任蕾 薄華 金欣磊

摘要：信號(hào)分解是線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的理論基礎(chǔ)之一。包含直流信號(hào)的一般信號(hào)可分解為直流信號(hào)與某因果信號(hào)之和的形式，且此類信號(hào)是時(shí)間無(wú)限信號(hào)。針對(duì)連續(xù)直流信號(hào)，由于其微分后的積分運(yùn)算無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)，因此在應(yīng)用卷積微積分性質(zhì)、傅里葉變換時(shí)域積分性質(zhì)、拉普拉斯變換時(shí)域積分性質(zhì)時(shí)，需特別注意直流信號(hào)的特殊性，不能直接使用上述性質(zhì)。同理，針對(duì)離散直流信號(hào)，在應(yīng)用卷積和的差分求和性質(zhì)、離散傅里葉變換的時(shí)域求和性質(zhì)時(shí)，同樣需注意直流信號(hào)的特殊性。本文總結(jié)了直流信號(hào)的各類基本特性，以及在各類應(yīng)用中的特殊方法，并給出實(shí)例說(shuō)明如何應(yīng)用上述性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：直流信號(hào);卷積的微積分性質(zhì);傅里葉變換的時(shí)域積分性質(zhì);拉普拉斯變換的時(shí)域積分性質(zhì);卷積和的差分求和性質(zhì);離散時(shí)間傅里葉變換的時(shí)域求和性質(zhì);信號(hào)與系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：TN911? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）21-0259-03

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Abstract： Signal decomposition is one of the theoretical fundamentals in time-invariant system analysis. Signal which contain DC signal can be decomposed into DC signal and causal signal. And， the signal is time infinite signal. When the differential or difference of DC signal is integrated or summed， the result is not the original signal. Therefore this results in particularity for continuous DC signal when differential and integration property of convolution， time-domain integration property of Fourier transform and time-domain integration property of Laplace transform are applied. It is same for discrete DC signal when applying difference and summation property of convolution， as well as time-domain summation property of DTFT. Those mentioned properties cannot be directly used for DC signal. Several basic properties of DC signal are summarized and examples are given to demonstrate how to apply them.

Key words： DC signal， differential and integration property of convolution， time-domain integration property of Fourier transform， time-domain integration property of Laplace transform ， difference and summation property of convolution， time-domain summation property of DTFT， signals and systems

線性時(shí)不變系統(tǒng)分析應(yīng)用了兩個(gè)重要的理論基礎(chǔ)，一是信號(hào)的分解，二是系統(tǒng)的線性性與時(shí)不變性。線性時(shí)不變系統(tǒng)分析時(shí)，首先將信號(hào)分解為沖激（或脈沖）信號(hào)或復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，令其分別通過(guò)系統(tǒng)后，再將各響應(yīng)進(jìn)行線性組合得到系統(tǒng)響應(yīng)。信號(hào)分解是線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，根據(jù)不同的分解方法，信號(hào)分解包括直流、交流分解，因果分量和反因果分量分解，偶分量、奇分量分解，各類正交函數(shù)分解等[1-6]。本文總結(jié)了包含直流信號(hào)的一般連續(xù)信號(hào)，在卷積運(yùn)算、傅里葉變換和拉普拉斯變換中的特殊性，以及包含直流信號(hào)的一般離散序列，在卷積和運(yùn)算、離散時(shí)間傅里葉變換中的特殊性。同時(shí)，我們分別給出例子說(shuō)明這些性質(zhì)的應(yīng)用方法，總結(jié)了直流信號(hào)作用于因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)的響應(yīng)，以此加強(qiáng)對(duì)直流信號(hào)這一特殊信號(hào)的理解。

1 直流信號(hào)在信號(hào)與系統(tǒng)分析中的特殊性

1.1 包含直流信號(hào)的一般信號(hào)

包含直流信號(hào)的一般信號(hào)[ft]或[fn]，是時(shí)間無(wú)限信號(hào)。此類信號(hào)，除了可以按照直流與交流分量、因果與反因果分量分解以外，還可以分解為直流信號(hào)疊加一個(gè)因果信號(hào)的形式，即有：

其中，[f+t]和[f+n]分別表示上述信號(hào)的因果分量，此類分解不同于直流分量與交流分量分解，也區(qū)別于因果分量和反因果分量的分解形式，這樣處理的優(yōu)勢(shì)在于當(dāng)此類信號(hào)作為激勵(lì)作用于因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，其響應(yīng)的求解可以通過(guò)時(shí)域的卷積或卷積和與變換域的方法進(jìn)行。但由于包含了直流信號(hào)，在應(yīng)用時(shí)域和變換域的某些性質(zhì)時(shí)，有特殊性，需單獨(dú)處理。

1.2 直流信號(hào)在時(shí)域卷積和變換域中的特殊性

由于微分和差分運(yùn)算皆為不可逆的，因此對(duì)上述信號(hào)[ft]或[fn]進(jìn)行微分或差分后，再積分或求和運(yùn)算得到的結(jié)果與原信號(hào)不同，即：

這導(dǎo)致其時(shí)域和變換域分析中的相關(guān)性質(zhì)無(wú)法直接應(yīng)用，下面分別總結(jié)如下。

1）卷積的微積分性質(zhì)[2]

其中[n， m]取整數(shù)，取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)階次，取負(fù)整數(shù)時(shí)為積分階次。根據(jù)（5）可以得到下列推論：

推論1：兩個(gè)信號(hào)卷積的一階微分等于其中之一的信號(hào)微分與另一信號(hào)的卷積，即：

對(duì)式（1）類型的連續(xù)信號(hào)，由于其微分后再進(jìn)行積分與原信號(hào)不一致，因此無(wú)法直接應(yīng)用式（5）-（7）的微積分性質(zhì)進(jìn)行卷積運(yùn)算，而需單獨(dú)計(jì)算其中的直流信號(hào)與其他信號(hào)的卷積。

2）卷積和的差分求和性質(zhì)

上式中[?]表示一階后向差分。當(dāng)信號(hào)[f1n]中包含直流信號(hào)時(shí)，無(wú)法直接應(yīng)用上述性質(zhì)，需單獨(dú)計(jì)算其中的直流信號(hào)與信號(hào)[f2n]的卷積和。

3）傅里葉變換的時(shí)域積分性質(zhì)[1]

已知傅里葉變換對(duì)：[ft?Fjω]，則傅里葉變換的時(shí)域積分性質(zhì)為：

在應(yīng)用本性質(zhì)時(shí)，往往待求信號(hào)[f-1t]微分后的傅里葉變換易求或已知，但若信號(hào)[f-1t]中含有直流信號(hào)，則同樣無(wú)法直接應(yīng)用上述性質(zhì)，原因同上。

4）離散時(shí)間傅里葉變換的時(shí)域求和性質(zhì)[3]

類似的，對(duì)離散序列有已知傅里葉變換對(duì)：[fn?Fejω]，則離散時(shí)間傅里葉變換的時(shí)域求和性質(zhì)為：

在應(yīng)用本性質(zhì)時(shí)，一般的，待求信號(hào)的一階后向差分信號(hào)[fn]的傅里葉變換已知或易求得，但若信號(hào)[k=-∞nfk]中含有直流信號(hào)，則無(wú)法直接應(yīng)用上述性質(zhì)。

5）拉普拉斯變換的時(shí)域積分性質(zhì)[3]

由于拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，若[ft?Fs，ROC]，則拉普拉斯變換的時(shí)域積分性質(zhì)為[3]：

與傅里葉變換類似，當(dāng)信號(hào)[f-1t]中包含直流信號(hào)時(shí)，無(wú)法直接應(yīng)用上述性質(zhì)。

2 直流信號(hào)應(yīng)用舉例與總結(jié)

為說(shuō)明直流信號(hào)分析的特殊性，分別給出連續(xù)和離散信號(hào)的幾個(gè)例子說(shuō)明總結(jié)的各性質(zhì)應(yīng)用方法。針對(duì)連續(xù)信號(hào)，以包含直流信號(hào)的一般信號(hào)[1+ut]為例，針對(duì)離散序列，以[1+un]為例。進(jìn)而，計(jì)算該信號(hào)與因果信號(hào)的卷積或卷積和，以及信號(hào)[1+ut]的傅里葉變換與拉普拉斯變換，序列[1+un]的離散傅里葉變換。

通過(guò)上述例題說(shuō)明，應(yīng)用卷積的微積分性質(zhì)時(shí)，若信號(hào)中包含直流信號(hào)，則該信號(hào)不能直接作為微分的信號(hào)。此外，該例題可視作全激勵(lì)信號(hào)[1+ut]作用于沖激響應(yīng)為[e-2tut]的連續(xù)因果穩(wěn)定線性時(shí)不變系統(tǒng)的全響應(yīng)求解，此響應(yīng)中包括了零時(shí)刻之前的響應(yīng)，這是由于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)刻接入的激勵(lì)導(dǎo)致的[7]。

通過(guò)上述例題說(shuō)明，應(yīng)用卷積和的差分求和性質(zhì)時(shí)，若序列中包含直流信號(hào)，則該信號(hào)不能直接作為差分的信號(hào)。此外，該例題同樣可視作全激勵(lì)離散信號(hào)作用于脈沖響應(yīng)為[12nun]的離散因果穩(wěn)定線性時(shí)不變系統(tǒng)的全響應(yīng)，此響應(yīng)中包括了零時(shí)刻之前的響應(yīng)，是由于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)刻接入的激勵(lì)導(dǎo)致的。

例5：求信號(hào)[1+un]的離散時(shí)間傅里葉變換。

解：注意到離散直流信號(hào)不僅是直流信號(hào)，同時(shí)還是周期為1的周期序列。因此借助單位離散直流信號(hào)的傅里葉變換[3]為：

值得注意的是，由于直流序列的z變換收斂域不存在，此處對(duì)其差分求和性質(zhì)不做討論。同時(shí)，根據(jù)上述總結(jié)和例題分析，我們將直流信號(hào)作用于因果穩(wěn)定線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)的響應(yīng)的一般情況總結(jié)如下。

假設(shè)符合上述條件的N階連續(xù)或離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)或脈沖響應(yīng)（僅給出系統(tǒng)特征根無(wú)重根情況）分別為：[ht=i=1Npieλitut]，[hn=j=1Nkjanjun]，其中，[λi，i=1，…，N]和[aj，j=1，…，N]分別是上述系統(tǒng)的特征根，且滿足：[Reλi<0，?i=1，…，N]和[aj<1，?j=1，…，N]。因此，當(dāng)直流激勵(lì)[ft=A]或[fn=B]分別作用于此類系統(tǒng)時(shí)，其響應(yīng)分別為：

即當(dāng)直流激勵(lì)作用于因果穩(wěn)定線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，其得到的響應(yīng)也是直流信號(hào)。

3 結(jié)語(yǔ)

直流信號(hào)是一類特殊的信號(hào)。在應(yīng)用卷積的微積分性質(zhì)、卷積和的差分求和性質(zhì)、傅里葉變換的時(shí)域積分性質(zhì)、離散時(shí)間傅里葉變換的時(shí)域求和性質(zhì)、拉普拉斯變換的時(shí)域積分性質(zhì)中，針對(duì)直流信號(hào)都需單獨(dú)處理，不能直接應(yīng)用。本文對(duì)上述特性進(jìn)行了總結(jié)，并給出了應(yīng)用實(shí)例。

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【通聯(lián)編輯：王力】