平行/重合D膜超勢(shì)，Ooguri-Vafa不變量與類型II弦理論/F理論對(duì)偶*

蔣笑添，楊富中

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院， 北京 100049)

在拓?fù)湎依碚撝?，N=2的鏡像對(duì)稱將兩個(gè)幾何上不同的作為弦緊致化的Calabi-Yau流形聯(lián)系起來，給出等價(jià)的物理模型。其中一個(gè)是由Kahler 模參數(shù)決定的A模型，另一個(gè)是由復(fù)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的B 模型。引入D膜后超對(duì)稱破缺到N=1，對(duì)應(yīng)地給出到N=1的特殊幾何，此時(shí)A/B 模型間存在開閉鏡像對(duì)稱。類似于N=2超對(duì)稱拓?fù)湎艺撝械念A(yù)勢(shì)，超對(duì)稱為N=1時(shí)，對(duì)應(yīng)于預(yù)勢(shì)的物理量被稱為非微擾全純超勢(shì)。它決定了低能有效理論中的F項(xiàng)和弦真空結(jié)構(gòu)。與預(yù)勢(shì)類似，得益于N=1的鏡像對(duì)稱非微擾有效超勢(shì)可以通過在B模型中微擾計(jì)算得到。

(1)

(2)

另一方面，類型II弦理論中的超勢(shì)可以在F理論中找到一個(gè)對(duì)偶的描述。使得類型II弦理論中的D膜超勢(shì)對(duì)偶于F理論中的背景流超勢(shì)。而背景流超勢(shì)由作為F理論緊化靶空間的四流形的復(fù)結(jié)構(gòu)參數(shù)給出。換句話說，在F理論中，其對(duì)偶類型II弦理論中的開弦模與閉弦模被等同化為復(fù)結(jié)構(gòu)參數(shù)存在[3]。這個(gè)對(duì)偶的存在也就提供了一種計(jì)算類型II弦理論中的D膜超勢(shì)的思路，允許我們研究在類型II弦理論意義下的更為復(fù)雜的D膜系統(tǒng)。緊化在Calabi-Yau三流形上的類型II弦理論的D膜超勢(shì)可以通過在其對(duì)偶的，緊化在Calabi-Yau四流形上的F理論中的計(jì)算得到[4]。四維F理論中，在Calabi-Yau四流形M4上的四形式流G4貢獻(xiàn)的超勢(shì)實(shí)際上是以復(fù)結(jié)構(gòu)?？臻gMCS(M4)為底的一個(gè)復(fù)線叢截面，也就是著名的Gukov-Vafa-Witten超勢(shì)[5]，形式如下[6]：

O(e-1/gs).

(3)

式中：gs是弦耦合強(qiáng)度而等式右邊的領(lǐng)頭項(xiàng)正是D膜超勢(shì)WN=1公式(1)。當(dāng)取得弱耦合極限gs→0時(shí)，由F理論的GVW超勢(shì)WGVW可以得到D膜超勢(shì)WN=1：

=WN=1(M3,D).

(4)

此時(shí)大部分的耦合自由度不再貢獻(xiàn)到超勢(shì)中來。

迄今為止，對(duì)于靶空間緊致的大部分D膜系統(tǒng)的超勢(shì)計(jì)算都只涉及一個(gè)開弦形變參數(shù)[4,7-13]。 我們利用類型II弦理論/F理論對(duì)偶中開閉弦模等價(jià)于復(fù)結(jié)構(gòu)參數(shù)，以及復(fù)結(jié)構(gòu)等信息完全包含在F 理論的緊化四流形的組合數(shù)據(jù)中的優(yōu)點(diǎn)，研究包含兩張D 膜的復(fù)雜D 膜系統(tǒng)。D膜系統(tǒng)的平行相區(qū)與重合相區(qū)分別對(duì)應(yīng)于D膜世界葉上的U(1)×…×U(1)與U(n)非阿貝爾規(guī)范理論。本文利用類型II弦理論/F理論對(duì)偶，計(jì)算以P(1,1,2,2,6)為靶空間的雙D膜系統(tǒng)的超勢(shì)，并提取對(duì)應(yīng)于平行相與重合相的U(1)和U(2) Ooguri-Vafa不變量。

1 平行/重合相的對(duì)偶四流形構(gòu)造

(5)

我們考慮的n個(gè)平行D膜由可約除子表示:

(6)

(7)

當(dāng)平行D膜相互靠近并重合在一起時(shí)，規(guī)范群U(1)×U(1)×…×U(1)提升為U(n)。幾何上看，非阿貝爾規(guī)范群與新構(gòu)造的Calabi-Yau流形上的奇異性有關(guān)。這里用環(huán)幾何的語(yǔ)言來描述，奇異曲線對(duì)應(yīng)于對(duì)偶多面體的一維棱上的整點(diǎn)。環(huán)幾何意義下的奇點(diǎn)減消過程是標(biāo)準(zhǔn)化的[18]，即將這些棱上的整點(diǎn)全部補(bǔ)入環(huán)簇的定義點(diǎn)集，而補(bǔ)入的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)奇點(diǎn)減消后的Calabi-Yau 流形上的例外除子，這個(gè)過程被稱為吹脹(blow up)。

注意到我們?cè)跇?gòu)造庫(kù)倫相的擴(kuò)展多面體時(shí)，在一條棱上加了n+1個(gè)新點(diǎn)描述n個(gè)平行的D膜，而填充在中間的n-1個(gè)整點(diǎn)正好減消了忽略它們時(shí)帶來的n奇異性。反過來想，可以通過抹去這n-1個(gè)內(nèi)點(diǎn)恢復(fù)四流形的奇異性，進(jìn)而構(gòu)造重合相對(duì)應(yīng)的多面體，給出提升后的U(n)規(guī)范群[19]。值得一提的是n曲線奇異性對(duì)應(yīng)的例外除子的相交矩陣與An-1的卡丹矩陣只相差一個(gè)自交歸一化參數(shù)-1。

2 Picard-Fuchs微分方程組，局域解與相對(duì)周期

相對(duì)周期滿足Picard-Fuchs微分方程組，而其微分算子可由GKZ系統(tǒng)較為方便地導(dǎo)出：

(8)

(9)

在大復(fù)結(jié)構(gòu)相區(qū)，非微擾瞬子修正被以指數(shù)形式壓制在這些復(fù)結(jié)構(gòu)參數(shù)中。這組代數(shù)坐標(biāo)環(huán)操作不變，可以對(duì)該相區(qū)進(jìn)行很好的描述。另一方面，Mori錐與Kahler錐相互對(duì)偶，Mori錐生成元la的選定也給出了Kahler錐的一組對(duì)偶基，記做Ja∈H1,1(W4)。將對(duì)應(yīng)的局域坐標(biāo)記為ka，由于大復(fù)結(jié)構(gòu)極限點(diǎn)對(duì)偶于大半徑極限點(diǎn)，ka即 Kahler?？臻g中的大半徑極限點(diǎn)附近坐標(biāo)，也被稱為平坦坐標(biāo)。

從F理論的觀點(diǎn)來看，GKZ系統(tǒng)的算子由對(duì)應(yīng)四流形的5維多面體的組合數(shù)據(jù)導(dǎo)出。所以該微分系統(tǒng)的解描述了四流形的周期積分，并依賴于四流形的復(fù)結(jié)構(gòu)參數(shù)。然而從類型II弦理論的觀點(diǎn)來看，由于拓展多面體描述的是D膜系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)，這些局域解記錄著開閉鏡像映射，D膜超勢(shì)等與開閉弦模相關(guān)的物理量。

在四流形這邊，由文獻(xiàn)[17]可知GKZ系統(tǒng)的局域解可以由基本周期導(dǎo)出，基本周期為

(10)

使用Frobenius方法可以得到整個(gè)周期矢量如下

(11)

式中：n∈{1,…,h}，h等于上同調(diào)群H4(M4)的維數(shù)。公式(11)中Ka1,a2;n為基本周期w0二階導(dǎo)的組合系數(shù)。鏡像對(duì)稱猜想給出A模型一側(cè)的對(duì)偶周期矢量如下：

(12)

在D膜幾何的相對(duì)周期這側(cè)，取到弱耦合極限時(shí)，上面四流形對(duì)應(yīng)的GKZ系統(tǒng)的解將給出對(duì)應(yīng)于開閉鏡像映射，體勢(shì)能(bulk potential)，超勢(shì)的相對(duì)周期。相對(duì)周期矢量有如下形式

(13)

(14)

通過對(duì){ka}線性組合可以將開閉弦Kahler模參數(shù)分離。

(15)

(15)式中以相對(duì)同倫類s∈H1(L),r∈H2(W3)為指標(biāo)的{Gr,s}為Gromov-Witten不變量，{Nr,s}為Ooguri-Vafa不變量。

3 超勢(shì)計(jì)算與Ooguri-Vafa不變量提取

本節(jié)我們將以雙D膜在P(1,1,2,2,6)上為例，利用類型II弦理論/F 理論對(duì)偶進(jìn)行超勢(shì)的計(jì)算與Ooguri-Vafa不變量的提取。三流形P(1,1,2,2,6)是由在環(huán)繞環(huán)簇PΣ(Δ4)中的多項(xiàng)式

a0x1x2x3x4x5

(16)

定義的超曲面給出的。定義環(huán)簇的多面體Δ4頂點(diǎn)如下：

v1=(1,1,1,1),v2=(-11,1,1,1),

v3=(1,-5,1,1),

v4=(1,1,-5,1),v5=(1,1,1,-1).

(17)

3.1 平行D膜相

我們考慮由可約除子D=D1+D2描述的平行D膜。其定義多項(xiàng)式為

(18)

(19)

(20)

γ1=D1∩D10,γ2=D7∩D8,γ3=D8∩D9，

(21)

為分離開閉弦模參數(shù)，做如下變量代換：

(22)

那么對(duì)應(yīng)于γ1，γ2和γ3的周期積分的領(lǐng)頭項(xiàng)如下：

(23)

(24)

由公式(10)可得基本周期與對(duì)數(shù)周期：

Π0(z)=w0(z;0),Π1,i(z)=?ρiw0(z;ρ)|ρi=0,

(25)

平坦坐標(biāo)有

(26)

令qi=exp(2πiki)，i=1,2,3,4，則開閉混合鏡像逆映射為：

(27)

由領(lǐng)頭項(xiàng)(23)，得到A模型中的閉弦周期與D膜超勢(shì)如下：

(28)

3.2 重合D膜相

(29)

表1 P(1,1,2,2,6)中平行D膜超勢(shì)的U(1)Ooguri-Vafa不變量{Nn1,n2,n3,n4}Table 1 The U(1) Ooguri-Vafa invariants {Nn1,n2,n3,n4} for the superpotential of parallel D-branes on the P(1,1,2,2,6)

為簡(jiǎn)化符號(hào)，仍使用ai計(jì)為定義多項(xiàng)式的系數(shù)。與上一子節(jié)中D膜幾何定義多項(xiàng)式中的系數(shù)關(guān)系如下：

(30)

(31)

與平行相區(qū)類似，遍歷任意兩個(gè)環(huán)除子的交Di∩Dj，構(gòu)造同調(diào)群H4(W4)的基，并挑選出對(duì)應(yīng)于預(yù)勢(shì)與超勢(shì)的群元：

γ1=D1∩D9,γ2=D2∩D8.

(32)

通過坐標(biāo)變換

(33)

分離開閉弦模參數(shù)，則對(duì)應(yīng)于γ1與2γ2的周期積分領(lǐng)頭項(xiàng)為

(34)

使用代數(shù)坐標(biāo)：

(35)

由公式(10)得到基本周期與對(duì)數(shù)周期如下：

Π0(z)=w0(z;0),Π1,i(z)=?ρiw0(z;ρ)|ρi=0,

(36)

平坦坐標(biāo)有

(37)

令qi=exp(2πiki)，i=1,2,3，則開閉混合鏡像逆映射為：

(38)

由領(lǐng)頭項(xiàng)(34)，得到A模型中的閉弦周期與D膜超勢(shì)如下：

(39)

表2 P(1,1,2,2,6)中重合D膜超勢(shì)的U(2)Ooguri-Vafa不變量{Nn1,n2,n3}Table 2 The U(2) Ooguri-Vafa invariants {Nn1,n2,n3} for the superpotential of coincident D-branes on the P(1,1,2,2,6)

4 總結(jié)

本文就雙D膜在緊化空間P(1,1,2,2,6)上為例，用環(huán)簇的語(yǔ)言具體地構(gòu)造了對(duì)應(yīng)于平行D膜相與重合D膜相的對(duì)偶四流形。利用類型II弦理論/F理論對(duì)偶得到了平行與重合時(shí)D膜貢獻(xiàn)的超勢(shì)，并分別提取對(duì)應(yīng)的Ooguri-Vafa不變量。

兩張?zhí)幱诓煌恢玫钠叫蠨膜間存在的離散Z2對(duì)稱群被解釋為非微擾的U(2)規(guī)范理論的外爾對(duì)稱性，而該D膜系統(tǒng)的平行相也對(duì)應(yīng)于U(2)規(guī)范理論的庫(kù)倫分支。平行相區(qū)中的計(jì)算正如我們所預(yù)期的，由兩張平行D膜分別貢獻(xiàn)的超勢(shì)在瞬子展開下也展現(xiàn)出了同樣的外爾對(duì)稱性。而在重合相區(qū)，D 膜系統(tǒng)由平行D膜相相變?yōu)橹睾螪膜相，開閉混合?？臻g中的形變參數(shù)自由度減少，原本相互獨(dú)立的兩個(gè)開弦參數(shù)約化為一個(gè)。D膜世界葉上的規(guī)范群也由原來的U(1)×U(1)提升為U(2)。

另外從平行、重合相區(qū)分別得到不同的Ooguri-Vafa不變量。即這兩個(gè)相區(qū)對(duì)應(yīng)著不同的BPS態(tài)能譜，這可以作為相變發(fā)生的一個(gè)證據(jù)。