親近數(shù)據(jù)感悟隨機
——《可能性》教學實踐與思考（一）

鮑善軍

【教學內容】

人教版五年級上冊第四單元。

【課前慎思】

21世紀以來，“統(tǒng)計與概率”單獨作為一個學習領域進入小學數(shù)學課堂，這是一次具有深遠意義的里程碑式改革。尤其是新課標的重新修訂，新教材對“可能性”教學進行了大幅度的調整。如何重新認識小學階段“可能性”教學的意義和價值？又如何在具體的教學活動中加以體現(xiàn)？有必要作一些思考與實踐。

“通過實例感受簡單的隨機現(xiàn)象，能列出簡單隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結果；通過試驗、游戲等活動感受隨機現(xiàn)象結果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述?！睆囊陨媳硎鲋?，我們至少可以這樣理解：一是明確所涉及的隨機事件僅限于簡單隨機事件，即所有可能發(fā)生的結果是有限的，且每個結果發(fā)生的可能性是相同的；二是只要求對可能性的大小作出定性描述，而不是進行定量表達。

如何通過“試驗、游戲等活動”感受可能性的大??？雖然隨機事件的發(fā)生不可預知，但存有一定的規(guī)律性，通過大量的重復試驗收集到足夠的數(shù)據(jù)信息后，可以借助數(shù)據(jù)分析可能性的大小，而不是急于從定義和假設出發(fā)進行概率的計算。就數(shù)學思維而言，“可能性”關注的是現(xiàn)實世界中的隨機事件，隨機思維與確定性思維迥然有異。統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析。因而，小學階段“可能性”的價值就在于通過感受隨機現(xiàn)象培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析觀念。這與“統(tǒng)計與概率”領域的總體課程目標是完全一致的。

美國華盛頓兒童博物館的墻上有這樣一句格言：我聽見了就忘記了，我看見了就記住了，我做過了就理解了。體驗了，方才知其所以然?？赡苄赃@部分內容看似簡單，卻是學生第一次接觸簡單的隨機現(xiàn)象。為此，教學中應引導學生在豐富的活動體驗中感受隨機性，在數(shù)據(jù)思辨中感悟“可能性”，學會從數(shù)據(jù)的角度看待可能性大小，知道有些事情需要通過調查去估計或推斷，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)分析問題的習慣，從而體會相應的思維方式，積累學習經(jīng)驗。

【課中深思】

一、創(chuàng)設情境，實施任務驅動

師：（出示黑色布袋）袋子里裝有若干個紅、黃兩種顏色的球（除顏色外其他都相同），你有什么辦法知道兩種顏色的球各有多少個？

生：把袋子里的球全部倒出來數(shù)一數(shù)就知道了。

師：這個辦法很好，不過技術含量太低了。現(xiàn)在規(guī)定不能倒出來看，也不能直接打開袋子數(shù)。

生：我想知道袋子里紅、黃球一共有多少個？

師：一共有5 個。

生：可能是5 個紅球，或者5個黃球，也可能是4 紅1 黃、3 紅2 黃、2 紅3 黃、1 紅4 黃。

師：你列舉了所有可能的情況。那么，袋子里的球會是其中的哪一種呢？生：3 紅2 黃。師：確定嗎？生：不確定。師：為什么？

生：因為我是亂猜的。

師：如果不亂猜，你們有什么好辦法嗎？

生：摸一次放回去，再摸一次又放回去，這樣可以嗎？

師：這個辦法可行，每摸完一次放回去，搖一搖后再摸。那么，你準備摸幾次？

生：摸5 次。

生：5 次肯定不行。沒那么巧每次摸到都是不同的球。

師：你們的意思是摸5 次太少了？那如果多摸幾次呢？

生：（不確定）多摸幾次，應該可以吧。

師：多摸幾次，說不定真可行，那我們試試？

二、動手操作，經(jīng)歷統(tǒng)計過程

師：以小組為單位，進行實驗操作。每組一個黑色袋子，里面裝有5 個球，球的數(shù)量結構包括5紅、3 紅2 黃、2 紅3 黃和1 紅4黃四種情況。

出示操作要求：

1.閉著眼睛，每次任意摸出一個球。

2.用打“√”的方法把每次摸到球的顏色記錄在表格中，最后統(tǒng)計結果。

3.記錄之后，把摸出的球放回袋中，搖一搖后再摸。

4.10 次10 次地摸（最多30次），摸到可以得出結論為止。

（學生操作后，小組反饋形成下表）

images/BZ_20_265_2210_340_2270.png小組 摸球次數(shù) 顏色統(tǒng)計 預測結果1 20 紅20 次，黃0 次 5 紅2 30 紅18 次，黃12 次 3 紅2 黃3 30 紅15 次，黃15 次 3 紅2 黃4 20 紅9 次，黃11 次 2 紅3 黃5 10 紅10 次，黃0 次 5 紅6 30 紅12 次，黃18 次 2 紅3 黃7 20 紅7 次，黃13 次 2 紅3 黃8 30 紅9 次，黃21 次 2 紅3 黃9 30 紅7 次，黃23 次 1 紅4 黃10 20 紅5 次，黃15 次 1 紅4 黃

三、展開思辨，感悟數(shù)據(jù)價值

1.同樣的數(shù)據(jù)為什么推測出不同的結論？

師：同學們通過小組操作，預測了袋子里的裝球情況。請問，你們是怎樣得到結論的？大家是亂猜的嗎？

生：我們根據(jù)摸球之后記錄的數(shù)據(jù)來猜測結果，但不是亂猜。

師：你說的數(shù)據(jù)是指什么？

生：就是摸到兩種顏色球的次數(shù)。

師：也就是說，你們的結論是根據(jù)兩種顏色的球被摸到的次數(shù)推測出來的，對嗎？

生：（齊）對。

師：我發(fā)現(xiàn)第3 組的數(shù)據(jù)比較特殊，說說你們是怎樣分析的。

生：（3 組）我們組摸到30 次時，紅、黃球次數(shù)一樣，說明袋子里紅球和黃球數(shù)量相差不大，所以可能是3 紅2 黃，也可能是2紅3 黃。

師：你的意思是根據(jù)摸球得到的同樣的數(shù)據(jù)，推測出了兩種不同的結論？還有其他小組也有這樣的想法嗎？

生：（8 組）我們組摸到紅球9次，黃球21 次，黃球明顯多于紅球，可能是1 紅4 黃，也有可能2紅3 黃。

師：同學們能根據(jù)數(shù)據(jù)來推測結果，非常好！雖然同樣的數(shù)據(jù)可能推測出不同的結論，但總比亂猜的結論更可靠一些，同意嗎？

2. 不同的數(shù)據(jù)為什么推測出同樣的結論？

師：觀察統(tǒng)計表，有哪些小組的預測結果是相同的？

生：第1 組和第5 組預測結果都是5 紅，第9 組和第10 組都是1 紅4 黃，還有第2、3 組是3 紅2黃，第4、6、7、8 組是2 紅3 黃。

師：我們再來觀察，預測結果相同的小組得到的數(shù)據(jù)相同嗎？

生：不同。

師：那么，不同的數(shù)據(jù)為什么推測出同樣的結論？舉例說一說。

生：（6 組）我們摸到紅球12次，黃球18 次。紅球比黃球少，但相差不大，所以推測是2 紅3 黃。

生：（8 組）我們摸到紅球9次，黃球21 次。紅球比黃球少，雖然相差較大，但我們覺得有可能是2 紅3 黃。

師：越來越棒了！先根據(jù)誰被摸到的次數(shù)多，就判斷哪種顏色的球多；再看次數(shù)相差得大不大，從而推測出紅球和黃球各有幾個。是這樣嗎？

生：是的。

師：老師發(fā)現(xiàn)，各小組摸的總次數(shù)有10 次、20 次，也有30 次。相對而言，摸30 次的小組多一些，你們怎么看？

生：摸30 次，更能確定袋子里的紅、黃球數(shù)量。

生：摸得次數(shù)越多，預測結果的準確性越高。

師：你們的意思是數(shù)據(jù)越多，結論越準確，是嗎？那摸10 次、20次得出的結論就一定不準確嗎？

生：那也不一定，得看運氣。

生：我認為摸30 次的準確性高于20 次的，摸20 次的準確性高于10 次的。

生：（5 組）我們摸完10 次都是紅球，就覺得袋子里可能全是紅球。

生：（1 組）我們組也是這么想的，但摸完10 次后感覺不放心，萬一有黃球沒摸到呢？于是，又摸了10 次，結果還是紅球。心想運氣不會這么差吧，就不摸了。

師：如果繼續(xù)摸，摸50 次、100 次，甚至是更多次呢？

生：也不一定，如果運氣特別差，還是不能確定的。

師：要完全確定袋子里的裝球情況，怎么辦？

生：打開看一看。

3.同樣的數(shù)量結構為什么摸到的結果不一樣？

（經(jīng)統(tǒng)計，第4 組猜錯，其他小組正確）

師：這么多小組的預測結果正確，說明了什么？

生：說明我們摸了這么多次還是很有用的。

生：說明不能亂猜，要根據(jù)數(shù)據(jù)來猜。

生：根據(jù)數(shù)據(jù)來推測結果，更準確一些。

師：為你們點贊！我們通過摸球得到的數(shù)據(jù)非常有價值，它與袋子里紅球、黃球的個數(shù)確實存在著一定關系?；蛘哒f，這些數(shù)據(jù)是有規(guī)律性的。

師：既然數(shù)據(jù)有規(guī)律性，為什么第4 小組預測結果錯了？

生：（4 組）我們摸了20 次，紅球9 次，黃球11 次，紅球少于黃球，我們就猜了2 紅3 黃。

師：紅球9 次，黃球11 次，你們會怎么猜？

生：我也會猜2 紅3 黃。

師：可實際結果是3 紅2 黃，這是為什么？

生：因為我們是隨意摸的，有可能運氣不太好，得到的數(shù)據(jù)就不準確。

生：說明還是有點不確定。

師：不確定、運氣，在數(shù)學上叫隨機性。第4 組的情況說明數(shù)據(jù)具有隨機性，還有哪里也可以讀出數(shù)據(jù)的隨機性？

生：第2 組和第3 組的結果都是3 紅2 黃，可他們摸出紅球和黃球的次數(shù)不一樣。

師：是的。像這樣，同樣3 紅2 黃的數(shù)量結構摸到的結果卻不一樣，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的隨機性。如果讓你在這些小組的袋子里再摸一次，你可以確定摸到什么顏色的球嗎？

生：第1 組和第5 組的袋子確定，其他組不行。

師：在第1 組或第5 組的袋中再摸一次，一定是？不可能是？

生：一定是紅球，不可能是黃球。

師：第1 組和第5 組袋中的結果能確定，叫確定事件。確定事件包括一定發(fā)生和不可能發(fā)生。其他組都無法確定，摸到的可能是紅球，也可能是黃球，叫不確定事件。如果老師和你玩一個猜摸球顏色的游戲，你有優(yōu)先權，你會選哪個小組的袋子？

生：我選只裝有5 個紅球的袋子，猜紅球肯定贏。

師：如果是3 紅2 黃的袋子，你會猜什么顏色？為什么？

生：紅色。因為紅球多，摸到的可能性大。

師：你一定會贏嗎？

生：不一定。因為摸到的球具有隨機性。

4.不同的數(shù)量結構有可能摸到同樣的結果嗎？

師：如果在3 紅2 黃和2 紅3 黃的袋中分別摸10 次，你覺得有可能摸到同樣的結果嗎？

生：有可能。因為兩個袋子中紅球和黃球數(shù)量相差不大，而數(shù)據(jù)又有隨機性。

師：那如果在3 紅2 黃和1紅4 黃的袋中分別摸10 次呢？

生：看運氣，也有可能，但可能性很小。

師：確實是這樣。數(shù)據(jù)既有規(guī)律性，也有隨機性。我們要相信數(shù)據(jù)，又不能全信。沒有數(shù)據(jù)，很多事情會變得盲目；但過分依賴數(shù)據(jù)，有時也會讓我們的判斷產(chǎn)生偏差。是這樣吧？

生：是的。

四、聯(lián)系生活，提升可能性認識

1. 出示教材第49 頁主題圖“生活中的數(shù)學”，你能用今天學習的知識解釋圖中的現(xiàn)象嗎？

2.日常生活中經(jīng)常會用到可能性的大小，你能舉例說明嗎？

五、課堂小結，回顧學習過程

師：通過這節(jié)課的學習，你對可能性有了什么新的認識？有什么收獲與體會？

【課后研思】

小學生大多是確定性思維，這與我們長期的數(shù)學教學有一定的關系。為什么要學習可能性呢？主要是為了培養(yǎng)學生的隨機思維，讓其學會用概率的眼光去觀察豐富多彩的大千世界。

史寧中教授指出：“統(tǒng)計教學很重要的是培養(yǎng)孩子們對于數(shù)據(jù)的感情?！毙W階段可能性教學更多偏向統(tǒng)計，用數(shù)據(jù)來推斷可能性的大小，核心思想是對不確定事件的關注，讓學生體驗事件發(fā)生的隨機性。課堂中設計“暗袋”，學生沒法看，只能先估，最后才打開看袋子加以印證。為什么要先估呢？在估的過程中更有利于學生親近數(shù)據(jù)，感悟隨機，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的價值，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念。

“暗袋”的特點是引導學生用實驗所得數(shù)據(jù)進行分析，進而推測袋中球的數(shù)量結構。整堂課圍繞“數(shù)據(jù)”展開思辨：同樣的數(shù)據(jù)為什么推測出不同的結論？不同的數(shù)據(jù)為什么推測出同樣的結論？同樣的數(shù)量結構為什么摸到的結果不一樣？不同的數(shù)量結構有可能摸到同樣的結果嗎？這樣的設計實際上是基于新時期學生經(jīng)驗概率的高認知起點，直接跳過了教材的例1 和例2，從例3開始教學，目標定位不是僅停留在概率教學本身，而是引導學生去關注數(shù)據(jù)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識。從課堂效果來看，這樣的教學實踐是適切而科學的。

所謂“觀念”，并不是一種簡單的技能，而是需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的感覺，它反映的是由一組數(shù)據(jù)所引發(fā)的想法，所推測到的可能結果，自覺地想到運用統(tǒng)計的方法解決有關的問題等等。當然，如果我們在課堂教學價值追求上再高一點，甚至上升到哲學層面。我們怎樣用數(shù)學的眼光觀察這個充滿不確定性的客觀世界，用數(shù)學的思維辯證地看待和思考現(xiàn)實問題。相信，對學生的長遠發(fā)展是有所幫助的。

當然，本課的設計與實踐一定還存在許多不足之處，懇請各位方家批評指正！