錢前， 張愛華， 孫藝瑕

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院， 上海 201600)

0 引言

多關(guān)節(jié)機械臂控制系統(tǒng)是具有強耦合性和復(fù)雜非線性的系統(tǒng)，可以克服不確定干擾和建模誤差的影響是設(shè)計控制器要考慮的首要問題，因此非線性魯棒控制算法得到了廣泛應(yīng)用。文獻[1]將負(fù)載質(zhì)量從機器人動力學(xué)方程中分離出來，針對負(fù)載未知時在廣義坐標(biāo)空間和任務(wù)坐標(biāo)空間中的軌跡跟蹤控制問題，研究了擾動有界時的魯棒自適應(yīng)控制。文獻[2]針對系統(tǒng)中存在有界未知負(fù)載等非線性不確定項的影響，通過狀態(tài)方程匹配將魯棒控制問題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)控制問題進行求解，得到了控制算法，并驗證了控制器的有效性。以上兩種魯棒控制針對的機械臂控制系統(tǒng)形式要求比較嚴(yán)格，解算過程比較耗時。文獻[3]通過合理選擇與控制目標(biāo)相關(guān)的勢函數(shù)，根據(jù)模型中不確定性的實時變化，通過引入可在線可調(diào)參數(shù)得到自適應(yīng)魯棒控制算法，保證了閉環(huán)系統(tǒng)中所有狀態(tài)半全局最終一致有界。文獻[4]針對直流電機驅(qū)動的機器人系統(tǒng)，通過Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型處理不確定性，設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒自適應(yīng)控制器，節(jié)約在線計算量，有利于實時控制。以上控制算法都是基于采樣周期的時間驅(qū)動控制系統(tǒng)，而隨著信息技術(shù)和經(jīng)濟的發(fā)展，除了對機械臂控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的要求以外，系統(tǒng)能耗和對通信頻率的要求必須考慮。文獻[5-6]初步研究了降低系統(tǒng)能耗的控制方法，但仍通過傳感器與控制器的周期性采樣執(zhí)行，雖然減少了機器人控制系統(tǒng)的通信頻率，但這些算法可能需要較高的采樣頻率，為此事件驅(qū)動控制方法引起了國內(nèi)外專家學(xué)者們的注意。

事件驅(qū)動控制系統(tǒng)的控制指令只有滿足驅(qū)動條件時才會更新，控制器的執(zhí)行不再具有周期性，是與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的。文獻[7-8]提出一種連續(xù)時間控制與事件驅(qū)動控制相結(jié)合的方法，解決了2階非線性系統(tǒng)軌跡跟蹤的問題；文獻[9]采用連續(xù)比例- 積分- 微分(PID)控制與事件驅(qū)動控制相結(jié)合方法解決了機器人軌跡跟蹤問題，但提出算法是基于精確模型的；文獻[10]將狀態(tài)反饋應(yīng)用到事件驅(qū)動控制，但不能完全補償模型的不確定性；文獻[11]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂茟?yīng)用到機器人事件驅(qū)動控制，有效地補償了模型不確定性，但缺少自適應(yīng)；文獻[12]提出一種基于事件驅(qū)動的軌跡跟蹤自適應(yīng)算法，解決了當(dāng)機器人控制系統(tǒng)動力學(xué)未知時的軌跡跟蹤問題；文獻[13]將文獻[12]的算法應(yīng)用到全驅(qū)動水面船軌跡跟蹤系統(tǒng)，但未考慮到外界干擾；文獻[14]提出一種基于滑?？刂频氖录?qū)動控制方法，解決了帶有外部擾動的線性系統(tǒng)中能耗較高問題；文獻[15]針對帶有外部擾動的非線性系統(tǒng)能耗較高問題，提出了一種事件驅(qū)動滑?？刂扑惴?；文獻[16]將此算法應(yīng)用到帶有外部擾動的歐拉- 拉格朗日軌跡跟蹤系統(tǒng)中，但滑?？刂剖遣贿B續(xù)的，系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要犧牲切換面的帶寬。

鑒于自適應(yīng)魯棒控制處理非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性問題的良好表現(xiàn)，本文針對帶有不確定干擾和建模誤差的多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)，提出事件驅(qū)動自適應(yīng)魯棒軌跡跟蹤控制器，來解決高精度多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤系統(tǒng)在跟蹤過程中高能耗、通信頻率要求較高的問題，設(shè)計魯棒控制算法補償不確定干擾和未知模型動態(tài)干擾，自適應(yīng)地調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，并通過Lyapunov穩(wěn)定性理論獲得驅(qū)動條件，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)中無Zeno現(xiàn)象發(fā)生，最后通過仿真驗證控制器的有效性。

1 問題描述

考慮外界擾動和建模誤差的影響，建立多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型[17]如下:

(1)

多關(guān)節(jié)機械臂軌跡的跟蹤控制目標(biāo)如下:

(2)

式中：e為系統(tǒng)位置跟蹤誤差；qd為給定的期望軌跡。

由于外界干擾通常是有界的，對于多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)，本文做出如下合理假設(shè):

定義系統(tǒng)位置跟蹤誤差為

e=q-qd，

(3)

并令

(4)

為多關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤誤差系統(tǒng)，其中u表示控制器的輸出，從而可以將數(shù)學(xué)模型(1)式改寫成如下系統(tǒng)模型:

(5)

2 事件驅(qū)動魯棒自適應(yīng)跟蹤控制

2.1 自適應(yīng)魯棒控制器

定義θ(t)=[θ1(t)θ2(t)]T為可調(diào)自適應(yīng)參數(shù)，設(shè)計多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制器:

(6)

并選擇如下自適應(yīng)律:

(7)

緊集Ω0為

(8)

緊集Ωe為

(9)

式中：η1、η2、t0、T為正常數(shù)。

為了方便證明，本文給出如下引理:

引理1[18]令Ω為任意的閉凸集，則有(v-PΩ(v))T(PΩ(v)-w)≥0,v∈Rl,w∈Ω，其中PΩ(v)為Rl→Ω上的投影算子，v、w為實矩陣，l為維度。

證明定義∈R2為常值向量，選擇Lyapunov候選函數(shù):

(10)

式中：V0、V1分別為

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：

(15)

對(10)式中的V1(θ(t))求微分，可得

(16)

式中：

r(θ)=ψ(θ-β1F(θ))-θ.

(17)

令v=θ-β1F(θ),w=，根據(jù)引理1，有

(r(θ)+θ-)T(-r(θ)-β1F(θ))≥0.

(18)

整理(18)式，可得

(19)

將(19)式代入(16)式，得

(20)

由于

(21)

將(4)式代入(21)式，有

(22)

對(22)式取反饋控制律u，有

(23)

將(23)式代入(22)式，有

(24)

進而得到

(25)

針對(15)式給出的c(θ1(t),v)，定義如下定理:

(26)

式中：λ1、λ2分別為

(27)

c(θ1(t),v)≤0,t≥t0+T.

(28)

(29)

通過適當(dāng)選擇設(shè)計參數(shù)η1、η2，可使系統(tǒng)達到規(guī)定跟蹤精度；又根據(jù)假設(shè)2，參考信號qd有界，則閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)q必定有界。證畢。

2.2 事件驅(qū)動魯棒自適應(yīng)控制器

定義控制力矩τ為

τ=τ(η)，

(30)

定義ti{i=0,1,2,…}為由驅(qū)動狀態(tài)決定的事件驅(qū)動控制器的時間序列，則事件驅(qū)動控制力矩為

τ=τ(η(ti)).

(31)

魯棒自適應(yīng)控制器與事件驅(qū)動控制器的測量誤差為

(32)

式中:

(33)

針對事件驅(qū)動多關(guān)節(jié)機械臂控制系統(tǒng)給出如下假設(shè):

(34)

根據(jù)(32)式、(33)式，可得事件驅(qū)動控制器:

(35)

將(35)式代入(22)式,有

(36)

(37)

于是，對于?γ∈Ω1, ?η1,η2∈Ωe，有

(38)

(39)

進而對于t∈[ti,ti+1)得到時間驅(qū)動控制器為

(40)

(41)

將(30)式代入(41)式，可得

(42)

根據(jù)(37)式與定理1可得

(43)

式中:P1=‖sup (-θ1(M-1)T-C)‖;P2=‖max {M-1P1,1}‖;P3=max {P2,1,L}.

(44)

根據(jù)(43)式、(44)式與假設(shè)3，可得

(45)

(46)

考慮(40)式與(46)式可知T0存在，并且形式為

(47)

根據(jù)(47)式可知T0的下界大于0，因此該系統(tǒng)中沒有Zeno現(xiàn)象發(fā)生。

3 仿真分析

本文使用文獻[20]中給出的3關(guān)節(jié)機械臂作為仿真對象，機械臂結(jié)構(gòu)與相關(guān)參數(shù)如圖1所示，相關(guān)參數(shù)如表1所示。圖1中：I1、I2、I3分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的轉(zhuǎn)動慣量，l2、l3分別為關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3連桿長度，m2、m3分別為關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3連桿質(zhì)量，r2、r3分別為關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3連桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的距離，q1、q2、q3分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3的位置。

圖1 3關(guān)節(jié)機械臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Three-links multi-joint manipulator

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值I1/(kg·m2)3.61l2/m1r2/m0.6I2/(kg·m2)2.35m2/kg30r3/m0.5I3/(kg·m2)1.95m3/kg26g/(m·s-2)9.8

注：g為重力加速度。

慣性矩陣M(q)為

M(q)中各個元素具體表達式如下：

m11=I1+a1cos2q2+a2cos2(q2+q3)+
2a3cosq2cos (q2+q3),
m22=I2+a1+a2+2a3cosq3,
m33=I3+a2,m32=m23=a2+a3cosq3,

系統(tǒng)初始狀態(tài)為

摩擦力為

其中μ1=5 N·m,μ2=5 N·m,μ3=5 N·m.

外部干擾為d1=0.1sint,d2=0.1cos (0.5t),d3=0.1sin (t/3)，魯棒自適應(yīng)參數(shù)為β1=5,β2=5,β3=2,α=2，事件驅(qū)動控制參數(shù)為σ=0.8,ε=0.5.

設(shè)定仿真時間100 s，仿真步長為0.01 s，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 機械臂3個關(guān)節(jié)的跟蹤效果圖Fig.2 Tracking results of three joints

圖3 機械臂3個關(guān)節(jié)跟蹤誤差變化Fig.3 Tracking errors of three joints

圖4 機械臂3個關(guān)節(jié)控制力矩變化Fig.4 Control torques of three joints

圖5 控制器觸發(fā)情況圖Fig.5 Change of inter-update time of controller

為驗證本文所提出的事件驅(qū)動自適應(yīng)魯棒控制方法的有效性與控制效果，仿真時與無事件驅(qū)動的自適應(yīng)魯棒跟蹤控制方法進行對比，即與參數(shù)σ=0,ε=0的仿真結(jié)果進行對比。圖2為事件驅(qū)動自適應(yīng)魯棒控制與無事件驅(qū)動的軌跡跟蹤效果對比圖，圖3為兩種控制方法的跟蹤誤差變化曲線。從圖2和圖3可看出：兩種方法都能夠完成軌跡跟蹤，無事件驅(qū)動時跟蹤效果較好、跟蹤精度高，說明所提出的自適應(yīng)魯棒控制跟蹤效果良好，且對干擾變化不敏感；事件驅(qū)動的控制方法也能夠較好地完成跟蹤控制，但因其無需頻繁的發(fā)送控制指令驅(qū)動執(zhí)行機構(gòu)，而使得其控制效果稍遜于無事件驅(qū)動跟蹤控制，控制力矩指令如圖4所示。

圖4為有無事件驅(qū)動兩種情況下機械臂3個關(guān)節(jié)的控制力矩指令變化圖。從圖4中可看出：系統(tǒng)在有事件驅(qū)動策略時的關(guān)節(jié)1力矩在0～20 s的變化浮動相比無事件驅(qū)動策略時更接近0；關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3的力矩在有事件驅(qū)動策略時變化相對更加平穩(wěn)，可以在保證控制效果的情況下有效減少能量損耗。圖5為有無事件驅(qū)動策略時控制觸發(fā)時間間隔變化圖，從中可看出有事件驅(qū)動策略時的驅(qū)動間隔大于0且明顯大于無事件驅(qū)動策略的驅(qū)動間隔，即無Zeno現(xiàn)象發(fā)生。對應(yīng)圖4可以看出，系統(tǒng)在觸發(fā)間隔內(nèi)控制力矩保持不變，說明了事件驅(qū)動控制的執(zhí)行不再具有周期性，可以有效降低系統(tǒng)的通信頻率。

4 結(jié)論

為解決存在不確定干擾和建模誤差的多關(guān)節(jié)機械臂軌跡跟蹤問題，本文提出了一種事件驅(qū)動自適應(yīng)魯棒控制器。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計了驅(qū)動條件，證明了無Zeno現(xiàn)象，并通過一個典型3關(guān)節(jié)機械臂進行了仿真驗證。仿真結(jié)果可以看出，所提出的自適應(yīng)魯棒控制具有良好的跟蹤效果，有效解決了系統(tǒng)高能耗和通信頻率較大的問題。具體結(jié)論為：1)該控制器可以通過自適應(yīng)策略調(diào)節(jié)參數(shù)，從而保證系統(tǒng)軌跡跟蹤精度，所提出的控制算法保證了事件驅(qū)動多關(guān)節(jié)機械臂跟蹤控制系統(tǒng)狀態(tài)半全局最終一致有界；2)結(jié)合事件驅(qū)動策略所得到的事件驅(qū)動控制系統(tǒng)在保證跟蹤效果的同時，有效降低了系統(tǒng)通信頻率，減少能源消耗，系統(tǒng)不存在Zeno現(xiàn)象；3)仿真中發(fā)現(xiàn)驅(qū)動參數(shù)σ和ε越大，需要的通信頻率就越低，指令更新頻率越低，但是過低的指令更新頻率會導(dǎo)致大的跟蹤誤差，從而導(dǎo)致頻繁地觸發(fā)驅(qū)動函數(shù)，為此設(shè)計控制算法來完成驅(qū)動參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)是下一步的研究工作。