韓佩杉 伍泓錦 黃博文 楊浩林 賈欣燕 劉其軍 常相輝 魏 云 樊代和

(物理國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(西南交通大學(xué))，西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 611756)

1 導(dǎo)出問題

圖1 相機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖(a)為星芒形成示意圖，a表示光源，b表示前透鏡組，c表示光圈，d表示后透鏡組，e表示相機(jī)底片； (b)為光圈示意圖，從左到右依次為較大孔徑的六葉片光圈、較小孔徑的六葉片光圈、較小孔徑的八葉片光圈

提燈輻射現(xiàn)象是個有趣的生活現(xiàn)象：當(dāng)用相機(jī)拍攝一個發(fā)光的提燈(假設(shè)為一球狀光源)時(shí)，相機(jī)底片中會顯示有許多輻射狀光線從提燈的中心射出，如圖1(a)中相機(jī)底片上的圖片所示。人們把這種現(xiàn)象稱為提燈輻射現(xiàn)象，底片中圍繞實(shí)際成像點(diǎn)射出的輻射狀光線稱為星芒。同時(shí)，提燈輻射現(xiàn)象也是2018年IYPT的一個賽題[1]，此題要求解釋星芒現(xiàn)象的產(chǎn)生原因，同時(shí)研究影響星芒數(shù)量和形狀的因素。

通常，相機(jī)主要由鏡頭部分和含有感光元件的暗箱構(gòu)成。進(jìn)一步，鏡頭部分由透鏡組和光圈構(gòu)成。透鏡組用于將發(fā)光物體聚焦到暗箱中的底片平面，即焦平面以清晰成像[2]。光圈用于控制到達(dá)相機(jī)底片的光的強(qiáng)度，通常是由多個葉片組合而成的孔狀結(jié)構(gòu)，其形狀可如圖1(b)所示。組成光圈的葉片之間的開合可調(diào)節(jié)光圈的大小,葉片個數(shù)(即正多邊形的邊數(shù))將影響光圈孔的形狀，當(dāng)葉片個數(shù)足夠多時(shí)，相機(jī)光圈將接近一個真實(shí)圓形。實(shí)際上，星芒現(xiàn)象的出現(xiàn)是實(shí)際光線通過光圈結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)生了衍射現(xiàn)象。

目前，光源發(fā)出的光經(jīng)過小孔的衍射現(xiàn)象理論已經(jīng)較為成熟，如楊植宗等人定性解釋了光的衍射原理[3]；德國的馬科斯·波恩和美國的埃米爾·沃爾夫定量解釋了光通過不同形狀孔的衍射情況[4]；姚啟鈞解釋了光的衍射現(xiàn)象并得出在夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)內(nèi)的衍射積分公式的一般形式[5]；戴又善研究了正n邊形小孔夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布[6]等。通過這些現(xiàn)有理論結(jié)果可判斷，相機(jī)底片中星芒現(xiàn)象的出現(xiàn)與光通過相機(jī)中非圓形孔狀結(jié)構(gòu)的光圈后產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象有關(guān)。然而，現(xiàn)有針對衍射現(xiàn)象的理論研究大都是探討星芒個數(shù)與孔的邊數(shù)的關(guān)系，同時(shí)對星芒細(xì)銳度影響因素的探究尚不夠全面，特別是實(shí)際相機(jī)成像中星芒現(xiàn)象出現(xiàn)的具體原因，以及相關(guān)參數(shù)對其的影響還未見報(bào)道。

本文主要分析實(shí)際光線通過光圈后的成像，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為簡單的物理模型，利用光的衍射理論，結(jié)合數(shù)值模擬分析，從理論上徹底解釋了星芒現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，以及相關(guān)因素對星芒個數(shù)及細(xì)銳度的影響。進(jìn)一步，本文使用具有不同葉片數(shù)和不同孔徑大小光圈的相機(jī)對發(fā)光物體進(jìn)行了拍照實(shí)驗(yàn)，利用軟件分析了相機(jī)底片中星芒的個數(shù)及細(xì)銳度等參數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬一致。

2 理論分析

提燈主要由中心光源和周圍玻璃構(gòu)成，當(dāng)相機(jī)距離提燈足夠遠(yuǎn)進(jìn)行拍照時(shí)，其可以看作一個點(diǎn)光源。根據(jù)相機(jī)的成像原理[7]，整個相機(jī)成像過程可由圖1(a)所示的物理模型進(jìn)行分析。假設(shè)光源發(fā)出波長為λ的光，先后經(jīng)過前透鏡組b、光圈c、后透鏡組d后交于相機(jī)底片e上，最后分析底片上衍射光的光強(qiáng)分布即可對星芒現(xiàn)象進(jìn)行研究。由于光源距離鏡頭很遠(yuǎn)，入射光可以近似為平行光。

對如圖1(b)所示的實(shí)際相機(jī)中的光圈而言，其實(shí)際為一個正n邊形孔，此孔可看為是由n個等腰三角形孔組成，假設(shè)每個等腰三角形的底邊長為L，高為h，三角形內(nèi)任一平行于底邊的線長為l，如圖2所示。

圖2 正n邊形光圈的等效等腰三角形孔示意圖

根據(jù)菲涅耳直邊衍射分析[8，9]可知，光通過相機(jī)的光圈時(shí)，會在每個葉片(即正多邊形底邊)上產(chǎn)生一束垂直于傳播方向的衍射峰，投影到相機(jī)底片上時(shí)整體顯現(xiàn)出由中心向外發(fā)射的星芒現(xiàn)象。當(dāng)光源距離相機(jī)光圈較遠(yuǎn)時(shí)，由于傍軸近似，光源可以看作點(diǎn)光源，其發(fā)出的光經(jīng)前透鏡組準(zhǔn)直，可以近似獲得平面波，菲涅耳衍射近似為夫瑯禾費(fèi)衍射。另外，菲涅耳衍射需要使用復(fù)雜的積分，計(jì)算量大，難以得到準(zhǔn)確的解析解。而夫瑯禾費(fèi)衍射通過簡單的計(jì)算即可得到比較精確的衍射光強(qiáng)分布。因此要研究光通過一個正n邊形光圈的衍射情況，只需要分別求出光通過n個小三角形的衍射場復(fù)振幅分布，最終將所有小三角形衍射場復(fù)振幅分布疊加即可[10，11]。

圖3 不同邊數(shù)孔的衍射光強(qiáng)二維分布圖 (a) 正三角形孔； (b) 正四邊形孔； (c) 正六邊形孔； (d) 正七邊形孔； (e) 正八邊形孔； (f) 正十四邊形孔

平行光通過如圖2所示的最上面的一個三角形孔后光波的復(fù)振幅分布可寫為[6]

(1)

(2)

將式(2)代入式(1)可以得到轉(zhuǎn)動φk后的等腰三角形小孔的衍射光波復(fù)振幅分布表達(dá)式：

(3)

若將n個小三角形孔看作n個同頂點(diǎn)的全同孔組成的陣列，則通過正n邊形孔的光波復(fù)振幅分布為所有等腰三角形的復(fù)振幅疊加[10]：

(4)

因此，當(dāng)平行光通過一個正n邊形孔組成的光圈后，相機(jī)底片中所成像的光強(qiáng)分布可寫為

I(n)=|E(n)|2

(5)

結(jié)合式(4)、(5)可以看出，相機(jī)底片上的任一點(diǎn)的相對光強(qiáng)大小與n值和L值有關(guān)，其中n值代表相機(jī)光圈的葉片數(shù)；L值決定了光圈大小，可通過調(diào)節(jié)相機(jī)設(shè)置中的光圈大小值來改變。為了更明顯看出其相應(yīng)關(guān)系，我們可以引入傅里葉光學(xué)中的夫瑯禾費(fèi)衍射公式，代入二維三角函數(shù)的傅里葉變換，得出通過一個三角形孔的光波在觀察平面上的復(fù)振幅分布[13]：

圖4 不同孔徑大小的衍射光強(qiáng)分布圖(a) L=0.005m； (b) L=0.004m； (c)L=0.003m

(6)

由于最終結(jié)果仍較為復(fù)雜，我們采用Mathematica軟件進(jìn)行數(shù)值仿真模擬以增加可觀性。

首先，通過僅改變n值，保持多邊形孔外徑不變，模擬葉片數(shù)對星芒的影響。仿真時(shí)，取正多邊形孔的外徑為0.006m，波長選取為λ=400nm，可以得到相機(jī)底片中所成像的強(qiáng)度二維分布圖，結(jié)果如圖3所示。

圖3中，從(a)到(f)，分別表示當(dāng)光圈結(jié)構(gòu)分別為正三、四、六、七、八、十四邊形(即n=3、4、6、7、8、14)時(shí)得到的二維強(qiáng)度分布圖。從圖3(a)到圖3(f)中可以看出：星芒出現(xiàn)的個數(shù)分別為：6、4、6、14、8、14條。由此可得知，構(gòu)成相機(jī)光圈的葉片數(shù)在上述范圍時(shí)，出現(xiàn)星芒個數(shù)與葉片數(shù)之間的關(guān)系為：當(dāng)相機(jī)光圈為中心對稱圖形時(shí)，出現(xiàn)的星芒個數(shù)為葉片數(shù)；當(dāng)相機(jī)光圈為軸對稱而非中心對稱圖形時(shí)，星芒個數(shù)為葉片數(shù)的二倍。我們同時(shí)模擬了更多不同n值對應(yīng)的仿真圖像，均得到了如上相同的結(jié)論。對該現(xiàn)象進(jìn)行定性分析可知，光線在通過光圈時(shí)，在每個葉片上都產(chǎn)生一對垂直于葉片方向的星芒。偶數(shù)個葉片的光圈為中心對稱圖形，對邊上產(chǎn)生的星芒方向重合，因此n個偶數(shù)葉片將形成n條星芒；對于奇數(shù)邊的情況，光圈為軸對稱而非中心對稱圖形,每個葉片上產(chǎn)生的星芒方向都不相同,因此n個葉片將形成2n個星芒。實(shí)際上，我們模擬了當(dāng)n=50時(shí)的多邊形孔(近似于圓孔)，星芒現(xiàn)象將接近消失，即多邊形孔衍射趨近于圓孔衍射。

其次，當(dāng)保持相機(jī)光圈葉片個數(shù)為8，即n=8，改變L值(即改變光圈孔徑大小)，數(shù)值模擬得到了入射光通過光圈后的二維光強(qiáng)分布圖，結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以直觀地看出，當(dāng)光圈的邊長從0.005m變到0.003m時(shí)，單條星芒的寬度將越來越細(xì)。因此，可以認(rèn)為，光圈孔徑大小將影響出現(xiàn)的星芒的細(xì)銳度：當(dāng)光圈的孔徑越小時(shí)，星芒將越細(xì)銳，即衍射效果愈明顯，完全符合夫瑯禾費(fèi)衍射特點(diǎn)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證以上數(shù)值模擬結(jié)果，在距離鏡頭較遠(yuǎn)情況下，將普通節(jié)能燈近似為點(diǎn)光源，選取同種型號但具有不同葉片數(shù)的鏡頭進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。為了減少環(huán)境光對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，整個實(shí)驗(yàn)在完全黑暗的環(huán)境下進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)時(shí)，將一節(jié)能燈固定在實(shí)驗(yàn)室走廊的一端，將相機(jī)固定在距離節(jié)能燈約10m遠(yuǎn)的三腳架上，并保持鏡頭和燈泡正對且等高，最后通過相機(jī)拍攝了若干不同條件下的照片。

首先，保持相機(jī)光圈大小不變，研究了光圈葉片的個數(shù)對星芒個數(shù)的影響。我們以光圈大小F22為固定值，曝光時(shí)間固定為10s，焦距為150mm，分別更換光圈葉片數(shù)為6、7、8的鏡頭對光源進(jìn)行了拍攝，拍攝得到的成像圖最終轉(zhuǎn)換為一700×700像素的灰度圖像，如圖5所示。

從圖5可以看出，當(dāng)選用光圈的葉片數(shù)分別為6、7、8時(shí)，出現(xiàn)星芒的個數(shù)分別為6、14、8，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與上述數(shù)值模擬規(guī)律一致。受實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有鏡頭組條件所限，沒有進(jìn)行更少或更多葉片數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究。

其次，保持葉片個數(shù)不變，探究了光圈大小對出現(xiàn)的星芒細(xì)銳度的影響。選用光圈葉片數(shù)為8的鏡頭，固定曝光時(shí)間為10s，焦距為150mm，改變光圈大小分別為F16、F18、F22。由于F=鏡頭的焦距/鏡頭光圈的直徑，因此對應(yīng)的正八邊形光圈的實(shí)際邊長分別為3.6mm、3.2mm、2.6mm。最終得到的圖像如圖6所示。

圖6 葉片數(shù)為8時(shí)，改變不同光圈大小的拍攝圖像(a) 光圈大小為F16； (b) 光圈大小為F18； (c) 光圈大小為F22。其中橫向白色的水平線表示縱向700像素中，第200像素所在的位置

從圖6中可以看出，隨著相機(jī)光圈邊長的減小，出現(xiàn)的星芒的細(xì)銳度越高。為了更直觀地?cái)?shù)值分析圖6中出現(xiàn)的星芒的細(xì)銳度，我們利用LabVIEW軟件分析了圖6三幅圖中，縱向坐標(biāo)在第200處(如圖中的淺灰線所示)的水平線的歸一化灰度圖，結(jié)果如圖7所示。通過比較最中間星芒所占的像素范圍的大小(范圍越小，說明細(xì)銳度越高)，即可直接分析星芒的細(xì)銳度。

圖7 縱向坐標(biāo)為200像素點(diǎn)的橫向歸一化灰度圖(圖6中淺灰線位置)

圖7中，每條曲線的3個峰分別表示了圖6中每張圖淺灰色橫線所在位置出現(xiàn)3個峰，直接比較最中間峰所占用的像素值范圍即可得知細(xì)銳度的大小?？梢钥闯?，隨著光圈F值越大，即光圈的實(shí)際孔徑越小(L越小)，峰中心光強(qiáng)越大，同時(shí)對應(yīng)的像素范圍也越小，表明形成的星芒將越細(xì)銳。該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析基本一致。事實(shí)上，我們也分別用六葉片和七葉片的相機(jī)鏡頭進(jìn)行了類似的探究細(xì)銳度的實(shí)驗(yàn)，均得到了相同的規(guī)律。

4 總結(jié)與討論

本文從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面對星芒現(xiàn)象進(jìn)行了研究。首先從理論上給出了平行光通過不同形狀和大小的孔后的光強(qiáng)分布表達(dá)式，并用Mathematica軟件數(shù)值仿真模擬了不同條件下星芒現(xiàn)象的特征，得出了光圈葉片數(shù)與星芒個數(shù)的關(guān)系為：當(dāng)相機(jī)光圈為中心對稱的正多邊形時(shí)，出現(xiàn)的星芒個數(shù)為葉片數(shù)；當(dāng)相機(jī)光圈為軸對稱而非中心對稱的正多邊形時(shí)，星芒個數(shù)為葉片數(shù)的二倍。同時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果得出：鏡頭光圈孔邊長越小，星芒將越細(xì)銳。進(jìn)一步，本文對星芒現(xiàn)象也進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。通過利用具有不同光圈結(jié)構(gòu)的相機(jī)對實(shí)際光源進(jìn)行拍照，分析了相機(jī)底片中出現(xiàn)的星芒數(shù)量和細(xì)銳度等問題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)論一致。本文也較為完美地解決了2018年IYPT賽題之一中提到的提燈輻射問題。