汪正文

近日，筆者有幸參加了在宿遷中學(xué)舉行的江蘇省第十三屆中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高級論壇，并在活動中開設(shè)了一節(jié)題為“兩個計數(shù)原理”的主題展示課，受到與會專家的一致好評，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計及授課簡錄呈現(xiàn)給讀者，以期與同行交流.

一、教材背景分析

（一）教學(xué)內(nèi)容解析

計數(shù)是人類了解客觀世界的一種最基本的方法，是離散數(shù)學(xué)的重要組成部分.兩個計數(shù)原理是蘇教版選修2-3第一章第一節(jié)內(nèi)容，本節(jié)共安排2課時，本課為第1課時.它是我們學(xué)習(xí)排列、組合和二項式定理的理論基礎(chǔ)與依據(jù)，也是解決很多實際問題的重要工具，在本章中起作奠基性作用.

從認(rèn)知基礎(chǔ)的角度看，兩個計數(shù)原理實際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運算與乘法運算的拓展應(yīng)用，是體現(xiàn)加法與乘法運算相互轉(zhuǎn)化的典型例證.從思想方法的角度看，兩個計數(shù)原理的靈魂是轉(zhuǎn)化與劃歸思想、分類與整合思想和特殊與一般思想的具體化身.從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度看，以退為進，以簡馭繁，化繁為簡是理解和掌握兩個計數(shù)原理的關(guān)鍵.因此，本節(jié)課的主要任務(wù)是如何依托學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，總結(jié)得出兩個計數(shù)原理，能初步領(lǐng)會應(yīng)用原理解決計數(shù)問題的要領(lǐng)，在探究過程中感悟原理所蘊含的思想方法和探究問題的一般策略.

（二）學(xué)生學(xué)情分析

對計數(shù)問題，學(xué)生在不同的學(xué)段都有相應(yīng)的接觸，在必修2中學(xué)習(xí)“古典概型”時，突出了枚舉法或樹形圖在計數(shù)中的作用;在生活中，學(xué)生也不自覺地會使用“分類”和“分步”的方法來思考和解決問題，具備了一定的歸納、類比能力，這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)兩個計數(shù)原理的認(rèn)知基礎(chǔ).

原理雖然簡單樸素，但如何讓學(xué)生借助已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，抽象概括出兩個計數(shù)原理，并領(lǐng)悟其中重要的數(shù)學(xué)思想方法，實現(xiàn)認(rèn)知的飛躍，則是本節(jié)課須突破的難點.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）準(zhǔn)確理解分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，并能說出它們的聯(lián)系與區(qū)別;

（2）能準(zhǔn)確地選擇兩個原理解決一些簡單的實際問題;

（3）通過歷經(jīng)兩個計數(shù)原理的發(fā)現(xiàn)和探索過程，讓學(xué)生領(lǐng)悟運用兩個原理所包含的劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊到一般的思想方法以及以退為進的思維策略.

三、教學(xué)策略分析

本節(jié)課是概念原理課教學(xué)的典范，擬定采取以退為進的教學(xué)策略，采用“創(chuàng)設(shè)情境→問題導(dǎo)引→實例探究→抽象概括→辨析提升→原理應(yīng)用→反思升華”的探究式教學(xué)法，緊緊圍繞如何抽象、如何概括、歸納和怎樣應(yīng)用等問題展開.

四、教學(xué)設(shè)計與簡錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境揭示主題

播放兒歌《數(shù)鴨子》片段，門前大橋下，游過一群鴨，快來快來數(shù)一數(shù)，二四六七八，哎呀哎呀真呀真多呀，數(shù)不清到底多少鴨，數(shù)不清到底多少鴨！

教師：同學(xué)們，剛才我們聽的這首兒歌名叫《數(shù)鴨子》，你能說出歌詞向我們呈現(xiàn)了怎樣的

數(shù)學(xué)問題？

眾生：數(shù)數(shù)問題.

教師：對，計數(shù)問題.對數(shù)多少只鴨子，我們可以采用枚舉法予以計數(shù).原始人就會利用結(jié)繩來計數(shù)，我國早在宋代就出現(xiàn)了用算盤計數(shù)，計數(shù)問題在我們學(xué)習(xí)生活中隨處可見，它也是我們學(xué)習(xí)排列、組合、概率、統(tǒng)計的基礎(chǔ).下面讓我們來看這樣的一個計數(shù)問題.

【設(shè)計意圖】以一首熟悉的兒歌開始，輕松活潑引入話題.同時也說明總數(shù)不大時，我們可以采用枚舉法計數(shù).簡短的幾句話，把學(xué)生帶進一個嶄新的數(shù)學(xué)世界，激發(fā)學(xué)生的求知欲望—到底如何計數(shù)？概率、統(tǒng)計到底學(xué)什么？

（二）問題導(dǎo)引設(shè)置懸念

引例2014年宿遷地區(qū)私家車的保有量為33.62萬輛，隨著經(jīng)濟的發(fā)展，到2020年，私家車的保有量將達(dá)到60萬輛，交管部門現(xiàn)推出新的個性化牌號的規(guī)則：

（1）①號位必須選擇英文字母，③號位為文字母或阿拉伯?dāng)?shù)字，其余三位均為阿拉伯?dāng)?shù)字;

（2）英文字母不得選用I、O、Q.

試問，到2020年這樣的個性化牌號的容量能否滿足要求？

教師：這個問題你還能一一列舉嗎？

眾生：不能.

教師：為什么？

生1：數(shù)目太大.

教師：對，對大數(shù)的計數(shù)問題，枚舉法就顯得力不從心，此時就迫切需要我們探索一種新的

計數(shù)方法——這就是我們今天所要研究的內(nèi)容——兩個計數(shù)原理.

【設(shè)計意圖】通過生活中的學(xué)生熟悉實際問題切入，將學(xué)生的思維帶入悱憤狀態(tài)，提高了學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性，同時也突出了學(xué)習(xí)本節(jié)課的必要性.

（三）實例探究提煉本質(zhì)

實例探究1

師：下面我們先來從兩個簡單的問題著手探究.

問題1 （1）（我的老家在安慶，國慶節(jié)期間，我回家探親）已知從鎮(zhèn)江到安慶直達(dá)火車每天有4列，直達(dá)汽車每天有3班，試問我要從鎮(zhèn)江到安慶，有多少種不同的直達(dá)方法？

（2）節(jié)目主持候選人中有4名男同學(xué)，8名女同學(xué)，若從中選一人主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？師：（讓學(xué)生思考片刻）你的答案是多少？又是怎么想的？

生2：有7種直達(dá)方法，因為火車和汽車班次之和為7，從中任選一個車次即可.

教師：還有其他解釋嗎？

生3：乘車方式有兩種方案，若選火車，則有4種，若選汽車，則有3種，所以總的乘車方法數(shù)共有4+3=7種.

教師：說得非常好，我乘車回家有兩類辦法，第1類辦法，乘火車有4種方法;第2類辦法，乘汽車有3種方法，所以總的方法數(shù)為這兩類辦法數(shù)之和.（追問）我若選乘了火車，還可以選乘汽車嗎？為什么？

生3：不能，因為你任選一種方法都可以回家.

教師：對，我沒有分身之術(shù)，任何一種方法都可以一次性完成這件事，并且兩類辦法不可同時選擇，它們之間是相互排斥的，那么請你類比剛才的分析，說說你對問題（2）的理解.

生4：選一名主持人，有兩種方案，若選男生則有4種，若選女生有8種選法，所以總的方法數(shù)為這兩類的方法數(shù)之和4+8=12種.

教師：很好，掌聲！

【設(shè)計意圖】問題背景貼近生活，其重要性不在于問題本身，而在于問題蘊含的“分類，加法”的一般性道理.所以，教學(xué)中教師的問法要有導(dǎo)向性，在師生對話中，要讓學(xué)生感受到這個問題的共性及所蘊含的“分類，加法”的本質(zhì).

問題2：討論問題1的（1）與（2）有何共性？

（小組討論2分鐘，代表交流，組員補充，教師總結(jié)，注意：要扣住“兩類，一步到位，類類互斥和加法”來分析.教師提示：這兩個問題的具體情境雖然不同，但都是在完成一件事.）

共性：（1）都是計算完成一件事情方法種數(shù);

（2）完成這件事情都有兩類辦法，每類辦法都可一次完成（一步到位）且類類互斥;

（3）總的方法種數(shù)為各類辦法數(shù)之和.

【設(shè)計意圖】通過自主思考、小組討論和相互交流和補充，在教師的引導(dǎo)下，總結(jié)出問題的共性本質(zhì)，為理解和歸納原理做鋪墊.

問題3：從鎮(zhèn)江到安慶，若未來每天還增開2個班次的直飛航班，我若回家又有多少種不同的直達(dá)方式？

生5：有三類回家方式，第1類，乘火車有4種;第2類，乘汽車有3種;第3類，乘飛機有2種，所以直達(dá)方式共有9種.

教師：也就是總的方法數(shù)為三類辦法數(shù)之和.

實例探究2

問題4：（1）從鎮(zhèn)江到安慶，我若先從鎮(zhèn)江乘火車到合肥，再于次日從合肥坐汽車到安慶.

一天中，火車有4班，汽車有3班，那么兩天中，從鎮(zhèn)江到安慶共有多少種不同的乘車方式？

（2）節(jié)目主持候選人中有4名男同學(xué)，8名女同學(xué)，現(xiàn)從男女同學(xué)中各選一名來共同主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？

教師：說說你對問題（1）的看法.

生6：4×3=12種.

教師：你又是怎么想的？

生6：如果乘火車1，則汽車就有3種乘法，同樣乘火車2、3、4，汽車都有3種乘法，所以就是3+3+3+3=4×3=12種.

教師：他是將火車分為四類，每一類都有3種乘汽車方法，由分類計數(shù)原理知共有3+3+3+3，再將加法優(yōu)化運算后寫為4×3=12種，說得非常好.（追問）這件事可以一次性完成嗎？

生7：不可以，需要分兩步完成，第1步先從鎮(zhèn)江到合肥，第2步再從合肥到安慶.

教師：那寫成4×3后，4和3分別表示什么？

生7：4和3分別表示完成第1步和第2步的方法數(shù).

教師：也就是說，完成這件事情的方法總數(shù)為完成這兩步的方法數(shù)之積，哪一種寫法更簡便呢？

生7：后一種，乘法.

教師：問題5的問（1）與問題1的問（1）在完成這件事情的方式上有何不同？

生7：問題1只需要一步就可以完成，而問題5需要分兩步才能完成，少一步都不行.

教師：對，缺一不可，還有不同嗎？

生8：問題1是兩類辦法數(shù)之和，而問題5是完成兩步的辦法數(shù)之積，而且完成第1步的方法和第2步的方法之間是不相互排斥的.

教師：說得太好了（掌聲）！我們把步與步之間不相互排斥稱之為“步步獨立”，請類比問題5的（1），說說你對（2）的理解.

生8：要完成選主持人，要分兩步完成，第1步選男生，有4種選法;第2步選女生，有8種選法，則總的選法數(shù)為兩步方法數(shù)之積4×8=32種.

【設(shè)計意圖】一方面，通過類比分類計數(shù)原理，讓學(xué)生歸納出分步計數(shù)原理，既起到溫故知新的作用，又達(dá)到提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力;另一方面，從加法原理過渡到乘法原理，體現(xiàn)了兩個原理間的內(nèi)在聯(lián)系，最后落腳點在“分步，乘法”這兩個特征上，有利于新原理的主動建構(gòu).

五、反 思

有效教學(xué)，是指在師生雙方的教學(xué)活動中，通過運用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，使學(xué)生的基礎(chǔ)性學(xué)力、發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力得到很好的發(fā)展.學(xué)生的進步和發(fā)展是衡量課堂教學(xué)有效性的唯一尺度.

（一）“熟悉學(xué)情”是數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的前提

奧蘇貝爾的經(jīng)典名言：“將全部教育心理學(xué)一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素：學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么.”教學(xué)內(nèi)容必須緊扣教學(xué)目標(biāo)、適合學(xué)生的認(rèn)知水平，靠近他們的最近發(fā)展區(qū)，教學(xué)才能引起學(xué)生廣泛的聯(lián)想和認(rèn)知沖突，在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，體驗數(shù)學(xué)知識形成與發(fā)展.

（二）“以生為本”是數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的核心

要相信：我們的學(xué)生能學(xué)習(xí)、能自主學(xué)習(xí)、還能幫你教學(xué).教師應(yīng)學(xué)做一名智慧的聽眾，教學(xué)中適當(dāng)轉(zhuǎn)化思維，促學(xué)生開口講;通過真誠傾聽，讓學(xué)生講清楚;適時點撥，助學(xué)生講明白.將第一思考時間還給學(xué)生;將第一表達(dá)機會還給學(xué)生;將第一體驗過程還給學(xué)生;將第一認(rèn)知反思還給學(xué)生.

【參考文獻(xiàn)】

[1]崔允漷.有效教學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社出版，2009.