袁雅婷，樊寬軍，江 涌

(1.華中科技大學(xué) 強(qiáng)電磁工程與新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074；2.耶魯大學(xué)，紐黑文 06520，美國(guó))

Kolomenskii等[1-2]于1962年首次提出了自共振現(xiàn)象：在沿著靜態(tài)均勻磁場(chǎng)傳播的橫向電磁波中，相對(duì)論性帶電粒子有可能保持自共振狀態(tài)一直被加速。帶電粒子在軸向靜態(tài)磁場(chǎng)的作用下做回旋運(yùn)動(dòng)，因此也稱為回旋自共振加速。回旋自共振加速機(jī)制一般應(yīng)用于電子加速，在離子與質(zhì)子加速上也有應(yīng)用[3-7]。

在回旋自共振加速過(guò)程中，隨電子能量和速度的增加，軸向磁場(chǎng)或波導(dǎo)半徑需逐漸改變以維持電子回旋頻率與旋轉(zhuǎn)的TE11模微波場(chǎng)保持相位同步，達(dá)到自共振狀態(tài)[8]。在同步情況下，電子沿螺旋軌跡向前，在不需要聚束的條件下可獲得連續(xù)加速。因此回旋自共振加速器(CARA)能以高達(dá)96%的效率將微波場(chǎng)能量傳遞給電子束[9-11]，且輸出電子束流強(qiáng)大、功率高。此外，CARA中的加速腔體為單腔波導(dǎo)，不需要多個(gè)加速腔體的級(jí)聯(lián)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。這些特點(diǎn)使CARA適用于大功率的工業(yè)電子輻照應(yīng)用，如煙氣、廢水等輻照處理[11-13]，并有潛力作為下一代電子源[13]。本文對(duì)影響CARA輸出電子能量的因素進(jìn)行分析研究。

1 理論分析

在CARA中，旋轉(zhuǎn)的TE11模微波場(chǎng)對(duì)電子束進(jìn)行橫向加速，在漸變軸向磁場(chǎng)B0(z)的約束下，電子沿螺旋軌跡向前加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軸向靜態(tài)磁場(chǎng)滿足一定條件時(shí)，旋轉(zhuǎn)的電子將被旋轉(zhuǎn)的TE11模橫向電場(chǎng)持續(xù)加速。電子回旋頻率Ω(考慮到相對(duì)論因子γ)為：

Ω=eB0(z)/m0γ

(1)

其中，e、m0分別為電子電荷量及靜止質(zhì)量。

當(dāng)電子感受到的TE11模微波場(chǎng)頻率(考慮多普勒頻移)等于電子的回旋頻率時(shí)，電子將與橫向電場(chǎng)達(dá)到同步狀態(tài)：

ω-kzcβz-Ω=0或b0=γ(1-nβz)

(2)

其中：ω=2πf為微波場(chǎng)角頻率，f為微波場(chǎng)頻率；kz為z方向的波數(shù)；c為光速；βz為電子在z方向的歸一化速度；n為折射系數(shù)，n=kzc/ω；b0為歸一化的電子回旋頻率，b0=eB0(z)/m0ω。

由同步狀態(tài)下的式(2)可進(jìn)一步得到軸向靜態(tài)磁場(chǎng)的表達(dá)式：

(3)

電子做回旋運(yùn)動(dòng)的頻率為：

(4)

根據(jù)回旋自共振加速原理可知，在CARA中，選擇合適的軸向靜態(tài)磁場(chǎng)，保持電子與橫向電場(chǎng)的同步是使電子持續(xù)加速的關(guān)鍵。根據(jù)式(3)，磁場(chǎng)與折射系數(shù)、電子能量及電子軸向速度分量相互影響。此外，電子的狀態(tài)又受到微波場(chǎng)、電子注入能量等因素影響。因此采用迭代優(yōu)化方法對(duì)軸向背景磁場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化，保證電子束被持續(xù)加速。

在加速過(guò)程中，受橫向電場(chǎng)的作用，電子束橫向速度不斷增大。橫向速度與微波場(chǎng)的橫向磁場(chǎng)作用產(chǎn)生z方向的洛倫茲力，該洛倫茲力不做功，但是將電子的橫向速度轉(zhuǎn)移到軸向速度，因此電子的軸向速度也有所增加。軸向靜態(tài)磁場(chǎng)為滿足共振條件需沿軸向逐漸增大，由于磁鏡效應(yīng)，電子束在加速到閾值后將會(huì)無(wú)法穿越漸強(qiáng)的磁場(chǎng)而停止前行，并開(kāi)始返回入射端。此閾值為電子束在CARA中的理論能量上限，用相對(duì)論因子γmax[10]表示，經(jīng)過(guò)一定的簡(jiǎn)化，可近似為：

(5)

其中：n1為出口處的折射系數(shù)；γ0為電子注入時(shí)的相對(duì)論因子。

相應(yīng)表示成電子能量為：

Wmax=0.511(γmax-1)

(6)

其中，Wmax為相對(duì)論因子γmax對(duì)應(yīng)的最大能量。

式(5)表明電子束在CARA中的理論能量上限僅與相對(duì)論因子γ0及折射系數(shù)n1有關(guān)。電子注入能量越高，折射系數(shù)n1越接近于1，能量上限越高。但實(shí)際上，理論能量上限還受微波場(chǎng)強(qiáng)、波導(dǎo)長(zhǎng)度、軸向磁場(chǎng)等因素的影響。

2 仿真分析

電子在CARA中的理論能量上限受多種相互關(guān)聯(lián)的因素影響，難以給出清晰的解析表達(dá)。利用數(shù)值仿真，優(yōu)化電子注入能量、TE11模微波場(chǎng)強(qiáng)、波導(dǎo)長(zhǎng)度等參數(shù)。基于此，得到一個(gè)多因素的優(yōu)化組合，使得電子束輸出能量最大。

微波場(chǎng)強(qiáng)即為腔體中建立起的微波電場(chǎng)和磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，微波場(chǎng)強(qiáng)越強(qiáng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)也越強(qiáng)。由于加速場(chǎng)為電場(chǎng)，因此用電場(chǎng)峰值場(chǎng)強(qiáng)Epeak來(lái)表征微波場(chǎng)強(qiáng)。CARA的注入電子由常規(guī)的電子槍引出，其能量在10～500 keV之間[14]。CARA的輸出電子能量為2～4 MeV[15]，用于工業(yè)輻照。由于CARA目標(biāo)輸出能量不高，電子的注入能量在10～200 keV之間，TE11模微波場(chǎng)的電場(chǎng)峰值場(chǎng)強(qiáng)為1～20 MV/m，以保證加速器運(yùn)行的穩(wěn)定和安全。波導(dǎo)長(zhǎng)度沒(méi)有較為嚴(yán)格的取值范圍，要求給電子提供足夠的加速長(zhǎng)度使其輸出能量達(dá)到目標(biāo)，但同時(shí)也希望波導(dǎo)長(zhǎng)度不太長(zhǎng)。

利用三維電磁場(chǎng)仿真軟件CST建模并進(jìn)行粒子跟蹤仿真，自編程序進(jìn)行軸向靜態(tài)磁場(chǎng)迭代優(yōu)化及粒子跟蹤。波導(dǎo)腔為均勻圓柱形波導(dǎo)，其尺寸及CARA的相關(guān)參數(shù)列于表1。

表1 CARA的相關(guān)參數(shù)Table 1 Related parameter in CARA

2.1 注入能量對(duì)輸出電子束參數(shù)的影響

固定微波場(chǎng)強(qiáng)(Epeak=5 MV/m)及波導(dǎo)長(zhǎng)度(l=1.062 m)，在不同的電子注入能量W0下優(yōu)化同步磁場(chǎng)。相應(yīng)可得到準(zhǔn)同步狀態(tài)下電子束輸出能量W1、能量增益ΔW、初始軸向磁場(chǎng)B0、回旋圈數(shù)、渡越時(shí)間t、軸向速度增益Δvz、橫向速度增益ΔvT及γmax。注入能量對(duì)輸出電子束參數(shù)的影響列于表2。

表2 注入能量對(duì)輸出電子束參數(shù)的影響Table 2 Effect of injection energy on output parameter of electron beam

由表2知，Wmax隨電子注入能量遞增。但輸出電子的能量增量ΔW先增大后減小，表明加速效率在減小。初始軸向磁場(chǎng)B0、回旋圈數(shù)、渡越時(shí)間、橫向及軸向速度增益等參數(shù)隨電子注入能量的增加而減小。

由于磁鏡原理，當(dāng)電子穿越漸強(qiáng)的磁場(chǎng)時(shí)，軸向靜態(tài)磁場(chǎng)Bz的徑向分量Br會(huì)給電子帶來(lái)軸向減速力。因此電子注入能量W0越小，初始軸向速度vz越小，電子越容易反向，此時(shí)應(yīng)適量減小微波場(chǎng)強(qiáng)。當(dāng)電子注入能量W0較小時(shí)，由于微波場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)、波導(dǎo)長(zhǎng)度較長(zhǎng)，導(dǎo)致電子束與微波場(chǎng)失諧，電子能量先增后減，此時(shí)應(yīng)適量減小微波場(chǎng)強(qiáng)或減短波導(dǎo)長(zhǎng)度。當(dāng)電子束注入能量與微波場(chǎng)強(qiáng)、波導(dǎo)長(zhǎng)度較為匹配(W0=0.05 MeV)時(shí)，電子在加速過(guò)程中能量一直增大，且輸出能量與理論能量上限相符。當(dāng)W0持續(xù)增大時(shí)，ΔW反而減小。因?yàn)閃0越大，渡越時(shí)間越短，電子受加速電場(chǎng)力作用的時(shí)間越短。雖然增大W0能增大Wmax，但受加速梯度及渡越時(shí)間的限制，在微波場(chǎng)強(qiáng)及波導(dǎo)長(zhǎng)度不變的情況下，電子輸出能量W1并不隨W0增加。此時(shí)應(yīng)適當(dāng)調(diào)節(jié)微波場(chǎng)強(qiáng)或波導(dǎo)長(zhǎng)度以達(dá)到設(shè)計(jì)輸出能量。

2.2 微波場(chǎng)強(qiáng)對(duì)輸出電子束參數(shù)的影響

取電子束注入能量為0.1 MeV，波導(dǎo)長(zhǎng)度l=1.062 m，此時(shí)γmax=5.38(Wmax=2.24 MeV)，初始軸向磁場(chǎng)B0=0.056 T。微波場(chǎng)強(qiáng)的幅值為Epeak。電子束能量變化趨勢(shì)、能量增益ΔW、輸出能量W1、回旋圈數(shù)、渡越時(shí)間、軸向速度增益Δvz及橫向速度增益ΔvT的結(jié)果列于表3。

表3 微波場(chǎng)強(qiáng)對(duì)輸出電子束參數(shù)的影響Table 3 Effect of microwave amplitude on output parameter of electron beam

由表3知，當(dāng)微波場(chǎng)強(qiáng)較小時(shí)，電子輸出的能量隨加速電場(chǎng)幅度的增強(qiáng)而增加。當(dāng)微波場(chǎng)強(qiáng)超出一定的閾值后，電子與微波場(chǎng)逐步失諧，電子輸出能量變低。當(dāng)微波場(chǎng)強(qiáng)極大時(shí)，電子的橫向速度越大，磁鏡效應(yīng)較明顯，使電子反向。因此，適當(dāng)增大微波場(chǎng)強(qiáng)能加強(qiáng)加速梯度，使得電子束輸出能量增大(Epeak=7 MV/m時(shí)電子束輸出能量為2.03 MeV)。

2.3 波導(dǎo)長(zhǎng)度對(duì)輸出電子束參數(shù)的影響

由表3可知，電子束注入能量為0.1 MeV、Epeak=7 MV/m時(shí)電子束輸出能量最大。在此基礎(chǔ)上改變CARA加速腔波導(dǎo)長(zhǎng)度，并優(yōu)化軸向靜態(tài)磁場(chǎng)分布。電子束能量變化趨勢(shì)、能量增益ΔW、輸出能量W1、回旋圈數(shù)、渡越時(shí)間、軸向速度增益Δvz及橫向速度增益ΔvT的結(jié)果列于表4。

表4 波導(dǎo)長(zhǎng)度對(duì)輸出電子束參數(shù)的影響Table 4 Effect of waveguide length on output parameter of electron beam

表4表明，電子束注入能量及微波場(chǎng)強(qiáng)一定時(shí)，初始軸向磁場(chǎng)和回旋圈數(shù)不變，電子束的輸出能量隨波導(dǎo)長(zhǎng)度的增加而增長(zhǎng)，因?yàn)樵跍?zhǔn)同步情況下，渡越時(shí)間越長(zhǎng)，電子受到加速時(shí)間越長(zhǎng)。但波導(dǎo)長(zhǎng)度超過(guò)一定的閾值時(shí)，電子與微波場(chǎng)的失諧變大，直至最后減速。基于此參數(shù)，仿真得到的最大輸出能量約為3 MeV，略大于理論上限的近似值Wmax=2.24 MeV(γmax=5.38)。

2.4 電子束輸出能量的聯(lián)合優(yōu)化

以上仿真結(jié)果表明，電子束的輸出能量增量受電子束的注入能量、微波場(chǎng)強(qiáng)、波導(dǎo)長(zhǎng)度、軸向磁場(chǎng)等多個(gè)條件約束。為獲得最大輸出能量和較高的加速效率，需對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行合理的聯(lián)合優(yōu)化。選定電子束注入能量為0.1 MeV，首先逐漸增大微波場(chǎng)強(qiáng)并優(yōu)化軸向磁場(chǎng)，直至電子束輸出能量不再增長(zhǎng)，選定微波場(chǎng)強(qiáng)為7 MV/m；然后逐漸增大波導(dǎo)長(zhǎng)度并優(yōu)化軸向磁場(chǎng)，直至電子束輸出能量不再增長(zhǎng)，選定波導(dǎo)長(zhǎng)度為2.12 m。優(yōu)化后波導(dǎo)長(zhǎng)度、微波場(chǎng)強(qiáng)及電子束輸出能量結(jié)果列于表5。仿真優(yōu)化后的結(jié)果如圖1所示。

表5 聯(lián)合優(yōu)化后的參數(shù)Table 5 Jointly optimized parameter

由圖1a可見(jiàn)，軸向靜態(tài)磁場(chǎng)隨軸向距離先遞增，后不變。圖1b是某一時(shí)刻橫截面上的電場(chǎng)和電子分布，藍(lán)色實(shí)線為橫截面上的橫向電場(chǎng)分布，紅點(diǎn)為該時(shí)刻電子與橫向電場(chǎng)作用點(diǎn)，紅色虛線圓為電子軌跡。在準(zhǔn)同步加速過(guò)程中，電子與橫向電場(chǎng)在加速相位上，電子束在軸向靜態(tài)磁場(chǎng)的作用下與TE11模的橫向電場(chǎng)一起旋轉(zhuǎn)并獲得連續(xù)加速。圖1c表明在旋轉(zhuǎn)加速過(guò)程中，γ隨時(shí)間幾乎呈線性增長(zhǎng)。圖1d表明電子的軸向速度vz及橫向速度vT在加速過(guò)程中均增加，且橫向增量遠(yuǎn)大于軸向增量。圖1e表明電子軌跡呈螺旋狀前進(jìn)，回旋半徑逐漸增大，能量逐漸升高。

a——軸向靜態(tài)磁場(chǎng)分布；b——橫截面上TE11模電場(chǎng)與電子分布；c——γ隨時(shí)間的變化；d——vz及vT隨時(shí)間的變化；e——電子束三維軌跡圖1 仿真優(yōu)化的結(jié)果Fig.1 Optimized simulation result

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)CARA的理論分析和建模仿真，研究了加速器的輸出能量與相關(guān)參數(shù)的約束關(guān)系。結(jié)果顯示，CARA中的能量上限不僅與電子束注入能量及折射系數(shù)有關(guān)，還受波導(dǎo)長(zhǎng)度、微波場(chǎng)強(qiáng)及軸向靜態(tài)磁場(chǎng)的限制。當(dāng)電子與微波場(chǎng)處于準(zhǔn)同步狀態(tài)時(shí)，軸向磁場(chǎng)呈遞增趨勢(shì)，電子在軸向磁場(chǎng)的作用下與TE11模的橫向電場(chǎng)一起旋轉(zhuǎn)并獲得加速，且回旋半徑逐漸增大，能量近似線性增大，絕大部分微波能量通過(guò)TE11模式的橫向電場(chǎng)傳遞給了電子束的橫向分量。