程鵬 楊育梅

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,蘭州 730050)

1 引 言

高溫超導(dǎo)材料不僅具有獨(dú)特的零電阻特性、抗磁性及邁斯納效應(yīng),同時相較低溫超導(dǎo)材料而言,具有更高的臨界轉(zhuǎn)變溫度和臨界電流密度,因而備受關(guān)注,被廣泛應(yīng)用于磁懸浮、核聚變磁約束、電機(jī)及儲能等裝置中[1?5].然而,超導(dǎo)材料具有明顯的脆性特征,在外加磁場激勵下,結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生磁通釘扎力,該釘扎力在外加下降場中產(chǎn)生的拉應(yīng)力極易引起超導(dǎo)結(jié)構(gòu)的斷裂破壞[6?8].因此,在超導(dǎo)材料的應(yīng)用中,對其結(jié)構(gòu)內(nèi)部力學(xué)特性的研究就顯得尤為關(guān)鍵.Ikuta等[9]通過測試Bi2Sr2CaCu2O超導(dǎo)體在外部磁場作用下出現(xiàn)的力學(xué)變形,指明磁通釘扎引起的磁致伸縮對這一變形起主導(dǎo)作用[10].之后Johansen[11,12]分別對長圓柱和長矩形超導(dǎo)體內(nèi)的應(yīng)力分布進(jìn)行了計(jì)算,討論了零場冷和場冷兩種情形的應(yīng)力分布,并給出了應(yīng)力、應(yīng)變及位移的解析表達(dá)關(guān)系式.隨后又研究了薄超導(dǎo)圓盤內(nèi)的應(yīng)力分布情況,給出了受退磁效應(yīng)影響的應(yīng)力大小和分布曲線[13].Xue等[14]研究了薄超導(dǎo)帶在垂直磁場中的磁彈性行為,分別采用Bean模型和Kim模型計(jì)算了超導(dǎo)體內(nèi)的體力、應(yīng)變和位移.Huang等[15]運(yùn)用有限元方法研究了有限厚度的II型超導(dǎo)圓柱體和超導(dǎo)圓環(huán)結(jié)構(gòu)內(nèi)的磁致伸縮行為.上述超導(dǎo)結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的研究,均基于臨界電流密度均勻分布的假定展開.

然而,超導(dǎo)體內(nèi)的臨界電流密度具有明顯的非均勻特性[16].Grasso等[17]研究發(fā)現(xiàn),超導(dǎo)體內(nèi)臨界電流密度從中心到表面逐漸增加.其后,Lehtonen等[18]研究了超導(dǎo)材料中臨界電流密度軸向(沿超導(dǎo)體的軸向變化)和橫向(沿超導(dǎo)體的橫向變化)兩種非均勻分布形式對交流損耗的影響.Inada等[19]研究了臨界電流密度非均勻分布的薄超導(dǎo)帶上的交流損耗特性,并討論了臨界電流密度沿帶寬度方向不均勻性對電纜導(dǎo)體中交流損耗的影響.值得注意的是,目前還沒有考慮到非均勻分布的臨界電流密度對超導(dǎo)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響.為了更好地解決超導(dǎo)體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和應(yīng)用中出現(xiàn)的強(qiáng)度和剛度問題,有必要研究臨界電流密度非均勻分布對超導(dǎo)結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的影響.

本文基于求解平面應(yīng)變問題的方法[11]和Bean臨界態(tài)模型,考慮臨界電流密度沿超導(dǎo)圓柱體半徑方向呈非均勻分布狀態(tài),推導(dǎo)了承載電流上升和下降過程中超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)部的磁通密度和電流分布,并給出了結(jié)構(gòu)內(nèi)徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力和磁致伸縮的解析表達(dá)式,詳細(xì)討論了臨界電流密度非均勻分布對超導(dǎo)圓柱體力學(xué)性能的影響.

2 模型建立及理論推導(dǎo)

考慮一半徑為R的無限長超導(dǎo)圓柱體,承載沿z方向的電流Ia,如圖1(a)所示.由于臨界電流密度橫向非均勻分布對材料性能的影響更加顯著[18],假定超導(dǎo)體內(nèi)臨界電流密度在z和q方向的大小和分布是均勻的,沿半徑方向非均勻分布.如圖1(b)所示,將垂直于z軸圓柱狀超導(dǎo)體橫截面延半徑方向分為n層,每層臨界電流密度不同.從外到內(nèi)臨界電流密度分別為J1,J2,J3,··,Ji,··,Jn–1,Jn,半徑分別為a1,a2,a3,··ai,··,an–1,an.

圖1 (a)長圓柱狀超導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖; (b)臨界電流密度分布示意圖Fig.1.(a) Schematic diagram of a long cylindrical superconducting structure; (b) schematic diagram of critical current density distribution.

鑒于超導(dǎo)塊體中臨界電流密度在中心部分變化較小,而邊緣部分變化比較劇烈[16],為了更好地模擬超導(dǎo)體內(nèi)臨界電流密度非均勻分布情況,假定每層的橫截面面積為 πR2/n.當(dāng)n=1 時表示超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)臨界電流密度均勻分布,當(dāng)n>1 時表示結(jié)構(gòu)內(nèi)的臨界電流密度非均勻分布.在研究超導(dǎo)體特性時發(fā)現(xiàn),2至n?1 層之間的相互影響較為近似,當(dāng)n>3 時,會使得最外層和最內(nèi)層非均勻分布的臨界電流密度引起的力學(xué)性質(zhì)變化的區(qū)分度降低.且三層模型已具有較高的準(zhǔn)確性,應(yīng)用廣泛[20?22],下面選取n=3 時的情況進(jìn)行分析.

此時在超導(dǎo)體圓柱體模型中,從外到內(nèi)分為三層,半徑依次為a1,a2,a3,各層半徑有如下關(guān)系:

假定第i層內(nèi)的臨界電流密度為Ji,則第i層內(nèi)的電流大小為Ii=sJi,圓柱體內(nèi)前i層的總電流大小為

2.1 超導(dǎo)體內(nèi)的電流及磁場分布

2.1.1 承載電流增加的情形

當(dāng)電流Ia從零開始逐漸增大時,基于臨界態(tài)Bean模型,超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)各層臨界電流密度J1,J2,J3為常數(shù).根據(jù)麥克斯韋方程可得到電流和磁場分布的表達(dá)式.當(dāng) 0

當(dāng)Ic1

當(dāng)Ic2

2.1.2 承載電流減小的情形

當(dāng)超導(dǎo)圓柱體中的承載電流從最大值Ic3開始下降時,超導(dǎo)體內(nèi)的磁通開始從結(jié)構(gòu)外邊緣排出,此時,結(jié)構(gòu)內(nèi)的電流及磁通密度按如下方式重新分布,用x0表示超導(dǎo)體內(nèi)電流發(fā)生反向的位置,則有:

當(dāng)a2

當(dāng)a3

當(dāng) 0

2.2 超導(dǎo)體內(nèi)的力學(xué)響應(yīng)計(jì)算

由于超導(dǎo)體俘獲磁通線的特性,進(jìn)入超導(dǎo)體內(nèi)的磁通線被釘扎在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的缺陷處,該釘扎力的大小等于洛倫茲力的大小:

根據(jù)彈性力學(xué)平衡方程則得到:

由于超導(dǎo)圓柱體是軸對稱結(jié)構(gòu),所以結(jié)構(gòu)內(nèi)部的應(yīng)力僅與半徑r有關(guān),變形只需要用徑向位移u(r) 來描述,則幾何方程表達(dá)為

結(jié)合物理方程,應(yīng)力σr,σθ,σz與應(yīng)變er,eq,ez之間的關(guān)系為[11]

其中E為超導(dǎo)體的楊氏模量,n為泊松比.將(17)和(18)式代入方程(16)可得

求解方程(19)得

防火墻是在內(nèi)部網(wǎng)與外部網(wǎng)之間構(gòu)造的保護(hù)屏障，能夠防止內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)受非法用戶的入侵，防火墻不能夠防范網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的攻擊以及病毒的侵犯。隨著技術(shù)的發(fā)展，高科技、高智商網(wǎng)絡(luò)攻擊已經(jīng)常態(tài)化，黑客也掌握了一些破解方法對防火墻的使用造成一定的安全隱患。

對于本文所研究的問題,需要注意的是在相鄰兩層之間相鄰部分的徑向應(yīng)力σr和徑向位移u(r)是相等的,則邊界條件可表示為

結(jié)合(16)—(20)式,通過平面應(yīng)變方法[11],可得到圓柱超導(dǎo)體內(nèi)的徑向應(yīng)力分布如下:

環(huán)向應(yīng)力的表達(dá)式為

徑向位移的表達(dá)式為

此時,圓柱體內(nèi)的磁致伸縮大小為

其中關(guān)于P,Q,X,M,N,C1,C2,C3,D1,D2,D3詳細(xì)見附錄A.

3 結(jié)果與討論

3.1 上升場情形

根據(jù)以上理論推導(dǎo),得到了超導(dǎo)圓柱體內(nèi)徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力、徑向位移和磁致伸縮的解析表達(dá)式.為便于結(jié)果討論,對以下參數(shù)歸一化:

圖2和圖3分別為承載電流大小從i=0 增大到i=0.9 時,超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向和環(huán)向應(yīng)力沿半徑方向的分布圖.n=1 時,結(jié)構(gòu)內(nèi)臨界電流密度β1=0.9;n=3 時,各層的臨界電流密度為β3=1,β2=0.9,β1=0.8.圖2(a)和圖3(a)顯示了n=3 ,i取0.25,0.45,0.6,0.75,0.9時結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向和環(huán)向應(yīng)力分布情況.可以看出,在整個變化過程中徑向應(yīng)力都是負(fù)的,即為壓應(yīng)力,其大小沿著半徑指向中心方向逐漸增大并趨于穩(wěn)定,這是因?yàn)樵诟袘?yīng)磁場未穿透的區(qū)域結(jié)構(gòu)內(nèi)部的體力為零,該區(qū)域應(yīng)力分布的均勻性得到保持.對于較小的承載電流,應(yīng)力增加相對比較緩慢,而且這兩種應(yīng)力分別以不同的方式沿指向表面方向減小.徑向應(yīng)力在表面處減小到零,而環(huán)向應(yīng)力減小到一個不為零的有限值.這些特點(diǎn)與Johansen[11]的研究結(jié)果一致.說明臨界電流密度的非均勻分布對超導(dǎo)體內(nèi)應(yīng)力整體的變化趨勢影響不顯著.但是由于相鄰部位之間的臨界電流密度的差異而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)的釘扎力分布是不連續(xù)的,所以環(huán)向應(yīng)力出現(xiàn)了不連續(xù)的現(xiàn)象.在Zheng等[23]關(guān)于圓柱形復(fù)合超導(dǎo)材料的研究中觀察到類似的現(xiàn)象,但是本研究排除了彈性模量的差異對結(jié)果的影響,證明了臨界電流密度的非均勻分布會導(dǎo)致這樣的結(jié)果出現(xiàn).

圖2 上升場情形下結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向應(yīng)力的分布 (a) n=3,i取不同值; (b) i=0.9,n取不同值Fig.2.Distribution of radial stress in the structure under the ascending field: (a) n=3,i takes different values; (b) i=0.9,n takes different values.

圖3 上升場情形下結(jié)構(gòu)內(nèi)的環(huán)向應(yīng)力的分布 (a) n=3,i取不同值; (b) i=0.9,n取不同值Fig.3.Distribution of hoop stress in the structure under the ascending field: (a) n=3,i takes different values; (b) i=0.9,n takes different values.

圖4給出了徑向位移沿半徑方向的分布特性,在整個過程中超導(dǎo)結(jié)構(gòu)的徑向位移都是負(fù)的,結(jié)構(gòu)整體是壓縮變形,這與臨界電流密度均勻分布時的變化規(guī)律一致.

圖4 上升場情形下結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向位移沿半徑方向的分布Fig.4.Distribution of radial displacement within the structure along the radial direction in the case of an ascending field.

3.2 下降場情形

當(dāng)超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)的承載電流從最大值Ic3開始降低,在圓柱體外部的臨界電流方向開始反向.在這個再磁化區(qū)域中,體力方向沿著對稱軸心向外,然而內(nèi)部的體力方向仍然保持不變.接下來將仔細(xì)研究下降場時超導(dǎo)結(jié)構(gòu)應(yīng)力的變化情況.

圖5和圖6分別為承載電流從最大值i=0.9開始減小時,超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向和環(huán)向應(yīng)力沿半徑方向的分布特性.其中,臨界電流密度采用與圖2和圖3相同的計(jì)算參數(shù).圖5(a)和圖6(a)顯示了n=3,i分別取0.6,0.3,0,–0.3,–0.6,–0.9時結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向和環(huán)向應(yīng)力分布情況.可以看出,承載電流下降階段,應(yīng)力的大小沿著半徑指向中心方向先上升后降低.而產(chǎn)生的極值在數(shù)值上先增大后減小并在i=0 附近取得最大值.這是由于在下降場階段,超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)的臨界電流從最外部開始反向,這導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)內(nèi)部拉應(yīng)力和壓應(yīng)力同時存在.這種情況下超導(dǎo)體發(fā)生破壞的風(fēng)險最高,而環(huán)向上不僅拉應(yīng)力和壓應(yīng)力同時存在而且在臨界電流密度有差異處呈不連續(xù)的分布,這就要求將此類超導(dǎo)材料應(yīng)用于對抗剪強(qiáng)度有要求的結(jié)構(gòu)時需要慎重.

圖5 下降場中結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向應(yīng)力沿半徑方向的分布 (a) n=3,i取不同值; (b) i=0,n取不同值Fig.5.Distribution of radial stress in the structure in the falling field along the radial direction: (a) n=3,i takes different values;(b) i=0,n takes different values.

圖6 下降場中結(jié)構(gòu)內(nèi)的環(huán)向應(yīng)力沿半徑方向的分布 (a) n=3,i取不同值; (b) i=0,n取不同值Fig.6.Distribution of the hoop stress in the structure in the falling field along the radial direction: (a) n=3,i takes different values; (b) i=0,n takes different values.

圖5(b)和圖6(b)分別顯示了i=0 ,n=1,3時,超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向和環(huán)向應(yīng)力沿半徑方向的分布情況.可以看出,由于n=3 時臨界電流密度分布不均勻,導(dǎo)致超導(dǎo)體中心部分n=3 時的應(yīng)力較n=1時更大,而靠近表面處n=1 時的應(yīng)力較大.從圖5(b)可以看到臨界電流密度的非均勻分布導(dǎo)致拉應(yīng)力的峰值明顯大于均勻分布時的數(shù)值.而這一拉應(yīng)力極易引起超導(dǎo)體發(fā)生斷裂或者己有裂紋的擴(kuò)展.這說明臨界電流密度的非均勻分布可能會導(dǎo)致超導(dǎo)體更容易發(fā)生破壞.圖7給出了超導(dǎo)結(jié)構(gòu)沿半徑方向的徑向位移分布特性.從徑向位移的變化趨勢可以看出,下降場情形中徑向位移的變化規(guī)律變得復(fù)雜,結(jié)構(gòu)內(nèi)部會出現(xiàn)了拉應(yīng)變和壓應(yīng)變共同存在的情況.比如i=?0.3 時,甚至出現(xiàn)超導(dǎo)結(jié)構(gòu)中心和邊緣處產(chǎn)生壓應(yīng)變而中間處產(chǎn)生拉應(yīng)變.這是下降階段超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)徑向拉應(yīng)力和壓應(yīng)力同時存在并且臨界電流密度非均勻分布共同作用的結(jié)果.

圖7 下降場中結(jié)構(gòu)內(nèi)的徑向位移沿半徑方向的分布Fig.7.Distribution of radial displacement within the structure in the descending field along the radial direction.

3.3 磁致伸縮

圖8展示了承載電流i從0.9降低到–0.9過程中,n=1和n=3 時的磁致伸縮分布圖.和預(yù)期一致[23],均勻材料的磁致伸縮不存在磁滯回線.但觀察臨界電流密度非均勻分布時可以發(fā)現(xiàn),產(chǎn)生的磁致伸縮在整個變化過程中都大于均勻分布的情況.并且在承載電流取最大值時差值最大,即臨界電流密度的非均勻分布導(dǎo)致超導(dǎo)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更大的變形.因此為了提升超導(dǎo)材料應(yīng)用的可靠性,需要密切關(guān)注臨界電流密度的分布性質(zhì).

圖8 臨界電流密度分布不同時超導(dǎo)圓柱體的磁致伸縮Fig.8.Magnetostriction of a superconducting cylinder with different critical current density distributions.

4 結(jié) 論

本文考慮超導(dǎo)體內(nèi)臨界電流密度的非均勻分布,基于Bean臨界態(tài)模型和平面應(yīng)變方法,研究了臨界電流密度在結(jié)構(gòu)內(nèi)非均勻分布時的應(yīng)力、位移和磁致伸縮特性.與均勻分布情況對比可以得到,上升場時,臨界電流密度的分布不影響超導(dǎo)結(jié)構(gòu)內(nèi)應(yīng)力和位移的變化趨勢,但局部應(yīng)力的數(shù)值會隨著臨界電流密度的非均勻分布而發(fā)生變化,在局部臨界電流密度較大處壓應(yīng)力數(shù)值較大.且臨界電流密度的非均勻分布導(dǎo)致超導(dǎo)體內(nèi)應(yīng)力出現(xiàn)更大的極值,因此發(fā)生破壞的風(fēng)險較均勻分布情況下更高,對強(qiáng)度有著更高的要求.而在下降場時,臨界電流密度明顯影響拉應(yīng)力和磁致伸縮特性,使得非均勻分布時拉應(yīng)力峰值和磁致伸縮數(shù)值大于均勻分布時的數(shù)值,而環(huán)向應(yīng)力不僅拉應(yīng)力和壓應(yīng)力同時存在而且在臨界電流密度不連續(xù)處顯示出了不連續(xù)的特點(diǎn).這就導(dǎo)致對超導(dǎo)結(jié)構(gòu)抗剪強(qiáng)度有著更高的要求.而磁致伸縮的程度也比均勻分布情況下更高,即臨界電流密度的非均勻分布導(dǎo)致超導(dǎo)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更大的變形,所以相應(yīng)的剛度要求也會發(fā)生變化.因此,在高溫超導(dǎo)體實(shí)際應(yīng)用中,必須要充分考慮臨界電流密度非均勻分布導(dǎo)致的超導(dǎo)材料結(jié)構(gòu)強(qiáng)度降低,以保證其在工程應(yīng)用中的安全性.

附錄A 參量表達(dá)式

(22)—(25)式中P,Q,X,M,N,C1,C2,C3,D1,D2,D3的表達(dá)式