(航空工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095)

大型裝備制造過(guò)程逐步朝著數(shù)字化與智能化方向發(fā)展，數(shù)字化測(cè)量技術(shù)不僅成為產(chǎn)品設(shè)計(jì)、加工、制造、裝配及檢測(cè)等全生命周期內(nèi)質(zhì)量的檢測(cè)手段，更成為制造過(guò)程狀態(tài)監(jiān)控的主要信息來(lái)源，為產(chǎn)品質(zhì)量提高、制造周期縮短提供有效方法[1-3]。因此，大型裝配制造過(guò)程中的測(cè)量任務(wù)往往具備大尺度、高精度、高效率、高穩(wěn)定性等特點(diǎn)和需求，僅靠單一系統(tǒng)的測(cè)量手段難以滿足[4-7]。以大部件對(duì)接任務(wù)為例，開(kāi)始對(duì)接過(guò)程中要求對(duì)接部件位姿的實(shí)時(shí)監(jiān)控測(cè)量，需要進(jìn)行多點(diǎn)位高效率的實(shí)時(shí)監(jiān)控，不需要太高精度；而在對(duì)接最終階段需要對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)位進(jìn)行高精度測(cè)量，其數(shù)據(jù)為部件的下一步運(yùn)動(dòng)提供準(zhǔn)確的參數(shù)，需要進(jìn)行高精度的測(cè)量[8]。激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS均是新型的數(shù)字化測(cè)量?jī)x器的代表，若單采用激光跟蹤儀在后期精度可得以保證，但難以完成對(duì)接過(guò)程的實(shí)時(shí)監(jiān)控；若單采用室內(nèi)GPS可實(shí)時(shí)監(jiān)控對(duì)接過(guò)程，但對(duì)接精度則不足[9]。采用激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS組成協(xié)同測(cè)量網(wǎng)絡(luò)，在統(tǒng)一基準(zhǔn)的前提下充分發(fā)揮兩種系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，是解決對(duì)接這類問(wèn)題的有效手段[9]。這種利用多種設(shè)備協(xié)同測(cè)量完成同一測(cè)量任務(wù)的工作模式已成為國(guó)內(nèi)外一大研究熱點(diǎn)[10]。國(guó)外，波音公司利用激光跟蹤儀與 V-STARS系統(tǒng)組成協(xié)同測(cè)量網(wǎng)絡(luò)，其中激光跟蹤儀用于進(jìn)行關(guān)鍵控制點(diǎn)的測(cè)量，而V-STARS系統(tǒng)以密集點(diǎn)云的形式測(cè)量波音787飛機(jī)外翼的外形輪廓，為飛機(jī)外形裝配準(zhǔn)確度檢測(cè)和逆向重構(gòu)提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)[11]。在國(guó)內(nèi)，解放軍工程大學(xué)的范百興教授研究了激光跟蹤儀與經(jīng)緯儀的組網(wǎng)方法，在現(xiàn)場(chǎng)獲得了應(yīng)用[12]；天津大學(xué)的邾繼貴教授團(tuán)隊(duì)研究了多站位室內(nèi)GPS的組網(wǎng)方法，達(dá)到了亞毫米的精度[13]。

測(cè)量精度是衡量測(cè)量網(wǎng)絡(luò)性能的重要指標(biāo)，高精度的組網(wǎng)方法是保證測(cè)量精度的有效手段[14]。本文在研究激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，根據(jù)兩種系統(tǒng)的特點(diǎn)，采用了基于傳感單元觀測(cè)量的方法構(gòu)建基本約束方程，為提高整體算法精度，在測(cè)量網(wǎng)絡(luò)內(nèi)引入了一維基準(zhǔn)尺和三維控制場(chǎng)作為相對(duì)約束進(jìn)行優(yōu)化，采用了Levenberg-Marquardt 算法進(jìn)行最優(yōu)化求解，為保證迭代過(guò)程設(shè)計(jì)了基于后方交匯原理的迭代初值求解方法。最終通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了組網(wǎng)方法的精度優(yōu)于±0.06 mm，可在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)推廣應(yīng)用。

1 測(cè)量原理

1.1 激光跟蹤儀測(cè)量原理

激光跟蹤儀是典型的球坐標(biāo)系測(cè)量系統(tǒng)，通過(guò)兩個(gè)高精度碼盤觀測(cè)點(diǎn)位相對(duì)于站位的水平角和垂直角，同時(shí)通過(guò)干涉測(cè)距模塊觀測(cè)點(diǎn)到站位距離，以極坐標(biāo)計(jì)算的方式唯一確定測(cè)量點(diǎn)三維坐標(biāo)。其測(cè)量過(guò)程中的坐標(biāo)系示意圖如圖1所示。

根據(jù)水平角φ、垂直角θ和距離r可以唯一確定觀測(cè)點(diǎn)P(x,y,z)，可由數(shù)學(xué)公式表示：

(1)

由任意跟蹤儀坐標(biāo)系下的測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)P(x,y,z)也可反求水平角φ、垂直角θ和距離r，可由數(shù)學(xué)公式表示：

(2)

圖1 激光跟蹤儀測(cè)量過(guò)程中的坐標(biāo)系示意圖

1.2 室內(nèi)GPS測(cè)量原理

室內(nèi)GPS是一種基于光電掃描的多站位大尺寸坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)，系統(tǒng)組成如圖2所示，主要包括：發(fā)射站、接收器、信號(hào)處理器和解算工作站。發(fā)射站發(fā)射兩束繞著轉(zhuǎn)軸勻速旋轉(zhuǎn)并帶有一定傾斜的激光扇面，在被測(cè)空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)掃描；接收器感應(yīng)光信號(hào)，并轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)角度；信號(hào)處理器和解算工作站之間通過(guò)無(wú)線傳輸模塊進(jìn)行通信，解算工作站對(duì)接收到的時(shí)間信息進(jìn)行處理后進(jìn)行坐標(biāo)的解算、顯示及存儲(chǔ)，同時(shí)還負(fù)責(zé)管理整個(gè)系統(tǒng)資源，包括現(xiàn)場(chǎng)組網(wǎng)參數(shù)以及資源使用權(quán)限的分配等。

圖2 室內(nèi)GPS結(jié)構(gòu)示意圖

發(fā)射站的結(jié)構(gòu)示意圖和數(shù)學(xué)模型如圖3所示。發(fā)射站主要由轉(zhuǎn)子和基座組成，轉(zhuǎn)子帶動(dòng)兩個(gè)線性激光發(fā)射器高速繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，因此發(fā)射站可以抽象為繞著旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)非平行激光扇面，激光扇面與旋轉(zhuǎn)軸間具有一定的傾角，其結(jié)構(gòu)參數(shù)即兩激光扇面在發(fā)射站坐標(biāo)系下的方程作為一項(xiàng)重要參數(shù)在發(fā)射站安裝完成后通過(guò)標(biāo)定精確給定。發(fā)射站的數(shù)學(xué)模型如下：首先，建立發(fā)射站坐標(biāo)系OXYZ，定義旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，激光扇面1和旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)O，激光扇面1上過(guò)原點(diǎn)且與旋轉(zhuǎn)軸垂直的直線為X軸，根據(jù)右手定則確定Y軸。發(fā)射站逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，發(fā)射站兩激光扇面的平面方程為

(3)

式中,(a1,b1,c1,d1)T，(a2,b2,c2,d2)T為預(yù)先標(biāo)定好的光平面1及光平面2的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

圖3 室內(nèi)GPS發(fā)射站結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

當(dāng)兩激光扇面分別掃過(guò)接收器時(shí)，可計(jì)算光平面旋轉(zhuǎn)角度θ1,θ2，即掃描角。發(fā)射站兩個(gè)旋轉(zhuǎn)激光平面方程在自身坐標(biāo)系下的方程參數(shù)為

(4)

式中,

(5)

(6)

式中，i為發(fā)射站編號(hào)；j為激光扇面編號(hào)；[xkykzk]T為全局坐標(biāo)系下的待求點(diǎn)三維坐標(biāo)；Ri和Ti為全局組網(wǎng)定向的結(jié)果，它代表全局坐標(biāo)系到發(fā)射站i局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

由兩種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可知，儀器站位的位姿關(guān)系是測(cè)量網(wǎng)絡(luò)中的重要參數(shù)，而組網(wǎng)的目的就是獲取準(zhǔn)確的位姿參數(shù)，是測(cè)量網(wǎng)絡(luò)精度的重要保證。

2 協(xié)同組網(wǎng)方法

協(xié)同組網(wǎng)問(wèn)題可具體為測(cè)量網(wǎng)絡(luò)內(nèi)具有多臺(tái)激光跟蹤儀、多臺(tái)室內(nèi)GPS發(fā)射站及若干測(cè)量點(diǎn)，通過(guò)優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)測(cè)量網(wǎng)內(nèi)所有站位的位姿和所有測(cè)量點(diǎn)位的坐標(biāo)解算，示意圖如圖4所示。為實(shí)現(xiàn)兩種系統(tǒng)的協(xié)同測(cè)量，必須引入相對(duì)約束完成組網(wǎng)。為提高算法的精度，采用一維距離約束和三維坐標(biāo)約束兩種約束構(gòu)建方法，同時(shí)約束方程的構(gòu)建是依照系統(tǒng)的不同傳感單元進(jìn)行高度耦合完成。因此，測(cè)量網(wǎng)內(nèi)必須包括基準(zhǔn)尺或三維控制場(chǎng)。具體的組網(wǎng)思路是，激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS分別測(cè)量基準(zhǔn)尺和三維控制場(chǎng)，依照儀器本身測(cè)量模型構(gòu)建基本約束方程，同時(shí)通過(guò)基準(zhǔn)尺的一維距離約束和三維控制場(chǎng)的坐標(biāo)約束構(gòu)建相對(duì)約束方程，通過(guò)迭代優(yōu)化算法求解由基本方程和相對(duì)約束方程構(gòu)建的最優(yōu)化方程組，并通過(guò)設(shè)計(jì)合理的迭代初值求解算法完成最終組網(wǎng)。

圖4 基于激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS協(xié)同組網(wǎng)模型

2.1 協(xié)同組網(wǎng)模型

激光跟蹤儀的約束方程可先將控制點(diǎn)轉(zhuǎn)換到跟蹤儀坐標(biāo)系下：

(xlaser,ylaser,zlaser)T=Rlaser(xm,ym,zm)T+Tlaser

(7)

式中，(xlaser,ylaser,zlaser)T表示跟蹤儀局部坐標(biāo)系下的點(diǎn)，代入式(2)中，即可算出對(duì)應(yīng)的觀測(cè)量，因此每個(gè)跟蹤儀站位可構(gòu)建以下約束方程：

(8)

式中，帶*標(biāo)志的是由最終優(yōu)化點(diǎn)反算回去的觀測(cè)值，不帶標(biāo)志的為儀器觀測(cè)值。

室內(nèi)GPS的約束方程也是同樣將控制點(diǎn)全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到室內(nèi)GPS局部坐標(biāo)下：

(xGPS,yGPS,zGPS)T=RGPS(xm,ym,zm)T+TGPS

(9)

結(jié)合1.2節(jié)中室內(nèi)GPS數(shù)學(xué)模型，并依照式(6)，每個(gè)室內(nèi)GPS發(fā)射站均可列以下的約束方程：

(10)

協(xié)同測(cè)量網(wǎng)絡(luò)中的一維基準(zhǔn)尺是兩端各有測(cè)量點(diǎn)同時(shí)兩點(diǎn)距離l已知的標(biāo)準(zhǔn)器，因此，可以列以下約束方程：

(11)

求解過(guò)程需要達(dá)到H1,H2,H3共3組約束方程的最優(yōu)結(jié)果，可以采用罰函數(shù)法構(gòu)造以下最優(yōu)化函數(shù)求解：

(12)

式中，λ1,λ2代表懲罰因子。每臺(tái)儀器均有3個(gè)未知參量，共有3(I+J)個(gè)未知量。每個(gè)點(diǎn)位均可有3個(gè)跟蹤儀方程，2個(gè)室內(nèi)GPS方程；每個(gè)基準(zhǔn)尺有一個(gè)距離約束方程。因此，總共約束方程的個(gè)數(shù)為：3IM+2JM+K。當(dāng)方程數(shù)大于未知量數(shù)，即滿足3IM+2JM+K>3(I+J)時(shí)，可采用Levenberg-Marquardt算法進(jìn)行求解，得到每個(gè)站位的位姿參數(shù)，完成組網(wǎng)[15]。

2.2 迭代初值求解方法

Levenberg-Marquardt算法是一種兼具梯度法和牛頓法的優(yōu)點(diǎn)的非線性最小二乘算法，其收斂速度快、穩(wěn)定性好[16-18]。但是，采用Levenberg-Marquardt算法必須采用合適的迭代初值，否則易造成迭代不收斂而影響算法精度和速率。算法中的迭代初值主要包括激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS每個(gè)站位初始的位姿參數(shù)。其中激光跟蹤儀可直接進(jìn)行點(diǎn)位測(cè)量，可通過(guò)多點(diǎn)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法完成迭代初值獲取[19]。室內(nèi)GPS是多站位系統(tǒng)，只有角度觀測(cè)值，需要采用一種基于后方交匯的迭代初值計(jì)算方法，依據(jù)系統(tǒng)局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連接射線交匯于一點(diǎn)來(lái)構(gòu)建約束方程[20]，示意圖如圖5所示。測(cè)量系統(tǒng)局部坐標(biāo)系下的點(diǎn)a，b，c與全局坐標(biāo)系下的A，B，C是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，其連線交匯于空間點(diǎn)S，可利用這一約束完成迭代初值求解?？紤]到每個(gè)發(fā)射站的初值獲取方式一致，下面以單發(fā)射站為例闡述迭代初值估計(jì)過(guò)程。

圖5 基于后方交匯方法的迭代初值計(jì)算方法

根據(jù)數(shù)學(xué)模型，約束方程可以寫成以下矩陣形式：

AX=0

(13)

其中，

是一個(gè)2m×12的系數(shù)矩陣。

作為未知參數(shù)， 將未知量X分解為

則方程可表示為

BX9+CX3=0

(14)

根據(jù)正交矩陣的特性‖X3‖2=1，最優(yōu)化方程可寫為

CR=‖BX9+CX3‖2+λ(‖X3‖2-1)

(15)

式中，λ為任意實(shí)數(shù)，將方程展開(kāi)可以得到：

(16)

分別求CR求X9和X3的偏導(dǎo)函數(shù)，偏導(dǎo)函數(shù)值為0，方程為

(17)

將方程組化簡(jiǎn)為

(18)

式中,D=CTC-CTB(BTB)-1BTC，是個(gè)3×3的矩陣。X3是矩陣D的特征向量，從而可以解出X3，將X3帶入第二方程即可解出X9，從而得到迭代初值。將迭代初值帶入最終優(yōu)化方程完成組網(wǎng)。

3 實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證協(xié)同組網(wǎng)方法的性能和精度，在工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)某廠房設(shè)計(jì)了以下實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)面向工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)條件下某部件模擬對(duì)接的任務(wù)中的組網(wǎng)過(guò)程，考慮現(xiàn)場(chǎng)條件，采用激光跟蹤儀AT402和室內(nèi)GPS組成協(xié)同測(cè)量網(wǎng)絡(luò)，利用第2節(jié)的方法優(yōu)化解算所有激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS的站位位姿，可利用激光跟蹤儀完成關(guān)鍵點(diǎn)位測(cè)量，室內(nèi)GPS完成部件實(shí)時(shí)跟蹤測(cè)量，實(shí)現(xiàn)兩種儀器統(tǒng)一基準(zhǔn)下的精確測(cè)量，可完成測(cè)量任務(wù)中的所有功能要求。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖6所示，實(shí)驗(yàn)中采用一臺(tái)激光跟蹤儀和兩臺(tái)室內(nèi)GPS發(fā)射站組成協(xié)同測(cè)量網(wǎng)絡(luò)，并利用基準(zhǔn)尺進(jìn)行精度驗(yàn)證。

圖6 現(xiàn)場(chǎng)條件下協(xié)同測(cè)量實(shí)驗(yàn)圖

為了驗(yàn)證激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS協(xié)同測(cè)量網(wǎng)絡(luò)的精度，在12 m×12 m×2 m的工作區(qū)域內(nèi)隨機(jī)布置10根基準(zhǔn)尺，要求基準(zhǔn)尺包含水平豎直縱深各個(gè)方向，基準(zhǔn)尺兩端的距離參量作為標(biāo)準(zhǔn)值，通過(guò)測(cè)量基準(zhǔn)尺兩端點(diǎn)位坐標(biāo)算出距離值，該距離值與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行比較，以差值大小作為評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)精度優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。具體比對(duì)結(jié)果如圖7所示。

圖7 精度對(duì)比結(jié)果

圖7中包括3組數(shù)據(jù)，其中虛線代表單采用室內(nèi)GPS測(cè)量的比對(duì)結(jié)果,細(xì)實(shí)線代表單采用激光跟蹤儀的比對(duì)結(jié)果,粗實(shí)線代表室內(nèi)GPS與激光跟蹤儀協(xié)同測(cè)量的比對(duì)結(jié)果，以上的結(jié)果均針對(duì)同一測(cè)量對(duì)象。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，單采用室內(nèi)GPS測(cè)量誤差優(yōu)于±0.200 mm，單采用激光跟蹤儀的測(cè)量誤差優(yōu)于±0.100 mm，采用協(xié)同測(cè)量手段的結(jié)果優(yōu)于以上兩種方法，數(shù)據(jù)顯示其測(cè)量誤差優(yōu)于±0.06 mm。數(shù)據(jù)證明了協(xié)同組網(wǎng)的方法能夠提高網(wǎng)絡(luò)測(cè)量的精度，具有高精度和高效率的優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)單一系統(tǒng)在測(cè)量范圍、精度和效率上難以滿足現(xiàn)場(chǎng)需求的問(wèn)題，采用一種基于激光跟蹤儀與室內(nèi)GPS的協(xié)同測(cè)量方法。在研究?jī)煞N系統(tǒng)的數(shù)學(xué)原理前提下，提出了一種基于兩種儀器不同傳感單元的約束方程組構(gòu)建方案，同時(shí)為提高網(wǎng)絡(luò)的整體精度，在空間內(nèi)引入了一維基準(zhǔn)尺和三維控制場(chǎng)，以一維基準(zhǔn)尺的距離和三維控制場(chǎng)的坐標(biāo)作為相對(duì)約束構(gòu)建方程，形成了最終帶有懲罰因子的罰函數(shù)最優(yōu)化方程。采用了基于后方交匯原理的迭代初值獲取方法，使用Levenberg-Marquardt算法完成求解，最終實(shí)現(xiàn)了激光跟蹤儀與室內(nèi)GPS的協(xié)同測(cè)量。使得測(cè)量網(wǎng)絡(luò)具備了激光跟蹤儀的高精度和室內(nèi)GPS的高效率的特點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明協(xié)同網(wǎng)絡(luò)的精度優(yōu)于±0.06 mm，證明了組網(wǎng)方法的精度，具備較大的推廣價(jià)值。值得注意的是，測(cè)量網(wǎng)絡(luò)中激光跟蹤儀和室內(nèi)GPS站位的布局也會(huì)影響組網(wǎng)精度，在未來(lái)可通過(guò)研究布局優(yōu)化算法進(jìn)一步提高測(cè)量網(wǎng)絡(luò)精度。