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近年來(lái)，整流逆變器、變頻調(diào)速裝置等非線性負(fù)荷不斷投入運(yùn)行，導(dǎo)致用電負(fù)荷日趨多樣化和復(fù)雜化，使得電網(wǎng)中電壓偏差、頻率偏差、電壓波動(dòng)與閃變、三相不平衡、諧波畸變等電能質(zhì)量問(wèn)題日益嚴(yán)重[1-2]，威脅著電力用戶的用電可靠性和安全生產(chǎn)[3]。為了改善電能質(zhì)量，必須研究滿足現(xiàn)代電能質(zhì)量分析要求的監(jiān)測(cè)算法和監(jiān)測(cè)裝置，對(duì)電能質(zhì)量指標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)[4-5]。

在工程領(lǐng)域，用于分析電能質(zhì)量各項(xiàng)指標(biāo)的算法以傅里葉變換(FFT)為主，實(shí)際應(yīng)用的FFT算法需對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理，其結(jié)果會(huì)將頻譜分量從正常頻譜擴(kuò)展開(kāi)來(lái)，即發(fā)生頻譜泄露[6-7]。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于頻譜泄露的研究主要集中在分析及改善[8-11]，例如采用不同的窗函數(shù)來(lái)減少頻譜泄露等，而對(duì)于如何檢測(cè)頻譜泄露卻很少提及。

本文通過(guò)對(duì)頻譜泄露機(jī)理的分析，提出一種基于調(diào)制波的頻譜泄露檢測(cè)方法，該方法通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)分析，能有效地檢測(cè)信號(hào)經(jīng)過(guò)FFT變換后的頻譜泄露現(xiàn)象及泄露程度。

1 加窗信號(hào)頻譜分析

在現(xiàn)代信息技術(shù)領(lǐng)域中，頻域分析相對(duì)于時(shí)域分析具有更加重要的物理應(yīng)用和實(shí)際意義，因而在信號(hào)處理過(guò)程中，基于FFT運(yùn)算的頻譜分析是一種常用的分析手段。在電能質(zhì)量的分析過(guò)程中，原始采樣信號(hào)x(t)往往是周期性的連續(xù)信號(hào)，經(jīng)過(guò)傅里葉變換計(jì)算出信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)X(jω)也是連續(xù)的，為了使用計(jì)算機(jī)對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，往往還需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行離散化處理以近似分析相應(yīng)的頻譜。

設(shè)某一單頻正弦信號(hào)x(t)，其幅值為A0，頻率為f0，初始相位為φ0，則其表達(dá)式為

x(t)=A0cos(2πf0·t+φ0)

(1)

以采樣頻率fs將式(1)離散化得序列x(n)為

x(n)=x(n·Ts)=A0cos(n·ω0+φ0)

(2)

式中，Ts=1/fs為采樣周期，ω0=2πf0/fs。

由于時(shí)域下x(t)為無(wú)限長(zhǎng)的連續(xù)信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行離散化處理后得到的離散序列x(n)也同樣是無(wú)限長(zhǎng)，故無(wú)法通過(guò)DFT來(lái)分析，在具體的信號(hào)處理過(guò)程中往往通過(guò)時(shí)域加窗對(duì)x(n)做截短處理[12]，使之變成有限長(zhǎng)序列xc(n)。

假設(shè)窗函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式為w(n)，其傅氏變換后的頻譜表示為W(ω)，則加窗后的信號(hào)表達(dá)式為

xc(n)=x(n)·w(n)

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行傅里葉變換，得：

(4)

根據(jù)歐拉公式：

(5)

則由式(4)可得：

(6)

為了便于分析，這里只考慮正頻點(diǎn)附近的連續(xù)頻譜[13]，其函數(shù)表達(dá)式為

(7)

采用離散手段以等間隔Δf=fs/N(對(duì)應(yīng)在[0,2π]以等間隔Δω=2π/N)對(duì)連續(xù)頻譜Xc1(f)進(jìn)行頻譜抽樣，N為采樣點(diǎn)數(shù)，可得到離散序列Xc1(k)的表達(dá)式為

(8)

以矩形窗為例，來(lái)分析加窗信號(hào)的頻譜特性，矩形窗的頻譜表達(dá)式為

(9)

用矩形窗wR(n)對(duì)信號(hào)x(n)加權(quán)截?cái)嗟玫郊哟靶盘?hào)xR(n)，其正頻點(diǎn)附近的離散頻譜XR1(k)為

(10)

根據(jù)電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)技術(shù)規(guī)范，A級(jí)電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)終端記錄每周波應(yīng)至少采樣256點(diǎn)，式(10)可近似為

(11)

理想情況下，裝置采樣滿足整周期截?cái)嗪屯讲蓸?，則

(12)

由式(12)可知，加矩形窗的信號(hào)頻譜在整個(gè)離散頻域內(nèi)僅有一根譜線，如圖1(a)所示，虛線表示連續(xù)譜線，豎實(shí)線表示離散譜線，交點(diǎn)以下的一整根離散譜線即k=k0處的譜線代表著該單頻信號(hào)的頻率、幅值和相位。

然而在實(shí)際應(yīng)用中很難滿足同步采樣的條件，實(shí)際待測(cè)信號(hào)頻率會(huì)稍有偏移，即

(13)

式中，Δk0∈(0,1)，k0為整數(shù)，結(jié)合式(11)，可以仿真出實(shí)際加矩形窗FFT的離散頻譜圖如圖1(b)所示。

圖1 加矩形窗的信號(hào)頻譜線

由圖1(b)可以看出，實(shí)際單頻信號(hào)x(t)的頻譜分布不但集中在原始頻率點(diǎn)的主瓣上，而且泄露到矩形窗突然截?cái)喈a(chǎn)生的高頻旁瓣內(nèi)，導(dǎo)致頻譜泄露，譜峰下降，頻帶展寬，影響諧波分析的精度。

2 基于調(diào)制波的頻譜泄露檢測(cè)方法

為了綜合分析電壓幅值計(jì)算方法，可在原標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)上疊加調(diào)制波，得到實(shí)際源信號(hào)：

f(t)=A0cos(2πf0t)[1+A1cos(2πf1t)] (f1

(14)

令

(15)

信號(hào)f(t)仿真波形圖如圖2所示，圖中橫坐標(biāo)為時(shí)間，縱坐標(biāo)表示信號(hào)的實(shí)時(shí)值。可以看到實(shí)時(shí)曲線的包絡(luò)是在(1±0.05)UN之間波動(dòng)的信號(hào)，即為延時(shí)間軸對(duì)被測(cè)電壓每半個(gè)周期求得一個(gè)方均根值并按時(shí)間軸順序排列的連續(xù)電壓波動(dòng)的包絡(luò)線，其波動(dòng)信號(hào)的頻率為2.3 Hz。

圖2 原始信號(hào)波形圖

根據(jù)電能質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)裝置相關(guān)技術(shù)規(guī)范IEC-61000-4-30和GB/T17626.30，規(guī)范明確了電能質(zhì)量數(shù)據(jù)測(cè)量方法，其中電壓計(jì)算要以十周波為周期，實(shí)際檢測(cè)信號(hào)頻譜有無(wú)泄漏等同于檢測(cè)電壓的十周波計(jì)算方法。

檢測(cè)過(guò)程中，使用歐姆克朗測(cè)試儀輸出圖2所示的源信號(hào)給電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)終端，并記錄下監(jiān)測(cè)終端的100個(gè)連續(xù)10周波電壓測(cè)量值URMS(0)，…，URMS(99)。本檢測(cè)過(guò)程相當(dāng)于對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行了N=100的DFT，根據(jù)DFT公式，可以得到信號(hào)f(t)的第k條譜線的幅值A(chǔ)(k)：

(16)

100個(gè)連續(xù)10周波電壓的采樣周期ts為

ts=10×20(ms)=0.2(s)

(17)

對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行DFT時(shí)的頻率分辨率f0為

(18)

故2.3 Hz的基準(zhǔn)信號(hào)是在第k0條譜線

(19)

根據(jù)第1節(jié)所述，單一頻率的信號(hào)僅在該頻率處有頻譜分量，其兩側(cè)的譜線幅值均接近于零，故有：

(20)

式中，QRMS為頻譜泄露系數(shù)。

根據(jù)式(14)和式(15)可以得到第46條譜線的幅值范圍：

0.9·A1·UN

(21)

故有約束條件，若約束條件不滿足即可判斷頻譜泄露：

(22)

實(shí)際可按式(16)計(jì)算出信號(hào)頻率的譜線幅值A(chǔ)(k)，同時(shí)結(jié)合式(20)和式(21)來(lái)判斷信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換時(shí)的頻譜泄露情況。

進(jìn)一步地，結(jié)合式(14)，任一單頻正弦信號(hào)疊加頻率為f1的調(diào)制波，可形成有效值波動(dòng)的源信號(hào)，源信號(hào)是在(1±A1)UN之間波動(dòng)的信號(hào)，根據(jù)式(19) 選取波動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)的譜線進(jìn)行頻譜泄露的判斷。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文實(shí)驗(yàn)基于我司自主研發(fā)的PRS-7177型電能質(zhì)量在線監(jiān)測(cè)裝置，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示。左側(cè)是OMICRON標(biāo)準(zhǔn)源，右側(cè)是我司的電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)產(chǎn)品。為驗(yàn)證所提出的頻譜泄露檢測(cè)方法的有效性，將對(duì)比電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)終端采用矩形窗算法和Hanning窗算法進(jìn)行FFT的結(jié)果。

圖3 電能質(zhì)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

先驗(yàn)證矩形窗FFT算法，按式(15)輸出電壓信號(hào)給監(jiān)測(cè)終端，記錄下監(jiān)測(cè)終端的100個(gè)連續(xù)10周波電壓測(cè)量值，計(jì)算出QRMS_R和A(46)_R/UN：

QRMS_R=4.55×10-4，A(46)_R/UN=3.07%

(23)

然后將同一臺(tái)監(jiān)測(cè)終端切換到Hanning窗FFT算法，相同條件下，計(jì)算出QRMS_H和A(46)_H/UN：

QRMS_H=1.55×10-4，A(46)_H/UN=5.2%

(24)

由式(23)和式(24)對(duì)比可以看到，基于矩形窗FFT算法的A(46)_R/UN值不滿足式(22)的約束條件，且采用矩形窗進(jìn)行FFT后的頻譜泄露系數(shù)要明顯大于Hanning窗FFT的結(jié)果，結(jié)果符合理論實(shí)際，理論上也是漢寧窗相對(duì)于矩形窗的旁瓣衰減更大。

4 結(jié)束語(yǔ)

電網(wǎng)公司對(duì)電能質(zhì)量指標(biāo)的考核越來(lái)越看重，這就要求規(guī)范各個(gè)廠家的電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)產(chǎn)品，其核心是確保電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)終端的原理算法切實(shí)可行。仿真和實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明，所提出的頻譜泄露檢測(cè)方法能夠有效地檢測(cè)出監(jiān)測(cè)終端在對(duì)信號(hào)進(jìn)行FFT變換后的頻譜泄露現(xiàn)象和泄露程度，該方法步驟明了，操作簡(jiǎn)單，并為檢測(cè)終端的電壓測(cè)量方法提供了一種新思路。