吉軒廷，朱振剛

(1 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院，北京 100049； 2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)電子電氣與通信工程學(xué)院，北京 100049)

外爾(Weyl)半金屬[1-2]在提出和發(fā)現(xiàn)后，迅速成為研究熱點(diǎn)。最近，除已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到的用來(lái)體現(xiàn)手征反常的負(fù)磁阻效應(yīng)外[3]，實(shí)驗(yàn)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，通過(guò)測(cè)量外爾半金屬的熱磁電導(dǎo)，可以證實(shí)外爾半金屬中存在著引力反常[4]。這無(wú)疑給反常理論的研究提供了巨大支持。

外爾半金屬是由3+1維的外爾理論來(lái)描述的，因此，它是采用2+1維的狄拉克(Dirac)理論所描述的石墨烯的三維類似物。石墨烯在傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理中有著廣泛的研究，這些研究大部分集中于弱相互作用下。而理論預(yù)言，當(dāng)石墨烯接近電中性時(shí)，可以形成強(qiáng)相互作用的等離子體，即狄拉克流體[5-6]。最近一些實(shí)驗(yàn)表明，在石墨烯中確實(shí)存在狄拉克流體[7-8]，人們可以采用相對(duì)論性流體理論方法對(duì)相應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行研究，例如Lucas等的工作[9-10]。而在外爾半金屬中，當(dāng)費(fèi)米能靠近外爾點(diǎn)時(shí)，在具有反常誘導(dǎo)的輸運(yùn)性質(zhì)的同時(shí)，外爾半金屬也會(huì)表現(xiàn)出與石墨烯中類似的流體行為，相關(guān)流體方法的理論研究見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

當(dāng)系統(tǒng)處于強(qiáng)相互作用時(shí)，微擾方法不再適用，除流體方法外，人們還可以通過(guò)規(guī)范引力對(duì)偶(AdS/CFT)對(duì)強(qiáng)相互作用進(jìn)行研究。在AdS/CFT方面，最近構(gòu)建的一個(gè)外爾半金屬模型[12]引起廣泛關(guān)注，基于該模型，人們研究了很多輸運(yùn)性質(zhì)諸如負(fù)磁阻效應(yīng)[13]，奇剪切黏度[14]，淬火[15]，軸霍爾效應(yīng)[16]，交流電導(dǎo)[17]以及外爾半金屬的表面態(tài)[18]等。

前面提到的這些效應(yīng)均為耗散輸運(yùn)，而在帶電相對(duì)論性流體中，還存在一些非耗散輸運(yùn)現(xiàn)象[19]，即在帶電相對(duì)論性流體中，磁場(chǎng)會(huì)誘導(dǎo)出電流，通過(guò)手征磁電導(dǎo)反映；此外，流體中的渦旋也會(huì)誘導(dǎo)出電流，相應(yīng)的電導(dǎo)被稱為手征渦旋電導(dǎo)，這兩種效應(yīng)被稱為手征磁效應(yīng)和手征渦旋效應(yīng)。手征磁效應(yīng)表示磁場(chǎng)通過(guò)軸矢量反常誘導(dǎo)電場(chǎng)出現(xiàn)，通過(guò)久保公式，文獻(xiàn)[20-21]給出它的計(jì)算公式，而其現(xiàn)象可以通過(guò)負(fù)磁阻觀測(cè)到。

手征渦旋效應(yīng)[22-23]表示的是流體中一個(gè)渦旋會(huì)誘導(dǎo)出一個(gè)平行于軸旋度矢量的電流[24]。該效應(yīng)由反常引起，最早由Erdmenger等[22]和Banerjee等[23]通過(guò)全息的方法發(fā)現(xiàn)。在他們的工作中，計(jì)算了在有限化學(xué)勢(shì)下所有流體力學(xué)方程中展開(kāi)到二階的輸運(yùn)系數(shù)(包括線性和非線性)。在一階微分展開(kāi)時(shí)，他們首次發(fā)現(xiàn)存在著一個(gè)與流體旋度有關(guān)系的輸運(yùn)系數(shù)，而這個(gè)系數(shù)來(lái)源于愛(ài)因斯坦-麥克斯韋理論中的陳-賽蒙斯(Chern-Simons)項(xiàng)，當(dāng)陳-賽蒙斯項(xiàng)消失時(shí)，此輸運(yùn)系數(shù)也不復(fù)存在。因此，他們指出該輸運(yùn)系數(shù)是由反常引起的，并通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，該系數(shù)正比于化學(xué)勢(shì)的平方以及陳-賽蒙斯項(xiàng)參數(shù)。這個(gè)系數(shù)的發(fā)現(xiàn)迅速引起研究熱潮，很快Son和Surowka[25]通過(guò)流體力學(xué)的方法證實(shí)了這個(gè)系數(shù)的存在。他們注意到引入量子三角反常(quantum triangle anomaly)會(huì)對(duì)流體力學(xué)方程的本構(gòu)關(guān)系有重要的修正，不僅會(huì)產(chǎn)生剪切黏度，整體黏度以及電導(dǎo)等耗散型的輸運(yùn)系數(shù)，還會(huì)產(chǎn)生2個(gè)新的非耗散輸運(yùn)系數(shù)，分別為正比于磁場(chǎng)的手征磁電導(dǎo)和正比于流體旋度的手征渦旋電導(dǎo)。與上述全息方法比較，他們得出在非零化學(xué)勢(shì)下，手征渦旋電導(dǎo)也正比于化學(xué)勢(shì)的平方。Neiman和Oz[26]拓展Son等的工作，考慮了更一般的情況，發(fā)現(xiàn)手征渦旋電導(dǎo)在正比于化學(xué)勢(shì)平方的同時(shí)，也正比于溫度的平方。Landsteiner等通過(guò)全息的方法指出，與正比于化學(xué)勢(shì)的平方項(xiàng)來(lái)源于手征反常不同，手征渦旋電導(dǎo)中正比于溫度平方的項(xiàng)來(lái)源于引力反常[19]，而在不考慮引力反常時(shí)，無(wú)法得到溫度平方依賴關(guān)系[27]。隨后，Landsteiner等[28]通過(guò)久保公式的方法在弱耦合的情形下證實(shí)手征渦旋電導(dǎo)正比于化學(xué)勢(shì)的平方和溫度的平方。Jensen等[29]通過(guò)平衡態(tài)配分函數(shù)的計(jì)算得到同樣的結(jié)論。由于在不同方法下人們都得到了相同的結(jié)論，因此，手征渦旋效應(yīng)的存在成為手征反常和引力反常存在的直接證據(jù)?？紤]到外爾半金屬中同時(shí)存在著手征反常[3]和引力反常[4]，因此，外爾半金屬中也應(yīng)該存在手征渦旋效應(yīng)。

在本文中，我們?cè)谕鉅柊虢饘俚娜⒛Ｐ椭醒芯渴终鳒u旋效應(yīng)，計(jì)算化學(xué)勢(shì)為零時(shí)的手征渦旋電導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)在引力反常不存在以及溫度為零時(shí)，手征渦旋效應(yīng)消失，這與文獻(xiàn)[19]的結(jié)論一致。而在有限溫度時(shí)，發(fā)現(xiàn)在系統(tǒng)處于外爾半金屬相時(shí)，手征渦旋效應(yīng)存在，且手征渦旋電導(dǎo)正比于溫度的平方。隨著系統(tǒng)逐漸向絕緣體相靠近，該系數(shù)緩慢減小。當(dāng)系統(tǒng)完全變?yōu)橥負(fù)淦接沟慕^緣體相時(shí)，手征渦旋電導(dǎo)迅速下降，逐漸趨于零。這充分證明在具有手征費(fèi)米子的外爾半金屬中，引力反常確實(shí)存在。

1 外爾半金屬全息模型

外爾半金屬中至少存在著一對(duì)外爾點(diǎn)，在外爾點(diǎn)附近的準(zhǔn)粒子低能有效激發(fā)可以通過(guò)左手或右手的外爾旋量來(lái)描述。外爾半金屬可以通過(guò)破壞狄拉克半金屬中的時(shí)間反演或空間反演對(duì)稱性得到?？紤]在時(shí)間反演對(duì)稱性破壞的情形下，可以在場(chǎng)論中構(gòu)建外爾半金屬模型[30]

(1)

模型(1)建立在準(zhǔn)粒子描述成立的情形，即系統(tǒng)處于弱相互作用時(shí)的理論。而當(dāng)系統(tǒng)處于強(qiáng)相互作用時(shí)，準(zhǔn)粒子的概念不再適用，此時(shí)有必要構(gòu)建一個(gè)模型，以使其能夠在強(qiáng)相互作用下滿足外爾半金屬的性質(zhì)，同時(shí)還要呈現(xiàn)出模型(1)所經(jīng)歷的相變。AdS/CFT在相關(guān)問(wèn)題上具有巨大的優(yōu)勢(shì)，根據(jù)規(guī)范引力對(duì)偶詞典[31](gauge/gravity dual dictionary)，可以構(gòu)建全息形式下的外爾半金屬的模型[12]：

(DμΦ)*(DμΦ)].

(2)

2 外爾半金屬中的手征渦旋效應(yīng)

對(duì)于手征渦旋電導(dǎo)，可以通過(guò)久保公式[19]來(lái)計(jì)算

(3)

(4)

這些方程都是二階微分方程，需要假設(shè)2個(gè)邊界條件。這2個(gè)邊界條件分別加在視界r=r0處以及AdS邊界處r→∞。在這2個(gè)位置，可以對(duì)場(chǎng)進(jìn)行漸進(jìn)展開(kāi)。通常處理中，要求場(chǎng)在視界處是正規(guī)的，因此，度規(guī)場(chǎng)u,f,h和物質(zhì)場(chǎng)Az,φ在視界處的展開(kāi)形式為：

u=4πT(r-r0)+…,

f=f1+C1(r-r0)+…,

h=h1+…，

Az=Az1+Az2(r-r0)+…,

rφ=φ1+C2(r-r0)+…，

當(dāng)把視界處的解進(jìn)行積分直到無(wú)窮遠(yuǎn)處(AdS邊界處)時(shí)，可以得到場(chǎng)在邊界處的漸進(jìn)展開(kāi)行為，具體如下

C4=2M3+3b2Mq2+3λM3.

以上場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程及漸進(jìn)行為都是在沒(méi)有任何擾動(dòng)情形下的背景解。在全息中，推遲流流關(guān)聯(lián)函數(shù)可以通過(guò)對(duì)背景加擾動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，即將擾動(dòng)當(dāng)成源S，此時(shí)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的作用稱之為響應(yīng)R，根據(jù)線性響應(yīng)理論，可以得到關(guān)系R=GS，其中G代表相應(yīng)的流流關(guān)聯(lián)函數(shù)(格林函數(shù))。

考慮到手征渦旋電導(dǎo)的計(jì)算公式，需要打開(kāi)動(dòng)量方向的擾動(dòng)。具體來(lái)說(shuō)，可以打開(kāi)z方向的微擾進(jìn)行計(jì)算，形式如下：

δgxz=hxz(r)eikz,δgxz=hxz(r)eikz，

δgtx=htx(r)eikz,δgty=hty(r)eikz，

δAx=ax(r)eikz,δAy=ay(r)eikz.

(5)

將上述微擾(5)代入背景運(yùn)動(dòng)方程中，可以得到相應(yīng)的線性運(yùn)動(dòng)方程

其中i,j=x,y，在運(yùn)動(dòng)方程中出現(xiàn)的系數(shù)D1,E1,F1,G1,H1,P1都為u,f,h及其高階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。除這6個(gè)二階微分方程外，還有2個(gè)與上述微分方程自洽的一階微分方程，在這里不做考慮。

在有限溫度時(shí)，可以將上述微擾按小量k展開(kāi)。即

hti=hti(0)+khti(1)+k2hti(2)+…，

hiz=hiz(0)+khiz(1)+k2hiz(2)+…，

ai=ai(0)+kai(1)+k2ai(2)+….

(6)

其中，hti,hiz,ai在視界處均滿足正規(guī)條件。

可以將式(6)代入到微擾的線性運(yùn)動(dòng)方程中逐階求解。在零階k時(shí)，有方程

(7)

根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程結(jié)合方程(7)，可以得到ht(0)=u。對(duì)于aj(0)和hjz(0),為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可以選取合適的邊界條件，使得這2個(gè)系數(shù)滿足hjz(0)=0,aj(0)=0,j=x,y。

從上式中的第1個(gè)方程可以給出htx(1)=u，而第2個(gè)方程可以給出

基于此，ax(1)的方程為

(8)

從方程(8)中可以得到如下極限情形：1)當(dāng)ζ=0時(shí)，方程變?yōu)辇R次方程，表明ax(1)是無(wú)源的，即沒(méi)有相應(yīng)的線性響應(yīng)，此時(shí)手征渦旋效應(yīng)消失。如前所述，ζ代表引力反常，因此，可以得出結(jié)論，手征渦旋效應(yīng)的確可以由引力反常引起；2)當(dāng)u=f時(shí)，從度規(guī)的假設(shè)來(lái)看，此時(shí)系統(tǒng)處于高度對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)于零溫的情形，此時(shí)方程仍然變?yōu)辇R次方程，這與文獻(xiàn)[19]中手征渦旋電導(dǎo)與溫度平方成正比相符合。

3 數(shù)值結(jié)果

接下來(lái)，將通過(guò)方程(8)的數(shù)值求解得到手征渦旋電導(dǎo)的表達(dá)式。首先，給出漲落在AdS時(shí)空邊界的漸進(jìn)行為

如圖1所示，計(jì)算在不同溫度時(shí)，手征渦旋電導(dǎo)隨外部參數(shù)M/b變化的情形。從圖中可以看出，手征渦旋電導(dǎo)隨溫度的增加而增加，在系統(tǒng)處于外爾半金屬相(M/b<0.7)時(shí)，手征渦旋電導(dǎo)隨M/b緩慢減小，這表明在外爾半金屬中，由引力反常誘導(dǎo)的手征渦旋效應(yīng)的確存在；而當(dāng)系統(tǒng)處于拓?fù)淦接沟慕^緣體相(M/b>0.7)時(shí)，手征渦旋電導(dǎo)迅速下降并趨向于0，這正是在拓?fù)淦接沟慕^緣體中手征外爾費(fèi)米子消失的體現(xiàn)。

圖1 不同溫度下手征渦旋電導(dǎo)隨參數(shù)M/b的變化Fig.1 Variation in chiral vortical conductivity with M/b at T=0.03 K (solid line) and T=0.05 K (dotted line)

圖2 R隨參數(shù)M/b的變化圖Fig.2 Variation in R with M/b

4 總結(jié)

本文通過(guò)規(guī)范/引力對(duì)偶的方法研究強(qiáng)耦合下外爾半金屬中的手征渦旋效應(yīng)。在考慮系統(tǒng)只有引力反常的情形下，得到如下結(jié)論：1)手征渦旋效應(yīng)可以由引力反常引起，在具有手征費(fèi)米子的外爾半金屬中存在；2)手征渦旋效應(yīng)與溫度有密切關(guān)系，與溫度平方成正比，在零溫時(shí)，手征渦旋效應(yīng)消失。