陳申寶
(浙江工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 浙江 寧波 315012)
把一個單位分?jǐn)?shù)分拆成另外兩個單位分?jǐn)?shù)的和叫單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆。 單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆的研究已有一些成果,有的給出了單位分?jǐn)?shù)的所有兩項分拆組數(shù)的計算公式[1],有的給出了單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆的三種方法:搜索法、平方因數(shù)法和互素因數(shù)法[2],并給出了單位分?jǐn)?shù)所有兩項分拆組數(shù)的計算公式,即若則單位分?jǐn)?shù)所有兩項分拆組數(shù)為。
互素因數(shù)法明顯縮小了搜索范圍,故當(dāng)很大時優(yōu)于搜索法和平方因數(shù)法, 但仍有不足, 當(dāng)n 或ej較大時,n 的互素因數(shù)較多,容易遺漏或重復(fù)且計算量仍較大,所以仍需加以改進(jìn)。 為此,本文提出單位分?jǐn)?shù)的兩項分拆的新方法——對偶因數(shù)法。
為敘述方便,先對“兩項分拆”、 “對偶因數(shù)”等給以數(shù)學(xué)定義,并設(shè)置一些記號.文中出現(xiàn)的字母都是整數(shù),p 代表素數(shù),直接引用整數(shù)論中符號和簡單結(jié)論。
如果m(m≠1)的兩個因數(shù)s0和t0滿足(s0,t0)=1,s0t0=m,則稱s0和t0為m(m≠1)的一組對偶因數(shù),同樣約定s0<t0。
定理1 如果n=F(b,a)是n 的一組分拆,則其惟一對應(yīng)n 的某個因數(shù)m(m≠1)的一組對偶因數(shù)s0和t0。 反之也成立。
證明令(a,b)=d,則可設(shè)a=s0d,b=t0d,(s0,t0)=1。再令(n,d)=D,設(shè)n=mD,d=αD,且(m,α)=1。
由于n=F(a,b)是n 的一組分拆,則由
∴m(s0+t0)=αs0t0。下面用反證法證明(s0+t0,s0t0)=1。
若(s0+t0,s0t0)=d0≠1,則且由得且或d0t0且與d0(s0+t0)矛盾!
由m(s0+t0)=αs0t0、(m,α)=1 及(s0+t0,s0t0)=1 得m=s0t0,α=s0+t0。
所以n 的一組分拆惟一對應(yīng)n 的某個因數(shù)m(m≠1)的一組對偶因數(shù)s0和t0。 此時α=s0d=s0·αD=。
反之,若s0和t0是n 的某個因數(shù)m(m≠1)一組對偶因數(shù),則(s0,t0)=1 且s0t0=m。 顯然s0和t0都是n的因數(shù), 令則a 和b 都是正整數(shù),且有故s0和t0惟一對應(yīng)n 的一組分拆。
定理1 說明:n 的某個因數(shù)m(m≠1)的一組對偶因數(shù)s0和t0與的一組分拆之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。
記n 的全部分拆的組數(shù)為Ω(n),它的某個因數(shù)m(m≠1)的所有對偶因數(shù)組數(shù)記為ω(m).顯然,Ω(n)≥ω(m)>0,Ω(n)<+∞,Ω(p)=ω(p)=1。
所以ω(m)=2r-1。
例1 求由30=F(32,480)所對應(yīng)的對偶因數(shù)s0和t0和所對應(yīng)的30 的因數(shù)。
解由30=F(32,480),可得方程組:
此時m=s0t0=15 為30 的因數(shù)。
例2 用搜索法、 互素因數(shù)法和對偶因數(shù)法,分別計算36 的分拆。
解一搜索法:
令36=F(36+k,b),從這k=1,2,…,35 這35 個數(shù)中,搜索出能使是整數(shù)的k,即求得全部分拆。 計算結(jié)果如下表:
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解二互素因數(shù)法:
36 的因數(shù)是1,2,3,4,6,9,12,18,36, 從中選出互素因數(shù)s 和t,再令即可求得36 的全部分拆F(a,b)。 計算結(jié)果如下表:
?
解三對偶因數(shù)法:
(1)Ω(36)=Ω(22×32)=(5×5-1)=12;
(2)36 的第一類因數(shù)為m=2,3,22,32,每個因數(shù)都有一組對偶因數(shù),各因數(shù)的對偶因數(shù)和它們所對應(yīng)的36 的分拆如下表:
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(3)36 的第二類因數(shù)為m=2×3,22×3,2×32,22×32,每個因數(shù)都有兩組對偶因數(shù),各因數(shù)的對偶因數(shù)和它們所對應(yīng)的36 的8 組分拆如下表:
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