方晨寧

摘 要：為了解決傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制中統(tǒng)計(jì)量之間不滿足相互獨(dú)立的現(xiàn)象，利用Hotelling T2統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造殘差控制圖，建立了多元自相關(guān)模型，研究了在多元自相關(guān)情況下控制圖的控制效果，并在參數(shù)已知的前提下構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，引出了過(guò)程偏移量的概念。通過(guò)蒙特卡洛隨機(jī)模擬的試驗(yàn)方法并引入平滑系數(shù)得出在不同偏移量λ下的平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)，擬合出平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL和偏移量λ之間的函數(shù)關(guān)系，最后用算例驗(yàn)證了T2統(tǒng)計(jì)量的殘差控制圖對(duì)出現(xiàn)偏移的多元自相關(guān)過(guò)程有管控作用。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制;多元自相關(guān);Hotelling T2控制圖

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.27.098

1 引言

統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制（SPC，Statistical Process Control）在現(xiàn)代工業(yè)中的應(yīng)用十分廣泛，它在實(shí)施過(guò)程監(jiān)控、提高產(chǎn)品質(zhì)量中起到了十分重要的作用。此外，統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制理論提供了多種控制圖來(lái)監(jiān)測(cè)過(guò)程的集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)。但是，傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制理論全部基于過(guò)程觀測(cè)數(shù)據(jù)獨(dú)立這一基本假設(shè)，而在實(shí)際工作中，過(guò)程數(shù)據(jù)并不是總能滿足這一假設(shè)前提，如化工、制藥等連續(xù)型生產(chǎn)等，多數(shù)數(shù)據(jù)會(huì)存在自相關(guān)現(xiàn)象。當(dāng)存在這一現(xiàn)象時(shí)，傳統(tǒng)的理論不能有效、恰當(dāng)?shù)乜刂坪透倪M(jìn)過(guò)程質(zhì)量，在某些情況下，甚至?xí)霈F(xiàn)大量的虛發(fā)警報(bào)現(xiàn)象，給質(zhì)量管理、質(zhì)量控制工作帶來(lái)嚴(yán)重誤導(dǎo)，使控制圖的應(yīng)用效果大為降低，甚至喪失監(jiān)控作用。

近年來(lái)，隨著生產(chǎn)力的提高，數(shù)據(jù)自相關(guān)現(xiàn)象逐步引起學(xué)術(shù)界的重視。一種解決方法是降低過(guò)程平穩(wěn)時(shí)的抽樣頻率，但這一方法卻使信息遺失的概率大大增加。另一種是使用時(shí)間序列模型，通過(guò)建立時(shí)序模型對(duì)過(guò)程觀測(cè)值進(jìn)行擬合，再利用數(shù)據(jù)殘差構(gòu)造殘差控制圖。即使這樣，大多學(xué)術(shù)界的成果還是局限于一元過(guò)程，多元問(wèn)題相當(dāng)于多元的隨機(jī)過(guò)程，它在原有的基礎(chǔ)上增加了時(shí)間軸，而數(shù)據(jù)的自相關(guān)性更加增大了難度。但是，從質(zhì)量控制的實(shí)際應(yīng)用角度來(lái)考慮，多元自相關(guān)理論具有重大的應(yīng)用價(jià)值。目前，已有學(xué)者研究出對(duì)于多元自相關(guān)過(guò)程的控制方法，如多元的CUSUM控制圖，主成分分析法，多元EWMA控制圖，具有診斷功能的Z圖，卡爾曼濾波法等。清華大學(xué)的孫靜和楊穆?tīng)柦淌谔岢隽硕韵嚓P(guān)過(guò)程的殘差T2控制圖，并對(duì)其進(jìn)行了效果分析，在此基礎(chǔ)上分析了多元自相關(guān)的殘差T2控制圖，研究出對(duì)多元自相關(guān)過(guò)程中均值偏移程度的描述方法。

本文首先介紹了p 階自回歸的VAR模型，然后設(shè)計(jì)Hotelling T2控制圖，探討了平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL隨著偏移量而變化的曲線，并給出相對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，最后通過(guò)一個(gè)多元自相關(guān)的模型算例驗(yàn)證了這一關(guān)系，殘差控制圖可以很好地控制當(dāng)多元自相關(guān)過(guò)程出現(xiàn)偏移時(shí)的情況。

2 多元自相關(guān)的模型建立

我們用Xt表示一個(gè)d元自相關(guān)過(guò)程，它服從平穩(wěn)的p階VAR（p）模型，觀測(cè)值序列為：

3 殘差控制圖的設(shè)計(jì)與偏移量分析

承接上文，由于觀測(cè)值序列Xt是多元自相關(guān)的，所以Xt不符合HotellingT2統(tǒng)計(jì)量的獨(dú)立性假設(shè)，但是隨機(jī)誤差矩陣εt是一個(gè)白噪聲序列，符合獨(dú)立性假設(shè)，有

當(dāng)分布參數(shù)λ發(fā)生變化時(shí)，則相應(yīng)的卡方分布也會(huì)發(fā)生改變，統(tǒng)計(jì)量T2的均值由d變?yōu)閐+λ0，方差由2d變?yōu)?d+4λ0，其中λ0為偏移后的分布參數(shù)。所以，λ0越大，分布的差異越大，偏移程度越顯著。

由λ的表達(dá)式可知，λ的計(jì)算涉及自回歸系數(shù)矩陣Ai，協(xié)方差矩陣Σ和均值偏移向量Δ，所以可以認(rèn)為用λ作為本文的偏移量來(lái)測(cè)算多元自相關(guān)過(guò)程的控制偏差是合理的。

4 殘差控制圖的效果分析

平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL是作為判斷統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制圖控制效果好壞的一種常用評(píng)判工具，在多元自相關(guān)過(guò)程中，同樣可以通過(guò)計(jì)算ARL來(lái)評(píng)價(jià)控制圖的控制效果。

當(dāng)已知偏移量λ和虛發(fā)警報(bào)概率時(shí)，我們可以計(jì)算出平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL的數(shù)值，但由于首先需要知道上控制限UCL以及相對(duì)應(yīng)的卡方分布通過(guò)不定積分才能求出觸發(fā)警報(bào)的概率P，再通過(guò)公式ARL=1P得出結(jié)果。但這種傳統(tǒng)方法不僅計(jì)算過(guò)于繁雜，且往往很難給出正確結(jié)果，所以，本文將不采取這一方法。

不失一般性地，本文將采取蒙特卡洛隨機(jī)模擬的方法進(jìn)行對(duì)多元自相關(guān)過(guò)程殘差控制圖在不同的分布參數(shù)λ下的平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL的分析。為了方便計(jì)算描述，我們令一個(gè)二元自相關(guān)過(guò)程服從平穩(wěn)的VAR（1）模型，均值μ=0，則表達(dá)式為：

引入平滑系數(shù)α，利用MATLAB進(jìn)行多次模擬計(jì)算，當(dāng)α取不同數(shù)值時(shí)，發(fā)現(xiàn)未發(fā)生偏移時(shí)的平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL0總是徘徊在200左右，見(jiàn)表2。因此本文選取ARL0=200，T=0.005，利用偏移量公式λ=I-AiΣΔTΣ-1I-AiΣΔ，計(jì)算出λ的取值范圍可從0到700。

ARL隨λ變化的模擬曲線如圖1所示。

由圖1可知，平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL隨著偏移量λ的增大呈指數(shù)型遞減，最終逐漸收斂于1，擬合的函數(shù)關(guān)系式為ARL=exp（-1.82λ+5.523）+1。顯然，當(dāng)λ>0.34時(shí)，相對(duì)應(yīng)的ARL的取值遠(yuǎn)小于未發(fā)生偏移的平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL0，且ARLλ

5 算例分析

為了便于驗(yàn)證，下面用一個(gè)二元自相關(guān)過(guò)程作為算例來(lái)證明Hotelling T2控制圖的監(jiān)控情況。假設(shè)單變量自相關(guān)過(guò)程可以用VAR（1）模型表示，則由公式（1）可知：

6 結(jié)論

近年來(lái)，隨著生產(chǎn)力水平的提高、產(chǎn)品質(zhì)量的迅速提升、質(zhì)量控制的日益嚴(yán)格，自相關(guān)問(wèn)題漸漸引起國(guó)際上質(zhì)量專家們的重視。本文根據(jù)多元自相關(guān)過(guò)程在統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制中無(wú)法滿足獨(dú)立性假設(shè)的情況，建立了VAR（p）模型，其殘差εt服從正態(tài)分布，滿足獨(dú)立性質(zhì)，利用統(tǒng)計(jì)量T2構(gòu)造了殘差控制圖，并給出了過(guò)程偏移量λ的定義。利用蒙特卡洛隨機(jī)模擬，引入平滑系數(shù)，結(jié)合一個(gè)簡(jiǎn)單的二元自相關(guān)例子得出控制圖的平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL隨偏移量λ的變化曲線，擬合出ARL與λ的函數(shù)關(guān)系，得出平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL隨著偏移量λ的增大而呈指數(shù)型遞減，且結(jié)果收斂于1。隨機(jī)試驗(yàn)表明，Hotelling T2的殘差控制圖可以有效管控出現(xiàn)較大偏移的多元自相關(guān)統(tǒng)計(jì)過(guò)程，然而，對(duì)于出現(xiàn)小偏移的多元自相關(guān)過(guò)程則監(jiān)控效果較差。