的變種。 譬如， Lintner （1969）、Fama和French （2007）以及He和Shi （2007）等把假設(shè)條件放松到投資者是異質(zhì)的情況， 而Jarrow （1980）以及李科等（2014）、Rytchkov （2014）和Ma等（2018）則分別引入賣空限制和保證金制度等交易限制， 研究它們對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的影響， 吳文生等（2018）則研究變動(dòng)均值和方差情況下的資產(chǎn)配置模型。

從計(jì)算的角度來(lái)看， 在模型中引入非線性的約束條件通常會(huì)使求解解析的均衡價(jià)格變得十分困難。 現(xiàn)有的文獻(xiàn)普遍采用傳統(tǒng)的利用拉格朗日函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求解， 但這種方法只有在投資者和資產(chǎn)數(shù)量都非常少的時(shí)候才有效。 眾所周知， 市場(chǎng)中的投資者和資產(chǎn)的數(shù)量都非常龐大， 在這種情況下只能尋求數(shù)值方法給出近似解。 然而， 目前缺乏行之有效的算法， 在一定程度上限制了模型的應(yīng)用價(jià)值。 對(duì)于一般的均衡模型， 學(xué)術(shù)上提出了不少方法， 比較常見(jiàn)的是將均衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的優(yōu)化問(wèn)題或者不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題， 然后運(yùn)用優(yōu)化方法來(lái)求解。 但對(duì)于帶非線性約束的資本資產(chǎn)定價(jià)模型來(lái)說(shuō)， 轉(zhuǎn)化后的優(yōu)化問(wèn)題通常是非凸的且形式復(fù)雜， 不適合用這類方法求解。 因此， 設(shè)計(jì)適用于求解大規(guī)模均衡定價(jià)模型的算法是一項(xiàng)有挑戰(zhàn)性、有現(xiàn)實(shí)意義的工作。

近年來(lái)， Tong 等提出了一種非梯度的求解方法。 與現(xiàn)有方法不同的是， 該方法按照資產(chǎn)的供需關(guān)系來(lái)調(diào)整價(jià)格， 整個(gè)過(guò)程符合經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。 但它的缺陷在于， 每次迭代只有等所有的投資者都更新完需求后才能進(jìn)行下一次迭代， 從而使系統(tǒng)產(chǎn)生大量的等待時(shí)間， 降低了求解效率。 為了減少系統(tǒng)的等待時(shí)間， Tong等進(jìn)一步提出了四種不同類型的異步算法， 其特點(diǎn)是需求更新過(guò)程與價(jià)格更新過(guò)程可以存在不同程度的延時(shí)。 由于每個(gè)投資者獨(dú)立計(jì)算投資決策問(wèn)題，所以這類算法適合用分布式的方法來(lái)計(jì)算。 因此， 如何設(shè)計(jì)有效的分布式計(jì)算方法是本文研究的主要內(nèi)容。

隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展， 以云計(jì)算為代表的基于多服務(wù)器的協(xié)同計(jì)算方法為求解大規(guī)模問(wèn)題提供了新的途徑， 特別是在計(jì)算機(jī)、通信、電力等領(lǐng)域， 越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始嘗試設(shè)計(jì)分布式的計(jì)算方法， 但在金融領(lǐng)域的應(yīng)用則較少。 在優(yōu)化領(lǐng)域， 這方面的研究有Bertsekas （1983）針對(duì)經(jīng)典的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題提出的按變量分量的下標(biāo)順序依次循環(huán)迭代方法， Tsitsiklis等（1986）提出的異步型分布式梯度算法， Tsitsiklis和Bertsekas （1986）討論了異步算法在數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)方面的應(yīng)用， Bertsekas和Yu （2010）則研究了異步算法在動(dòng)態(tài)規(guī)劃方面的應(yīng)用， 許浩鋒等（2015）研究了分布式在線交替方向乘子法，等等。 同樣， 由于原均衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化后的形式十分復(fù)雜且往往非凸， 這些方法也并不適用。

如果視投資者為一個(gè)agent， 那么均衡資本資產(chǎn)定價(jià)模型本質(zhì)上等價(jià)于一個(gè)多agent的博弈模型。 針對(duì)這類模型，近年來(lái)， Nedic和Ozdaglar （2009）以及Nedic （2011）提出了基于agent網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的不同的分布式算法。 他們把每個(gè)agent單獨(dú)計(jì)算， agent之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳遞信息， 他們證明了在一定的條件下， 算法將收斂到均衡解。 其中， Nedic （2011）針對(duì)和式優(yōu)化問(wèn)題， 即maxx∈X∑i=1fi（x）提出了廣播式異步算法，其迭代形式在結(jié)構(gòu)上和Tong等給出的算法公式十分相似。

本文的主要?jiǎng)?chuàng)新之處在于， 基于Nedic （2011）的異步思想， 針對(duì)帶保證金約束的均衡資產(chǎn)定價(jià)模型， 提出了廣播式異步算法。 不同于Tong 等的算法， 該算法將投資者分成若干個(gè)不同的組， 各組根據(jù)組內(nèi)的供需關(guān)系以及相鄰組的價(jià)格信息重新調(diào)整價(jià)格， 并對(duì)相鄰組廣播更新后的價(jià)格信息， 如此不停迭代， 直到各組價(jià)格均趨于均衡價(jià)格。 有趣的是， 從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度看， 該算法與Tong 等的算法刻畫(huà)了兩種不同的價(jià)格形成機(jī)制。 Tong 等的算法對(duì)應(yīng)于做市商根據(jù)市場(chǎng)的供需關(guān)系統(tǒng)一調(diào)整價(jià)格， 而本文所研究的廣播式異步算法則對(duì)應(yīng)于各組（局部）之間通過(guò)不斷傳遞各自的價(jià)格信息來(lái)相互影響，最終形成一個(gè)統(tǒng)一的均衡價(jià)格。

1 模型描述

假設(shè)市場(chǎng)上有K個(gè)投資者、J個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。 記投資者的下標(biāo)為k∈{1，L，K}， 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的下標(biāo)為j∈{0，1，L，J}， 其中下標(biāo)j=0代表無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)， 其利率為r。 模型考慮單個(gè)周期， 即t=0，1。資產(chǎn)j的期初價(jià)格用pj表示， 期末價(jià)格用隨機(jī)數(shù)Xj表示。 假定投資者（以k為代表）在期初擁有資產(chǎn)j的稟賦數(shù)量為nkj≥0。 那么， 市場(chǎng)上資產(chǎn)j的總供給量等于∑Kk=1nkj， 投資者的總財(cái)富等于Wk0=∑Jj=0nkjpj。 這里不考慮交易成本， 但假設(shè)投資者k在做空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)j時(shí)需支付固定比例為mkj的保證金。

2 算法設(shè)計(jì)及收斂性分析

2.1 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)Nedic給出的廣播式分布迭代思想，把投資者劃分為m個(gè)互不相交的組S1、L、Sm分別獨(dú)立運(yùn)算， 組與組之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳遞價(jià)格信息。 這里假設(shè)數(shù)據(jù)傳遞過(guò)程是順暢且及時(shí)的， 而且各組內(nèi)的投資者收到的價(jià)格信息是無(wú)差異的。 這些組所構(gòu)成的無(wú)向連通圖可用符號(hào)表達(dá)為（V，E），其中與組i連通的組所構(gòu)成的集合記為N（i）， 即N（i）={J∈V|{i，j}∈E}，它也稱為組i的鄰域。每個(gè)組有一個(gè)局部虛擬時(shí)鐘，其走動(dòng)過(guò)程與其他組的虛擬時(shí)鐘相互獨(dú)立，且滿足到達(dá)率為1的泊松分布（這里忽略組內(nèi)的計(jì)算時(shí)間）。局部時(shí)鐘每走動(dòng)一次都將喚醒該組進(jìn)行迭代并對(duì)鄰域內(nèi)的其他成員廣播（傳遞）當(dāng)前結(jié)果。圖1分別展示了小組內(nèi)部更新價(jià)格過(guò)程和組間關(guān)系。

4 結(jié)語(yǔ)

資本資產(chǎn)定價(jià)模型是目前用來(lái)分析金融市場(chǎng)最有效的工具之一。 在實(shí)際應(yīng)用中， 為了使模型的分析效果更好， 使用者根據(jù)不同的市場(chǎng)環(huán)境對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。 改進(jìn)后的模型形式變得復(fù)雜， 給模型的求解帶來(lái)了困難。 更何況， 市場(chǎng)中投資者和資產(chǎn)的數(shù)量都十分龐大， 常用的算法通常失效。 隨著云計(jì)算等信息技術(shù)的發(fā)展， 越來(lái)越多的研究開(kāi)始探索基于多服務(wù)器協(xié)同計(jì)算的方法。 本文以帶保證金約束的資本資產(chǎn)定價(jià)模型為背景， 在Tong等的算法的基礎(chǔ)上提出基于多服務(wù)器的廣播式異步算法。 該算法把投資者分成若干個(gè)不同的組， 各組在不同的服務(wù)器上獨(dú)立運(yùn)行， 減少了單臺(tái)服務(wù)器的計(jì)算負(fù)擔(dān)。 組與組之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)相互傳遞外部?jī)r(jià)格信息， 組內(nèi)根據(jù)自己的價(jià)格水平和接收到的外部?jī)r(jià)格水平重新更新價(jià)格并廣播給相鄰的組。 從經(jīng)濟(jì)學(xué)上看， 不同于Tong等的算法所隱含的做市商價(jià)格形成過(guò)程， 本文所提的算法可看作非做市商的價(jià)格形成過(guò)程。本文證明， 在滿足一定的條件下， 各組的價(jià)格水平均以概率1 收斂到相同的均衡價(jià)格。 隨后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1] SHARPE W F. Capital asset prices： A theory of market equilibrium under conditions of risk[J]. The Journal of Finance， 1964， 19（3）：425-442.

[2] LINTNER J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets[J]. The Review of Economics and Statistics， 1965， 47（1）：13-37.

[3] MOSSIN J. Equilibrium in a capital asset market[J]. Econometrica， 1966， 34（4）：768-783.

[4] LINTNER J. The aggregation of investor's diverse judgments and preferences in purely competitive security markets[J]. The Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1969， 4（4）：347-400.

[5] FAMA E F， FRENCH K R. Disagreement， tastes， and asset prices[J]. Journal of Financial Economics， 2007， 83（3）：667-689.

[6] HE X， SHI L. Zero-beta CAPM with heterogeneous beliefs[EB/OL]. Presented at 20th Australasian Finance and Banking Conference 2007. https：//www.ssrn.com/en/.

[7] JARROW R. Heterogeneous expectations， restrictions on short sales， and equilibrium asset prices[J]. The Journal of Finance， 1980， 35（5）：1105-1113.

[8] 李科， 徐龍炳， 朱偉驊. 賣空限制與股票錯(cuò)誤定價(jià)——融資融券制度的證據(jù)[J]. 經(jīng)濟(jì)研究， 2014（10）：165-178.

[9] RYTCHKOV O. Asset pricing with dynamic margin constraints[J]. The Journal of Finance， 2014， 69（1）：405-452.

[10] MA C H， HU J Q， XU Y F. Margins on short sales and equilibrium price indeterminacy[J]. Journal of Mathematical Economics， 2018（74）：79-92.

[11] 吳文生， 盛世杰， 韓其恒. 變動(dòng)均值和方差資產(chǎn)配置模型的應(yīng)用研究[J]. 中國(guó)管理科學(xué)， 2018， 26（2）：107-115.