高斯束層析與全波形反演聯(lián)合速度建模

劉定進 胡光輝 蔡杰雄 倪 瑤 何兵紅

(中國石化石油物探技術(shù)研究院，江蘇南京 211103)

0 引言

基于全波場模擬從地震觀測記錄中獲取定量信息的全波形反演(Full waveform inversion，F(xiàn)WI)是一項充滿挑戰(zhàn)的高精度速度反演技術(shù)。相對于常規(guī)的速度建模方法(如旅行時層析成像)，F(xiàn)WI兼顧了數(shù)據(jù)中所有的信息分量，因此它具備更高分辨率的速度建模的潛力。20世紀80年代Tarantola[1]提出時間域FWI技術(shù)，但受當時計算能力的限制，F(xiàn)WI技術(shù)發(fā)展緩慢； 90年代Pratt[2]將該技術(shù)引入頻率域并促成其快速發(fā)展。通過進一步研究，Pratt[3]發(fā)現(xiàn)，使用低頻和大炮檢距信息做頻率域FWI，更有利于準確構(gòu)建復(fù)雜的地下地質(zhì)構(gòu)造模型。

FWI是高分辨率的反演方法，在最佳情況下，其分辨精度可達波長一半[4-5]。基于最優(yōu)化理論，F(xiàn)WI目標泛函的梯度可由伴隨狀態(tài)法有效構(gòu)建，從而避免了Fréchet矩陣的大規(guī)模運算[6-7]。然而，波動方程的強非線性使FWI在實際應(yīng)用時須依賴于較準確的宏觀速度模型(尤其是中低波數(shù)部分)和觀測數(shù)據(jù)的低頻信息。Shi等[8]指出FWI是高度非線性和“病態(tài)”的問題，當初始模型與真實模型足夠接近時，目標泛函才能避開局部極值而收斂到全局最優(yōu)點。

近年來，隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展和一系列優(yōu)化算法的出現(xiàn)，三維聲波FWI的應(yīng)用陸續(xù)出現(xiàn)[9-11]。但這些成功案例大多應(yīng)用于海上數(shù)據(jù)。楊勤勇等[12]分析了陸地資料的應(yīng)用難點，并展望了陸地資料的應(yīng)用前景。胡光輝等[13]提出了利用早至波波形反演解決近地表建模問題的方案。

本文研發(fā)了基于高斯束層析的速度建模技術(shù)，有效彌補了速度模型中的中波數(shù)成分，降低了FWI技術(shù)對數(shù)據(jù)低頻的依賴；利用基于相位匹配的目標泛函和偽保守波動方程，降低了FWI局部極值性并解決了海量計算量難題，從而實現(xiàn)了射線層析→高斯束層析→全波形反演的遞進式速度建模方案，并成功應(yīng)用于三維陸地實際資料。

1 高斯束層析宏觀速度建模

反演過程的強非線性特征是制約FWI方法在實踐中取得突破的關(guān)鍵，使FWI在應(yīng)用層面依賴于高精度的初始速度模型。針對這一問題，本文研發(fā)了高斯束層析速度建模技術(shù)，利用波動方程波路徑替代傳統(tǒng)射線層析的高頻傳播路徑，彌補了射線層析無法分辨的中波數(shù)速度成分，為FWI提供了高精度宏觀速度模型，有效避免了周波跳躍現(xiàn)象。此外，本文基于高斯束傳播算子計算波動方程旅行時層析核函數(shù)，在兼顧精度的同時，提高了層析核函數(shù)計算效率。

1.1 成像域波動旅行時層析核函數(shù)

層析反演是構(gòu)建宏觀速度模型最為重要的方法之一，結(jié)合偏移算法在成像域進行旅行時層析速度反演是當前較成熟、有效且廣泛應(yīng)用的技術(shù)。本文應(yīng)用成像域高斯束層析反演技術(shù)為FWI提供宏觀速度模型，以緩解FWI面臨的初始速度建模難題。

成像域波路徑層析核函數(shù)的推導(dǎo)與成像條件相關(guān)，角度域高斯束偏移(GBM)單炮成像條件表示為

IGBM(x,θ,φ,ω)=S(x,ps,ω;xs)R*(x,pr,ω;xs)

(1)

式中：ps和pr分別代表從炮點和檢波點傳播到成像點x的慢度矢量；IGBM(x,θ,φ,ω)是頻率域表示的角度成像結(jié)果(共方位—反射角成像道集)；S(x,ps,ω;xs)表示從炮點出發(fā)的下行高斯束波場；R(x,pr,ω;xs)表示從檢波點出發(fā)的上行高斯束波場；x=(x,y,z)表示成像點坐標；θ、φ分別表示成像點的反射張角及方位角； “*”表示共軛； 下標“s”和“r”均分別對應(yīng)炮點和檢波點。

與熟知的單程波成像條件(在波場傳播時沒有顯式地得到慢度矢量p)類似，高斯束成像也是激勵時間成像條件。

在波動方程的一階Born近似下，波場U可分解為背景波場U0和擾動波場ΔU，即

U=U0+ΔU

(2)

因此從式(1)可近似得到擾動像

ΔIGBM(x,θ,φ,ω)

S0(x,ps,ω;xs)ΔR*(x,pr,ω;xs)

(3)

式中：S0(x,ps,ω;xs)和R0(x,pr,ω;xs)分別表示在背景速度模型中從炮點和檢波點傳播到空間任意一點x的波場； ΔS、ΔR為對應(yīng)的一階Born近似散射場。式(3)表明，成像點x處像的擾動來自炮點端和檢波點端兩個分支的影響。

進一步地，根據(jù)一階Born近似散射場的表達和分解原理[14]， ΔS與ΔR*可分別表示為

(4)

將式(4)代入式(3)，從形式上可給出像的擾動(左端項)與速度擾動(右端項)的關(guān)系式。但在實際操作時，顯然不能直接利用該式進行層析反演！通過對比、分析可知：數(shù)據(jù)域?qū)游龇囱堇玫氖钦輸?shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的差在某種范數(shù)(如L2)下的最小值作為誤差泛函，其實測數(shù)據(jù)是客觀的，可直接用來做逼近標準；而若直接用式(3)做成像域反演，則因客觀上無法得到真實像IGBM(x,θ,φ,ω)而無法得到擾動像ΔIGBM(x,θ,φ,ω)，故其本質(zhì)是利用一個未知的中間量估計另一未知量Δv。直接利用像的擾動進行反演缺乏嚴格的判斷標準。

從另一個角度分析，像的擾動是一個綜合概念，其實質(zhì)包括了旅行時(位置)擾動和振幅擾動。實際計算時需將像的擾動退化為旅行時(深度)擾動或振幅擾動，從而分別建立與速度擾動的關(guān)系式。由于像域的振幅擾動影響因素太復(fù)雜，包括地表一致性、震源及檢波器耦合效應(yīng)等，即使是在準確模型下的保幅成像，其角度道集仍存在AVA效應(yīng)，因此角度道集上能用來層析反演的僅僅是其同相軸的剩余旅行時差(RMO)，不包括其振幅，此時實際層析反演一般退化為僅利用旅行時擾動。

考慮退化到僅利用旅行時擾動進行層析反演，進一步地，將式(3)改寫為

(5)

整理得

(6)

在波動方程的Rytov近似下，波場可表示為

u=(A0+ΔA)ei(φ0+Δφ)

其成像值是兩個波場的相關(guān)，故也可表示為

I=(A0+ΔA)ei(φ0+Δφ)

I0(x,θ,φ,ω)=A0eiφ0

由于ΔA?A0，則式(6)可進一步表示為

(7)

因Δφ趨近于零，則式(7)左端項近似等于iΔφ。兩邊取虛部，得到

(8)

式中Im(·)表示虛部。

單頻相位擾動與單頻旅行時擾動也有近似關(guān)系

(9)

同時將式(4)及式(9)代入式(8)，整理得到成像域單頻旅行時擾動與速度擾動的關(guān)系式

(10)

式中： Δt(x,θ,φ,ω)為高斯束偏移的旅行時擾動，即剩余時差；KF為單頻旅行時層析核函數(shù)，其兩個分支分別表示為[15]

(11)

式中G0(y;ps,ω，xs)表示對應(yīng)的背景格林函數(shù)。

帶限地震信號的旅行時擾動可用單頻旅行時擾動加權(quán)疊加[16]得到

(12)

式中H(ω)表示歸一化的加權(quán)函數(shù)，那么，成像域帶限旅行時擾動與速度擾動的關(guān)系可以表示為

(13)

式中KT為帶限旅行層析核函數(shù)，其兩個分支為

(14)

該式即為推導(dǎo)的成像域帶限旅行時核函數(shù)。

至此，基于式(14)計算帶限旅行時層析核函數(shù)的層析反演方法即為高斯束層析速度建模技術(shù)。

1.2 高斯束計算格林函數(shù)

式(11)給出單頻旅行時層析核函數(shù)表達式，計算該核函數(shù)的關(guān)鍵是求取背景模型格林函數(shù)，高斯束傳播算子的具體計算請參考文獻[17]。本文主要通過數(shù)值實驗展示基于高斯束傳播算子計算帶限波動旅行時層析核函數(shù)(式(14))的精度與可行性。圖1為常速情況下20Hz高斯束計算核函數(shù)與解析解對比，為直觀分析兩者差別，抽取圖1中x=1000m處核函數(shù)縱截面數(shù)值進行對比； 從圖2可見20Hz高斯束計算的核函數(shù)與解析解基本一致。

從圖3、圖4可看出，利用高斯束計算帶限旅行時層析核函數(shù)與解析解基本一致，完全滿足后續(xù)旅行時層析成像的需求。

圖5和圖6分別為常梯度速度模型(震源位于(1000m，0)，接收點位于(5200m，900m))、層狀介質(zhì)速度模型(震源位于(1000m，0)，接收點位于(4900m，3100m))的核函數(shù)計算結(jié)果，兩種核函數(shù)均通過高斯束積分得到，積分頻段同上。圖7對比了兩種模型層析核函數(shù)的截面，可見核函數(shù)的中心值較小，遠離中心射線后逐漸增大，在某點達到最大后又逐漸減小直至為0。形狀表現(xiàn)為雙駝峰型。

圖1 常速情況下20Hz高斯束計算核函數(shù)(b)與解析核函數(shù)(a)的對比

圖2 20Hz高斯束計算核函數(shù)與解析解在x=1000m處縱截面的精度對比

1.3 高斯束層析反演流程

成像域高斯束層析反演的基本流程同常規(guī)射線層析反演的流程基本一致，其具體步驟如下：

(1)基于初始速度模型進行高斯束疊前深度偏移(GBM)，并輸出(方位)反射角度道集(ADCIGs)；

(2)在深度偏移剖面上全自動解釋反射界面，拾取層析控制點；

(3)參數(shù)化速度模型；

(4)在界面約束下，在ADCIGs上全自動拾取相應(yīng)的同相軸的剩余深度差/時間差；

圖3 解析解帶限核函數(shù)(a)與高斯束計算的帶限旅行時層析核函數(shù)(b)的對比

(5)利用式(5)計算高斯束層析核函數(shù)，構(gòu)建高斯束層析Fréchet導(dǎo)數(shù)矩陣；

(6)建立旅行時誤差泛函(可考慮各種約束)；

(7)利用并行化的LSQR算法求解法方程，得到速度更新量；

(8)更新速度模型；

(9)重新進行GBM。視ADCIGs是否拉平?jīng)Q定是否進行下一輪的速度反演。

圖4 高斯束計算帶限核函數(shù)與解析解在x=1000m處縱截面的精度對比

圖5 常梯度速度模型(a)及其帶限核函數(shù)(b)

圖6 層狀速度模型(a)及其帶限核函數(shù)(b)

圖7 帶限核函數(shù)的縱截面分布

2 FWI高波數(shù)精細建模

充分利用疊前地震波場的運動學(xué)和動力學(xué)信息重建地下物理參數(shù)，F(xiàn)WI的分辨率可達傳播波長的二分之一，能揭示復(fù)雜地質(zhì)背景下構(gòu)造細節(jié)及巖性，是現(xiàn)今精度最高的速度建模方法之一。但受目前數(shù)據(jù)采集條件的限制，地震數(shù)據(jù)的振幅和相位常呈強非一致性。本文采用基于相位匹配的目標泛函增強數(shù)據(jù)相位匹配，從而降低陷入局部極值的風(fēng)險； 采用偽保守一階速度—應(yīng)力方程計算速度的梯度函數(shù)，大幅度提升了計算效率，推動了FWI實用化進程。

2.1 基于相位匹配的目標泛函

陸地數(shù)據(jù)受激發(fā)和接受條件限制，各震源和檢波點之間存在較為明顯的能量差異。當采用此類數(shù)據(jù)反演時，各炮和檢波點之間的不均衡帶來殘差能量的不一致，在波場殘差反傳時引起模型更新量在不同地區(qū)存在較大差異，進而導(dǎo)致反演不穩(wěn)定甚至不收斂。為了削弱這種不均衡的影響，采用基于相位擬合的互相關(guān)目標泛函較L2泛函更優(yōu)，其主要優(yōu)勢在于強調(diào)匹配相位信息，其凸性更優(yōu)，不易陷入局部極值。Brossier等[18]給出了非零延遲歸一化互相關(guān)目標泛函，其表達式為

(15)

式中：τ為延遲時間；xr為檢波點；xs為炮點；W(τ)是懲罰函數(shù)；dcal(t,xr;xs)為人工合成地震記錄；dobs(t+τ,xr;xs)是時延觀測地震記錄。

為了實現(xiàn)分步FWI，本文采用了時間加窗的歸一化互相關(guān)目標泛函

(16)

式中:P(τ)=-eα τ2為加權(quán)互相關(guān)時窗函數(shù),其中α控制計算歸一化互相關(guān)目標泛函時窗大小，α越大時窗越小，α越小時窗越大； win(t，h)是與炮檢距h相關(guān)的時窗函數(shù)。

2.2 基于偽保守一階速度—應(yīng)力方程的梯度計算

梯度計算是FWI技術(shù)最核心的部分[19]，梯度計算效率決定了FWI對于實際問題的處理能力，而梯度計算效率主要取決于波動方程數(shù)值模擬的計算效率以及存儲能力[20-21]。常用的Fréchet矩陣計算具有計算量大、實現(xiàn)性差的弊端，本文采用共軛狀態(tài)法求取梯度，該方法的實現(xiàn)僅使用炮點正向傳播波場與接收點逆時傳播殘差波場的互相關(guān)生成梯度。通過互相關(guān)目標泛函式(15)對模型參數(shù)求導(dǎo)，即可得其梯度。具體表達式為

(17)

對于不同的數(shù)據(jù)匹配，不論是求解兩個信號的波形振幅殘差還是計算兩個信號的相似程度，目標泛函關(guān)于模型參數(shù)的梯度求解表達式是相同的，即都是采用正向傳播波場和逆時傳播的伴隨波場互相關(guān)疊加求得。唯一不同的是對不同的匹配方式，伴隨方程右端的伴隨震源項不相同。

傳統(tǒng)的一階速度—應(yīng)力方程的聲波正演模擬算子為非自伴隨算子，由于正演算子為非自伴隨，在求取震源正傳波場和殘差反傳波場時不能使用同一個正演算子，且需要對正演算子求導(dǎo)數(shù)，增加了計算的復(fù)雜度。Castellanos[7]把一階速度—應(yīng)力方程轉(zhuǎn)化為偽保守形式使正演模擬算子自伴隨，利用偽保守形式的波動方程Λ?tu+Gu=s代替常規(guī)的狀態(tài)方程Λ?tu+G′u=s′(震源項s′=Λs)，得到不依賴于正演微分算子的簡單有效梯度表達式

(18)

(19)

(20)

從數(shù)學(xué)的角度可看出伴隨狀態(tài)法計算梯度的有效性。為了進一步驗證這種方法的準確性和精度，將伴隨狀態(tài)法計算所得的梯度與經(jīng)典的有限差分算法計算的梯度做對比分析。使用有限差分法計算梯度公式如下

(21)

選用41×41×41的均質(zhì)立方體模型，模型中心嵌入一個半徑為50m的繞射體，其x、y、z三個方向的步長(50m)相同； 震源采用主頻為5Hz的雷克子波。圖8a為使用伴隨狀態(tài)法計算所得的梯度水平方向切片。如前文所述，該梯度使用頻率域反演聯(lián)合時間域正演而得到。正演使用有限差分交錯網(wǎng)格空間4階、時間2階。梯度計算僅使用5Hz單頻。圖8b為有限差分法獲取的梯度。圖9顯示伴隨狀態(tài)法(實線)和有限差分法(虛線)計算的梯度一維曲線的直接對比。不難看出二者形狀近似一致，僅存在可接受的誤差。這是因為有限差分法對步長敏感，當采用不同的步長時，該誤差隨步長而改變，因此可認為該誤差來自有限差分的離散化。

2.3 高精度FWI計算流程

FWI強烈的依賴于觀測數(shù)據(jù)，因此在開展全波形迭代反演之前需要對實際數(shù)據(jù)進行特殊的精細處理：保早至波的去噪處理、振幅一致性處理、有效數(shù)據(jù)提取。FWI具體計算流程如下：

(1)利用高斯束層析建立包含中波數(shù)速度信息的FWI初始模型；

圖8 在z=800m深度處計算的梯度水平切片

圖9 伴隨狀態(tài)法(實線)與有限差分法(虛線)計算的梯度一維曲線對比

(2)地震子波估計；

(3)基于偽保守形式波動方程地震波模擬；

(4)計算觀測數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)的互相關(guān)，并得到波場反傳的震源；

(5)采用與地震波正演模擬相同的算子進行波場反向傳播；

(6)正傳與反傳波場在時間域的互相關(guān)形成梯度；

(7)計算初始迭代步長，得到初始速度更新量；

(8)利用LBFGS算法優(yōu)化迭代步長，最優(yōu)速度更新量，完成一次迭代反演；

(9)利用新的速度作為初始速度進行步驟(3)～步驟(8)的循環(huán)迭代，直到滿足迭代終止條件。

3 模型測試

本文設(shè)計了簡單的球狀模型，CDP范圍0～750，為了更清晰地顯示反演的球體，在圖10a中顯示的CDP范圍只有250～500，球體中心位于CDP500處，深度為2000m。數(shù)據(jù)采集最大炮檢距為7500m。圖10b和圖10c分別是射線層析和高斯束層析反演得到的速度。高斯束層析比射線層析具有更豐富的中波數(shù)成分，分辨率提高。分別將射線層析和高斯束層析速度作為FWI初始模型進行高波數(shù)速度反演。這兩種模型作為初始速度時FWI速度梯度在首次迭代時差異并不明顯，隨著迭代次數(shù)的增加速度更新量逐步差異化。

迭代次數(shù)較高時，速度梯度已無法直觀展示與真實速度模型的關(guān)系，因而本文分別展示了經(jīng)10次迭代后速度更新量的總和(圖11)。從圖11清晰可見：射線層析作為初始模型時反演結(jié)果無法聚焦，呈現(xiàn)出周波跳躍現(xiàn)象；高斯束層析速度作為初始模型時，F(xiàn)WI速度逼近于真實速度，避免反演結(jié)果陷入局部極值。同時，基于該模型對比分析其計算效率，可知利用自伴隨算子可使波場傳播數(shù)值模擬的總體計算效率提高約40%。

圖10 理論速度模型(a)、射線層析(b)和高斯束層析(c)速度模型

圖11 FWI模型測試

4 實際資料應(yīng)用

本文利用高斯束層析與FWI聯(lián)合速度建模技術(shù)對中國東北某復(fù)雜構(gòu)造工區(qū)進行了攻關(guān)處理。該區(qū)基底之下是上古生界變質(zhì)巖，變質(zhì)巖之上發(fā)育火山巖。目的層波場復(fù)雜，存在多組斷裂系統(tǒng)，速度變化大，深度域建模困難，精確成像難度較大。成像處理要求縱向上能刻畫火山機構(gòu)特征和噴發(fā)期次，橫向上能分辨接觸關(guān)系，合理突出與火山巖接觸的地層反射。前期進行了射線層析速度建模，以此作為深度域初始模型進行后續(xù)高斯束層析與FWI聯(lián)合速度建模。

圖12為該地區(qū)二維速度反演結(jié)果對比，射線層析包含了低波數(shù)速度，高斯束層析反演得到了中波數(shù)的速度成分，相對于射線層析速度分辨率更高。圖12c為利用圖12b高斯束層析反演作為初始模型反演得到的高波數(shù)速度，速度結(jié)構(gòu)層次明確，巖石接觸關(guān)系清晰； 圖12d是以圖12a射線層析速度作為初始模型的反演結(jié)果，無法辨識速度結(jié)構(gòu)關(guān)系。

圖12 實際資料二維速度反演結(jié)果對比

圖13為采用常規(guī)互相關(guān)泛函得到的FWI速度，可見分辨率不足，且由于缺失了中波數(shù)成分，反演收斂性較弱。

圖13 采用常規(guī)互相關(guān)泛函得到的FWI速度

圖14展示了該實際資料常規(guī)射線層析與本文方法反演出的三維速度體對比。圖14a為傳統(tǒng)射線層析獲得的速度場，較好體現(xiàn)速度模型的宏觀變化規(guī)律，但僅恢復(fù)出低波數(shù)速度成分，存在反演分辨率不足的問題。高斯束層析與FWI聯(lián)合建模獲得的速度場(圖14b)具有豐富的中、高波數(shù)信息，與常規(guī)射線層析(圖14a)相比，速度場的橫向和縱向分辨率均明顯提高，速度建模精度得到提升。

圖15為針對實際數(shù)據(jù)分別利用射線層析模型及本文高精度FWI反演模型獲得的RTM偏移結(jié)果，可見后者斷裂成像質(zhì)量更高，斷點更干脆，同相軸更連續(xù)，整體成像質(zhì)量更高。從該實際資料處理可以認識到，結(jié)合高斯束層析與FWI的聯(lián)合速度建模處理技術(shù)，可以更好地適應(yīng)復(fù)雜陸地資料的深度域速度建模，提供更高質(zhì)量的成像結(jié)果。

圖16以水平切片方式顯示常規(guī)射線層析速度與本文方法反演速度模型，可見本文方法反演的速度模型在基底火成巖高速區(qū)域具備理想的反演分辨率； 特別地，速度場的空間變化規(guī)律與該區(qū)地質(zhì)構(gòu)造特征匹配一致，體現(xiàn)出良好的地質(zhì)合理性。

圖14 實際資料速度模型對比

圖15 實際資料使用不同速度模型的RTM偏移結(jié)果對比

圖16 實際資料水平切片速度與偏移結(jié)果疊合對比

5 結(jié)論與認識

(1)陸地資料FWI面臨噪聲嚴重、地表復(fù)雜及炮檢距受限等問題，在實用化進程中存在多重困難。對于復(fù)雜構(gòu)造地區(qū)，基于射線層析的低波數(shù)初始建模精度不能滿足FWI對初始速度的嚴苛要求。鑒于高斯束層析兼具射線和波動的特征，本文利用高斯束層析構(gòu)建中波數(shù)速度成分，為FWI提供了高精度的初始速度模型，避免了周波跳躍現(xiàn)象。

(2)針對陸地數(shù)據(jù)采集各炮和檢波點之間的不均衡導(dǎo)致的FWI不穩(wěn)定甚至不收斂問題，本文采用基于相位匹配的互相關(guān)目標泛函取代L2范數(shù)，增強目標泛函凸性，降低了FWI陷入局部極值的風(fēng)險，提高了反演的穩(wěn)定性和可靠性。

(3)采用偽保守一階波動方程形成了自伴隨的正演算子，伴隨波場梯度計算與正演算子保持一致性，進而提高了FWI速度更新梯度計算效率和計算能力，推動了FWI實用化發(fā)展。

(4)針對中國東北某復(fù)雜構(gòu)造工區(qū)目的層波場復(fù)雜、斷裂系統(tǒng)發(fā)育、速度變化大的難題，本文利用高斯束層析結(jié)合FWI的深度域速度建模提高了成像精度。從成像剖面上可見火成巖結(jié)構(gòu)特征及接觸關(guān)系，有助于后續(xù)精細解釋。高斯束層析與FWI聯(lián)合的建模方法對于陸地資料深度域速度建模具有廣泛的實用價值。