曾 凱， 陳宏堃，沈劍云， 吳 賢， 魯 浪

(華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院, 福建 廈門 361021)

在光學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)用非球面元件，可以增加光學(xué)設(shè)計(jì)自由度，修正像差，改善系統(tǒng)成像質(zhì)量，極大減小光學(xué)系統(tǒng)的外形尺寸和質(zhì)量[1]?；诖?，非球面光學(xué)元件在中小型民用光學(xué)產(chǎn)品上應(yīng)用越來(lái)越普及，如各種日用高品質(zhì)照相機(jī)、刻錄機(jī)光頭、光學(xué)顯微鏡以及顯示投影儀等設(shè)備中都可見(jiàn)非球面鏡的身影[2-3]。

近年來(lái)，非球面光學(xué)元件的加工技術(shù)有了顯著的發(fā)展，其加工方法主要有：數(shù)控研磨拋光技術(shù)、單點(diǎn)金剛石車削技術(shù)、離子束加工、模壓成型等，不同的加工方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)[4-5]。使用數(shù)控研磨拋光技術(shù)加工非球面鏡時(shí)，通常會(huì)先加工出非球面光學(xué)元件最接近球面的一面，然后再按照該面磨削出球面，最后通過(guò)研磨和拋光加工出符合要求的非球面；但這種方法耗時(shí)太長(zhǎng)，生產(chǎn)效率較低[6]。單點(diǎn)金剛石車削技術(shù)主要用于有色金屬材料如硬鋁、黃銅、無(wú)氧銅等的典型零件的切削，在切削過(guò)程中易發(fā)生刀具偏置，往往需要配上在線檢測(cè)設(shè)備才能獲得理想的非球面精度[7]。離子束加工雖然可以獲得精度較好的非球面，但加工設(shè)備和成本較高，且加工設(shè)備不具有通用性，因而限制了它的推廣使用[8-9]。模壓技術(shù)主要用來(lái)批量制備微小型的非球面透鏡，但該技術(shù)對(duì)金屬模具的精度要求很高[10-11]。因此，日用中小型非球面鏡的高效、低成本加工技術(shù)仍然在不斷的探索和研究之中。

目前，為了縮短非球面透鏡的加工周期，人們開始采用直接磨削的方法，即在磨削階段直接加工出符合非球面方程的非球面透鏡，該方法因加工效率高、經(jīng)濟(jì)性好已經(jīng)逐漸被廣泛使用[12]。為此，以K9光學(xué)玻璃為研究對(duì)象，結(jié)合工程實(shí)踐對(duì)K9高次軸對(duì)稱非球面進(jìn)行快速磨削加工，探究不同加工路徑對(duì)非球面磨削加工的影響；檢測(cè)不同路徑下的K9非球面法向輪廓度誤差；根據(jù)法向輪廓度誤差相關(guān)規(guī)律，提出一種改變最大有效切削半徑的補(bǔ)償方法，以獲得更高精度的非球面表面輪廓。

1 軸對(duì)稱非球面理論描述

光學(xué)系統(tǒng)中，球面透鏡聚焦時(shí)存在球面像差，使光線無(wú)法聚焦于一點(diǎn)而影響成像。而非球面透鏡的面型由一系列函數(shù)控制，球面各點(diǎn)的曲率不同，因此可以修正球面像差，將光線聚集于一點(diǎn)。在光學(xué)系統(tǒng)中，通常用多個(gè)球面透鏡組合以消除球面像差，但使用非球面透鏡則可以替代多個(gè)球面透鏡，減少透鏡數(shù)量，簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，而達(dá)到同樣的成像效果。

軸對(duì)稱非球面最常見(jiàn)的是以二次方程或高次方程曲線為母線，繞自身的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)表面。軸對(duì)稱非球面方程的描述形式有多種，國(guó)際上通用的軸對(duì)稱非球面母線函數(shù)方程[13]為：

(1)

式中：z(x)表示入射光線在非球面上與頂點(diǎn)之間的高度；x表示對(duì)應(yīng)的入射光線在非球面上與旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸Z的距離；c為非球面曲線頂點(diǎn)曲率；k為非球面曲線二次項(xiàng)系數(shù)(k=-e2，e表示離心率)；Ai為曲線高次項(xiàng)系數(shù)，xi表示曲線高次項(xiàng)，n為最高次項(xiàng)指數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，e2<0時(shí)，非球面的面型是以短軸為對(duì)稱軸的橢圓球面；e2=1時(shí),非球面為拋物面；e2=0時(shí)，非球面則為球面；當(dāng)01時(shí)，非球面則為雙曲面。常見(jiàn)的二次曲面類型如圖1所示，圖1中的非球面的曲面性質(zhì)隨著曲線二次項(xiàng)系數(shù)的變化而變化。

圖1 常見(jiàn)二次曲面類型

2 非球面加工實(shí)驗(yàn)條件與方案

2.1 實(shí)驗(yàn)條件

軸對(duì)稱非球面銑磨加工在三軸數(shù)控加工中心上進(jìn)行，該機(jī)床加工精度可達(dá)1 μm，銑磨加工條件如表1所示。其加工原理是以銑磨頭代替銑刀，利用磨頭上的微細(xì)金剛石磨粒進(jìn)行磨削加工，實(shí)驗(yàn)用銑磨磨頭為市售電鍍金剛石磨頭。

表1 軸對(duì)稱非球面銑磨加工條件Tab. 1 Conditions of axisymmetric aspheric grinding

2.2 工件銑磨參數(shù)設(shè)定

在進(jìn)行非球面快速成型銑磨時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同工序選擇不同的加工參數(shù)。一般地，加工工序不同磨頭選用的磨料粒度也不同，而加工工序又可分為粗磨和精磨2個(gè)階段。為使非球面達(dá)到更高精度，本實(shí)驗(yàn)擬將銑磨工藝流程分為粗磨、半精磨、精磨3個(gè)階段。非球面粗磨是為了快速去除工件材料的加工余量，提高后續(xù)加工的效率，因而使用粒度代號(hào)80/100的平頭電鍍金剛石磨頭；半精磨和精磨則是依次修整粗磨后的非球面面型精度，分別使用粒度代號(hào)為170/200和325/400的半圓頭電鍍金剛石磨頭(表1所示)。非球面銑磨參數(shù)如表2所示。

表2 非球面銑磨工藝參數(shù)Tab. 2 Aspheric milling process parameters

2.3 工件加工軌跡確定

在本實(shí)驗(yàn)實(shí)例中，所加工的非球面為φ48 mm的高次軸對(duì)稱非球面，其非球面曲線方程由工廠設(shè)計(jì)，具體參數(shù)為：c=0.048 30，k=-1，四次項(xiàng)系數(shù)A4=-1.361×10-6，六次項(xiàng)系數(shù)A6=-5.082×10-9，其余系數(shù)均為0。三軸數(shù)控銑床加工該非球面時(shí)，由于數(shù)控程序復(fù)雜，因此直接使用PowerMill軟件自動(dòng)生成所需加工程序。建立好如圖2所示的非球面模型后，需要給表2的加工工藝參數(shù)設(shè)置刀具軌跡。其中，粗加工刀具路徑選擇為模型區(qū)域清除；半精加工刀具路徑選擇為平行精加工；同時(shí)為了更好地分析統(tǒng)計(jì)誤差，方便后續(xù)的補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)加工，綜合考慮之后，在精加工時(shí)選用平行精加工和等高精加工2種不同的精加工軌跡進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其生成的相應(yīng)加工軌跡如圖3所示。

圖2 非球面模型

(a)平行精加工軌跡(b)等高精加工軌跡Parallel finishing trajectoryContour finishing trajectory圖3 精加工軌跡Fig. 3 Finishing trajectory

加工程序和軌跡確定后進(jìn)行實(shí)際加工，銑磨加工實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖4所示。其中，測(cè)力儀的用途是輔助定心，并提高對(duì)刀精度。

圖4 軸對(duì)稱K9非球面銑磨工作圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

3.1 非球面銑磨的法向輪廓度誤差

依照表2的工藝參數(shù)，在三軸數(shù)控加工中心上對(duì)K9光學(xué)玻璃進(jìn)行非球面銑磨加工。在完成K9玻璃的粗磨和半精磨后，精磨選取圖3所示的2種不同方式。精加工完成后，2種精加工的非球面實(shí)物如圖5所示。

圖5 加工的非球面實(shí)物

精加工后的非球面需要進(jìn)行面型精度檢測(cè)，其檢測(cè)方法分在線檢測(cè)和離線檢測(cè)2種，且兩者都是通過(guò)誤差補(bǔ)償來(lái)達(dá)到減小誤差的目的。由于非球面在線檢測(cè)成本較高，難度較大，因此采用型號(hào)為ridge-Global-Status-7.7的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(最大誤差2 μm)、按照ISO10360-2標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢測(cè)。由于三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果是非球面的理論坐標(biāo)值和實(shí)際坐標(biāo)值，以及與之對(duì)應(yīng)的沿X、Y、Z方向的誤差，并不能反映非球面的真實(shí)法向輪廓度誤差，所以需要通過(guò)計(jì)算來(lái)獲取非球面不同接觸點(diǎn)的法向輪廓度誤差。

非球面三維示意圖及二維誤差放大圖如圖6所示。要計(jì)算非球面不同接觸點(diǎn)的法向輪廓度誤差，就是要計(jì)算圖6b中的T值(即圖6b中AC線段的長(zhǎng)度)。

(a)非球面三維示意圖

(b)非球面二維誤差放大示意圖

以圖6a的測(cè)量點(diǎn)A為例來(lái)分析非球面的法向輪廓度誤差。假設(shè)測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x,y,z)，則同一高度下相應(yīng)的理論坐標(biāo)值為B(x1,y1,z1)，將A點(diǎn)坐標(biāo)投影到XOY平面，則相應(yīng)的A′O的實(shí)際和理論長(zhǎng)度分別為：

(2)

圖6a中正視平面OA′A所在的坐標(biāo)系為X′OZ，則在非球面坐標(biāo)系中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為圖6a中A′O的長(zhǎng)度L，而圖6b中的A點(diǎn)和B點(diǎn)分別為三坐標(biāo)測(cè)量的實(shí)際點(diǎn)和理論點(diǎn)，其相應(yīng)的非球面半徑偏差為：

E=L實(shí)際-L理論

(3)

對(duì)非球面函數(shù)方程(1)進(jìn)行一次求導(dǎo)，可以計(jì)算出非球面任意點(diǎn)處的切線斜率：

(4)

由于非球面的法向輪廓度誤差T的長(zhǎng)度是微米級(jí)別的，因而可將圖6b的弧線BC近似看作直線，即是非球面理論曲線在C點(diǎn)的切線段，而AC為非球面實(shí)測(cè)曲線在C點(diǎn)的法線段，且AC⊥BC，則由三角形幾何關(guān)系可得：

(5)

于是有：

(6)

在本次實(shí)驗(yàn)中，二次項(xiàng)系數(shù)k= -1，代入式(6)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：

(7)

而圖6b中，非球面各點(diǎn)的法向輪廓度誤差T有：

T=E×sinα

(8)

因此，通過(guò)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)可以測(cè)量非球面任意點(diǎn)的坐標(biāo)值，進(jìn)而通過(guò)式(3)得到任意點(diǎn)的E值，再通過(guò)式(7)計(jì)算出任意點(diǎn)的α值，最后由式(8)計(jì)算出任意點(diǎn)的法向輪廓度誤差T。

圖6b中的高度H為非球面任意點(diǎn)在Z軸方向上與頂點(diǎn)的距離。在計(jì)算出精加工后非球面的法向輪廓度誤差后，整理數(shù)據(jù)可得不同高度H下對(duì)應(yīng)的非球面法向輪廓度誤差，如圖7所示。

圖7 不同高度下的非球面輪廓度誤差

通過(guò)圖7數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：2種精加工方式下，高度H增加，非球面的法向輪廓度誤差T都會(huì)逐漸增加；相較于平行精加工，等高精加工條件下的上升趨勢(shì)更明顯，即平行精加工條件下加工的非球面法向輪廓度誤差比等高精加工條件下的要低。在檢測(cè)中，評(píng)定非球面面型精度的參數(shù)有2個(gè)：一是最大輪廓度偏差PV，定義為法向輪廓度誤差T最大值和最小值的差值；二是誤差平均值RMS，定義為輪廓度誤差T的平均值。將數(shù)據(jù)進(jìn)一步整理，可得平行精加工條件下的非球面最大輪廓度偏差PV為54.48 μm，誤差平均值RMS為22.88 μm；等高精加工條件下的PV為98.46 μm，RMS為28.88 μm。這一結(jié)果與圖7的結(jié)論相符，即平行精加工條件下的非球面面型精度要比等高精加工條件下的非球面面型精度更高。

3.2 非球面加工中不同接觸點(diǎn)的切削線速度

如前所述，選取的精加工路徑不同，都會(huì)出現(xiàn)輪廓度偏差T隨高度H增大而增大的規(guī)律。這是由于用表2的參數(shù)銑磨加工非球面，雖然每次刀具的下切深度ap、主軸轉(zhuǎn)速n及進(jìn)給速度vw均保持恒定，但加工過(guò)程中工件的不同接觸點(diǎn)的有效切削半徑不同，其對(duì)應(yīng)的線速度不同造成的。已有的研究表明[11]：在微切削加工非球面光學(xué)玻璃中，隨著砂輪相對(duì)線速度的增大，非球面切削的表面質(zhì)量降低，且在相對(duì)線速度增大的位置，產(chǎn)生大量的脆性崩碎。因此，由于加工中不同接觸點(diǎn)的切削線速度不同，有效切削半徑不同，可能使三軸數(shù)控加工的自由曲面產(chǎn)生誤差。

如圖6b所示：當(dāng)?shù)毒呒庸ぶ恋队|點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)的刀位點(diǎn)為O′，兩點(diǎn)的連線與刀具主軸軸線的夾角為θ，CD與刀具主軸軸線垂直于點(diǎn)D，O′D的長(zhǎng)度等于刀觸點(diǎn)C與刀位點(diǎn)O′的軸向距離，將其定義為刀位。若球磨頭的半徑O′C=r，有效切削半徑CD=r1，刀位O′D=h，接觸點(diǎn)C的有效切削線速度為vc，則加工過(guò)程中任意接觸點(diǎn)的刀具有效切削半徑r1、刀位h、線速度vc與夾角θ的函數(shù)關(guān)系如下：

r1=r×sinθ

(9)

h=r1×cotθ

(10)

vc=2πr1n=2πrn×sinθ

(11)

由于圖6b中AB與CD平行，所以ΔABC與ΔCO′D相似，α與θ值相等。因此，由式(7)和(11)得到不同接觸點(diǎn)的線速度為：

(12)

由式(12)明顯看出：在球磨頭半徑r一定的情況下，加工過(guò)程中接觸點(diǎn)的有效切削線速度隨接觸點(diǎn)有效切削半徑增大而增大，且隨x的增大而增大。

根據(jù)非球面母線函數(shù)方程(1)和式(12)，可以求得距離非球面頂點(diǎn)高度H的原始接觸點(diǎn)的有效切削線速度vc，結(jié)果如表3所示。表3表明：有效切削線速度隨高度H的增大而逐漸增大；且加工非球面工件底部(H=12.0 μm)時(shí)的線速度比加工非球面頂端(H=0.3 μm)時(shí)的增大約3.76 m/s。

表3 原始接觸點(diǎn)的線速度Tab. 3 Linear velocity of original contact point

3.3 非球面加工中磨頭的輪廓優(yōu)化

如前所述，磨頭的有效切削半徑改變可以對(duì)非球面輪廓度誤差產(chǎn)生影響。因此，通過(guò)優(yōu)化磨頭輪廓，對(duì)磨頭接觸點(diǎn)的有效切削半徑進(jìn)行補(bǔ)償，可以改變非球面的輪廓度誤差。優(yōu)化磨頭輪廓的步驟如下：首先確定標(biāo)準(zhǔn)磨頭的有效切削半徑r1與非球面輪廓度誤差T的函數(shù)關(guān)系，再將該結(jié)果應(yīng)用于磨頭輪廓的優(yōu)化補(bǔ)償。

圖8為非球面輪廓度誤差與有效切削半徑之間的關(guān)系。如圖8所示，從三坐標(biāo)測(cè)量得到的非球面數(shù)據(jù)提取標(biāo)準(zhǔn)磨頭有效切削半徑r1與非球面輪廓度誤差T數(shù)據(jù)，離散處理后的線性擬合曲線為：

圖8 非球面輪廓度誤差與有效切削半徑之間的關(guān)系 Fig. 8 Relation of profile error of aspheric surface varied with effective cutting radii

(13)

擬合曲線(13)的相關(guān)系數(shù)R2=0.9828，表明該曲線擬合良好。對(duì)式(13)求導(dǎo)，得到：

(14)

式(14)中的導(dǎo)數(shù)反映了非球面輪廓度誤差隨銑磨刀具有效切削半徑變化的變化率大小，即曲線變化幅度的大小。

在補(bǔ)償磨頭有效切削半徑之前，首先應(yīng)確立一個(gè)合適的最大切削半徑。如圖8所示：曲線從有效切削半徑1.2～1.5 mm處開始快速上升，說(shuō)明其非球面輪廓度誤差隨有效切削半徑變化的幅度逐漸增大。對(duì)非球面三坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，可以得到刀具的有效切削半徑為1.2、1.3、1.4、1.5和1.6 mm條件下的非球面輪廓度誤差，如圖9所示。

圖9 不同有效切削半徑下的非球面輪廓度誤差

由圖8和圖9可以看出：當(dāng)有效切削半徑大于1.6 mm時(shí)，非球面輪廓度誤差明顯大幅度上升，同時(shí)非球面輪廓度誤差隨有效切削半徑變化的幅度快速增大。因此，為減小非球面的輪廓度誤差，磨頭的最大有效切削半徑宜控制在1.6 mm以下。

根據(jù)非球面輪廓度誤差隨銑磨刀具有效切削半徑變化率的大小，相應(yīng)確定銑磨刀具不同位置所對(duì)應(yīng)的有效切削半徑，建立以刀位點(diǎn)為原點(diǎn)，有效切削半徑r1為橫坐標(biāo)，刀位h為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系，通過(guò)擬合得到優(yōu)化設(shè)計(jì)的球磨頭輪廓圖10。圖10給出了最大有效切削半徑分別為1.2、1.3、1.4和1.5 mm時(shí)的球型磨頭以及半徑為3.0 mm的標(biāo)準(zhǔn)球型磨頭輪廓曲線。

圖10 不同有效切削半徑的球磨頭輪廓曲線

由圖10可以看出：當(dāng)最大有效切削半徑小于1.5 mm時(shí)，刀具輪廓出現(xiàn)了向內(nèi)凹陷的褶皺現(xiàn)象，如圖10中的放大部分顯示了最大有效切削半徑1.3 mm時(shí)的球型磨頭輪廓曲線褶皺部分，當(dāng)?shù)队|點(diǎn)在褶皺的凹陷處時(shí)，刀具對(duì)工件的切削由外切轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)切，在加工時(shí)會(huì)出現(xiàn)過(guò)切現(xiàn)象。因此，磨頭實(shí)際的最大有效切削半徑最終考慮選擇為1.5 mm，擬合的磨頭輪廓曲線方程為：

(15)

3.4 非球面加工中磨頭有效切削半徑補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

對(duì)銑磨刀具進(jìn)行相應(yīng)的有效半徑補(bǔ)償優(yōu)化，制備最大有效切削半徑為1.5 mm的金剛石磨頭；使用優(yōu)化的磨頭、按表2的精磨工藝參數(shù)對(duì)半精磨加工后的非球面工件用平行精加工路徑進(jìn)行精加工，使用三坐標(biāo)測(cè)量非球面的坐標(biāo)點(diǎn)，并計(jì)算出非球面的輪廓度誤差。

將實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)整理可得：選用優(yōu)化后最大切削半徑為1.5 mm的金剛石磨頭對(duì)K9光學(xué)玻璃進(jìn)行非球面精加工，刀具路徑選用平行精加工，用三坐標(biāo)測(cè)量并計(jì)算得出玻璃加工后的最大輪廓度誤差PV為44.52 μm，均方根RMS值為7.37 μm；而用半徑3.0 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓頭金剛石磨頭平行精加工K9光學(xué)玻璃非球面,其最大輪廓度偏差PV值為54 .48 μm，均方根RMS值為22.88 μm。因此，前者加工后的非球面面形精度較后者加工的精度顯著改善，證明磨頭有效半徑補(bǔ)償優(yōu)化可以有效提高其加工面型精度。

4 結(jié)論

研究了軸對(duì)稱非球面K9光學(xué)玻璃的銑磨補(bǔ)償加工，用PowerMill軟件控制三軸數(shù)控銑床，分別選用平行精加工和等高精加工2種刀具路徑完成非球面的精加工，通過(guò)三坐標(biāo)檢測(cè)值計(jì)算求得非球面的法向輪廓度誤差，得出如下結(jié)論：

(1)平行精加工路徑和等高精加工路徑的非球面最大輪廓度偏差PV分別為54.48 μm和98.46 μm，誤差平均值RMS分別為22.88 μm和28.88 μm，即平行精加工條件下加工的非球面面型精度比等高精加工條件下加工的高；且隨著加工過(guò)程中金剛石磨頭與工件的接觸點(diǎn)變化，非球面的輪廓度誤差隨非球面的高度呈現(xiàn)規(guī)律性的變化。

(2)對(duì)磨頭輪廓度誤差變化規(guī)律提出一種優(yōu)化其有效切削半徑的誤差補(bǔ)償方式。用優(yōu)化后最大切削半徑1.5 mm的磨頭平行精加工K9光學(xué)玻璃非球面，其最大輪廓度誤差PV為44.52 μm、均方根RMS值為7.37 μm，較切削半徑3.0 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓頭磨頭的平行精加工PV值54.48 μm下降了18.28%，RMS值22.88 μm下降了67.79%。因此，在三軸數(shù)控銑磨加工非球面過(guò)程中，選用有效切削半徑補(bǔ)償優(yōu)化的磨頭進(jìn)行平行精加工軸對(duì)稱非球面，可以有效減小其誤差并提高其面型精度。