陳 棟 李世其 王峻峰 豐 意 何 旺

華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢，430074

0 引言

總裝對(duì)接是確保航空航天類產(chǎn)品成功制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。實(shí)現(xiàn)總裝對(duì)接的數(shù)字化裝配系統(tǒng)主要由測(cè)量系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、對(duì)接執(zhí)行機(jī)構(gòu)和數(shù)據(jù)處理軟件等組成。測(cè)量系統(tǒng)通常采用激光跟蹤儀和iGPS等數(shù)字化設(shè)備采集目標(biāo)部件的空間位姿數(shù)據(jù)并反饋到數(shù)據(jù)處理軟件中，進(jìn)而引導(dǎo)對(duì)接執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)部件總裝對(duì)接[1-2]。其中，總裝部件的位姿測(cè)量是確保對(duì)接任務(wù)順利實(shí)施的前提和關(guān)鍵，通過研究空間位姿測(cè)量及擬合方法對(duì)于提高位姿測(cè)量精度并確保裝配準(zhǔn)確度具有重要意義和價(jià)值。

目前，剛體位姿測(cè)量及解算一般通過測(cè)量剛體上的多個(gè)位姿基準(zhǔn)點(diǎn)并作為換算點(diǎn)，從而將剛體位姿求解問題轉(zhuǎn)換為參考坐標(biāo)系和剛體連體坐標(biāo)系之間的點(diǎn)集匹配問題，然后再通過點(diǎn)集匹配算法進(jìn)行求解[3]。例如，文獻(xiàn)[4]研究并比較了奇異值分解法、三點(diǎn)法和最小二乘法計(jì)算飛機(jī)大部件位姿及精度問題。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于單目視覺四元數(shù)法的解析方法解決航天器相對(duì)位置測(cè)量和姿態(tài)參數(shù)估計(jì)的問題。文獻(xiàn)[6]將機(jī)翼姿態(tài)評(píng)估問題轉(zhuǎn)化為空間點(diǎn)與曲面之間的配準(zhǔn)問題，提出了一種基于ICP(iterative closest point)算法的姿態(tài)評(píng)估方法。此外，文獻(xiàn)[7]還提出了一種矢量位姿求解法，通過在圓柱體艙段上按照一定規(guī)則布置測(cè)量特征點(diǎn)以求解得到艙段位姿參數(shù)。該方法對(duì)特征點(diǎn)的布置技術(shù)要求較高，實(shí)現(xiàn)較為困難。雖然以上基于點(diǎn)集匹配的方法在擬合剛體位姿時(shí)能夠得到較為滿意的效果，但需要事先在剛體上加工多個(gè)精度較高的位姿基準(zhǔn)點(diǎn)以滿足測(cè)量需求，這對(duì)于某些難以更改產(chǎn)品設(shè)計(jì)和加工工藝的航天產(chǎn)品并不實(shí)用。針對(duì)這類無法設(shè)置標(biāo)記點(diǎn)的剛體位姿測(cè)量問題，目前研究較多的是通過測(cè)量關(guān)鍵特征的方法獲取剛體位姿。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于關(guān)鍵裝配特性的最佳裝配位姿擬合方法，以裝配關(guān)鍵特性相關(guān)公差的重要程度構(gòu)建了最小綜合偏差函數(shù)，進(jìn)而獲取裝配體間的最佳裝配位姿。文獻(xiàn)[9]針對(duì)飛機(jī)部件的位姿測(cè)量問題，提出了利用外型面關(guān)鍵特征來構(gòu)建部件的對(duì)接向量，最后進(jìn)行位姿擬合的方法。文獻(xiàn)[10]提出了一種測(cè)量輔助裝配方法框架以實(shí)現(xiàn)基于關(guān)鍵測(cè)量特性的過程集成和數(shù)據(jù)融合。本文與以上基于測(cè)量關(guān)鍵特性的位姿求解方法的不同之處在于，本文先在待測(cè)量部件上選取加工精度較高的直接關(guān)鍵特征，經(jīng)激光跟蹤儀采點(diǎn)測(cè)量后，利用改進(jìn)的最小二乘法剔除直接關(guān)鍵特征中的粗差測(cè)量點(diǎn)，再用其余合格測(cè)點(diǎn)擬合得到多個(gè)間接關(guān)鍵特征。最后通過融合間接關(guān)鍵特征構(gòu)建出待測(cè)部件的坐標(biāo)系，并獲得相應(yīng)的位姿參數(shù)。本文以圓筒形艙段為例，在仿真試驗(yàn)中利用所提出的方法求得了滿足對(duì)接任務(wù)需要且精度較高的艙段位姿參數(shù)。

1 空間位姿的表達(dá)方法

在圖1所示的總裝對(duì)接場(chǎng)景中，以激光跟蹤儀所在的測(cè)量坐標(biāo)系為全局坐標(biāo)系，則部件的空間位姿可用部件連體坐標(biāo)系相對(duì)于測(cè)量坐標(biāo)系的變換關(guān)系來表示。

一般情況下，可將部件位姿按向量方式表示為(x,y,z,α,β,γ)T。其中，(x,y,z)T為部件坐標(biāo)系原點(diǎn)在測(cè)量坐標(biāo)系中的位置分量，(α,β,γ)T為部件坐標(biāo)系相對(duì)于測(cè)量坐標(biāo)系的姿態(tài)角。

(1)

式中，sα表示sinα，cα表示cosα，依此類推。

2 關(guān)鍵特征提取及連體坐標(biāo)系構(gòu)建

由于在待測(cè)部件上無法事先加工測(cè)量基準(zhǔn)點(diǎn)，本文采用了測(cè)量關(guān)鍵特征的方式間接構(gòu)造部件坐標(biāo)系以獲取其位姿參數(shù)。下面以圖2所示的固定段為例，通過關(guān)鍵特征來構(gòu)造其連體坐標(biāo)系。

圖2 艙段坐標(biāo)系構(gòu)造示意圖Fig.2 Schematic diagram of cabin coordinate system

根據(jù)固定段外型面及連接螺栓加工精度較低，對(duì)接端面、內(nèi)圓柱面和定位銷的加工精度較高的特點(diǎn)，以及移動(dòng)段與固定段中心軸線需具有較高同軸度的任務(wù)需求，首先選取固定段上加工精度較高的對(duì)接端面、內(nèi)圓柱面以及定位銷外圓柱面作為直接關(guān)鍵特征，經(jīng)激光跟蹤儀采點(diǎn)測(cè)量并擬合。然后通過擬合直接關(guān)鍵特征構(gòu)造出艙段中心軸線、對(duì)接端面法線及定位銷軸線等間接關(guān)鍵特征。最后融合間接關(guān)鍵特征構(gòu)造出艙段的連體坐標(biāo)系：具體是沿對(duì)接端面的法矢量方向建立X軸，以對(duì)接端面與內(nèi)圓柱面軸線的交點(diǎn)構(gòu)造坐標(biāo)系原點(diǎn)Of。若記對(duì)接端面與定位銷中心軸線的交點(diǎn)為Pp0，則沿原點(diǎn)Of與Pp0連線的矢量方向建立Z軸，最后Y軸由右手定則確定，從而構(gòu)造固定艙段連體坐標(biāo)系F，即OfXYZ。

3 關(guān)鍵特征擬合及位姿參數(shù)求解

若根據(jù)圖3所示的邏輯結(jié)構(gòu)圖構(gòu)造坐標(biāo)系F，則需要先擬合出內(nèi)圓柱面及定位銷的空間中心軸線，再求取相應(yīng)交點(diǎn)。本文采用一種先將測(cè)量點(diǎn)投影再擬合投影點(diǎn)的方法直接求取空間中心軸線與對(duì)接端面的交點(diǎn)，避免了復(fù)雜的空間直線擬合。因此，坐標(biāo)系F的構(gòu)造包括對(duì)接端面的擬合以及空間中心軸線與對(duì)接端面交點(diǎn)的擬合。

圖3 固定艙段連體坐標(biāo)系構(gòu)造結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Construction diagram of cabin coordinate system

3.1 對(duì)接端面的擬合

在艙段對(duì)接端面上選取n個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)系在L下測(cè)得坐標(biāo)為P1i=(x1i,y1i,z1i)T，i=1,2,…,n。由于實(shí)際中對(duì)接端面不經(jīng)過坐標(biāo)系L的原點(diǎn)，因此對(duì)接端面P的方程可表示為

Apx+Bpy+Cpz+1=0

(2)

其中，Ap、Bp、Cp為該平面方程系數(shù)。

將以上n個(gè)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(2)并由最小二乘法擬合得到系數(shù)向量：

(3)

以Sn=(Ap,Bp,Cp)T表示對(duì)接端面法向矢量，可沿其單位向量u=Sn/|Sn|方向構(gòu)建坐標(biāo)系F的X軸。

3.2 空間中心軸線與對(duì)接端面交點(diǎn)的擬合

本文以內(nèi)圓柱面中心軸線與對(duì)接端面交點(diǎn)Of的擬合為例，介紹空間直線與平面交點(diǎn)的擬合方法。首先從固定段的內(nèi)圓柱面上選取m個(gè)點(diǎn)測(cè)量，以擬合的對(duì)接端面為基準(zhǔn)投影面，得到m個(gè)投影點(diǎn)。然后，利用投影點(diǎn)擬合出空間圓。該空間圓可看作球面與平面的截交線，圓心可看作球心在平面上的投影點(diǎn)，即為坐標(biāo)系F的原點(diǎn)Of。

在內(nèi)圓柱面上利用激光跟蹤儀選取m個(gè)點(diǎn)P2i=(x2i,y2i,z2i)T(i=1,2,…,m)測(cè)量，以對(duì)接端面為投影基準(zhǔn)面，根據(jù)投影點(diǎn)與對(duì)接端面互相垂直的約束條件，可解得m個(gè)投影點(diǎn)P3i=(x3i,y3i,z3i)T的坐標(biāo)分量為

(4)

設(shè)空間球面S的方程為

Asx+Bsy+Csz-Ds=x2+y2+z2

(5)

式中，As、Bs、Cs、Ds為球面方程系數(shù)。

將所求投影點(diǎn)P3i代入空間球面方程，并根據(jù)最小二乘法擬合球面系數(shù)向量：

(6)

解得球心坐標(biāo)Pc=(As/2,Bs/2,Cs/2)T。

將Pc投影于對(duì)接端面得到原點(diǎn)Of，按照式(4)即可求得Of坐標(biāo)(xf,yf,zf)T。

此外，在定位銷上選取k個(gè)測(cè)量點(diǎn)，同理可擬合出定位銷軸線與對(duì)接端面的交點(diǎn)Pp0，并得到艙段坐標(biāo)系F的Z軸單位方向向量。再結(jié)合所擬合X軸和原點(diǎn)Of，即可構(gòu)造出坐標(biāo)系F。

3.3 艙段位姿參數(shù)求解

由坐標(biāo)系F各軸單位矢量與旋轉(zhuǎn)矩陣R的關(guān)系得

(7)

其中R第一、二、三列分別為坐標(biāo)系F的X、Y、Z軸單位矢量在坐標(biāo)系L下的表達(dá)。聯(lián)立式(1)與式(7)求得姿態(tài)角：

(8)

坐標(biāo)系F原點(diǎn)Of向量表示在坐標(biāo)系L下的平移矢量T：

T=(xf,yf,zf)T

(9)

4 基于2σ準(zhǔn)則的最小二乘法改進(jìn)

根據(jù)測(cè)量平差理論，在利用激光跟蹤儀進(jìn)行位姿測(cè)量時(shí)，主要存在隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差這三種誤差[11]。其中粗大誤差主要是由于對(duì)儀器操作不當(dāng)或地基震動(dòng)引起的，受其影響的測(cè)量點(diǎn)稱為粗差異常點(diǎn)。當(dāng)利用傳統(tǒng)最小二乘法進(jìn)行擬合時(shí)，粗差異常點(diǎn)會(huì)使其擬合結(jié)果偏離真實(shí)值，尤其是當(dāng)數(shù)據(jù)量較少且粗差較大時(shí)，擬合結(jié)果會(huì)存在較大誤差，產(chǎn)生嚴(yán)重失真。所以粗大誤差對(duì)基于傳統(tǒng)最小二乘法的位姿計(jì)算方法的擬合結(jié)果影響較大，即容錯(cuò)性較差[12]。

在對(duì)接端面和中心軸線與對(duì)接端面交點(diǎn)的擬合過程中，均用到了傳統(tǒng)的最小二乘法，對(duì)其改進(jìn)的基本思路是：利用2σ準(zhǔn)則對(duì)最小二乘法的數(shù)據(jù)源進(jìn)行探測(cè)篩選以識(shí)別其中的粗差異常點(diǎn)，即將殘差分布在±2σ范圍外的測(cè)點(diǎn)視為粗差異常點(diǎn)，通過對(duì)剔除粗差異常點(diǎn)后的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合以得到精度更高的擬合結(jié)果，從而獲得更準(zhǔn)確的位姿參數(shù)。

4.1 基于改進(jìn)最小二乘法的對(duì)接端面參數(shù)求解

(1)計(jì)算n個(gè)測(cè)點(diǎn)P1i到對(duì)接端面的距離：

(10)

(2)計(jì)算n個(gè)距離Di的算術(shù)平均值：

(11)

(3)計(jì)算殘差Ui：

(12)

(4)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ1：

(13)

(5)精度判定：若|Ui|≤2σ1，則保留該測(cè)點(diǎn)；否則作為粗差點(diǎn)剔除。

(6)利用保留的測(cè)點(diǎn)由最小二乘法擬合出新的對(duì)接端面方程，按照以上步驟迭代計(jì)算，直到獲得最佳的平面方程系數(shù)。

4.2 基于改進(jìn)最小二乘法的原點(diǎn)坐標(biāo)求解

(1)計(jì)算m個(gè)投影點(diǎn)P3i與原點(diǎn)Of的距離：

(14)

(2)計(jì)算m個(gè)距離Dio的算術(shù)平均值：

(15)

(3)計(jì)算殘差Uio：

(16)

(4)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ2：

(17)

(5)精度判定：若|Uio|≤2σ2，則保留該測(cè)點(diǎn)；否則作為粗差點(diǎn)剔除。

5 數(shù)值仿真試驗(yàn)

艙段位姿測(cè)量試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖4所示。根據(jù)三維模型與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)物的坐標(biāo)匹配關(guān)系，固定艙段坐標(biāo)系F相對(duì)于測(cè)量坐標(biāo)系L的理論位姿為(-101，197.689，-2 592.893，-31.448°，0，0)T。

圖4 固定艙段位姿的測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)Fig.4 Scene of pose measurement of fixed cabin

利用FARO vantage激光跟蹤儀作為測(cè)量設(shè)備，在現(xiàn)場(chǎng)通過手持靶球的方式在固定艙段的三類關(guān)鍵特征上即艙段對(duì)接端面、內(nèi)圓柱面及定位銷表面采點(diǎn)測(cè)量用于特征擬合及艙段位姿坐標(biāo)系構(gòu)建。測(cè)點(diǎn)在坐標(biāo)系L下的坐標(biāo)由CAM2 Measure軟件采集，如圖5所示,分別記錄于表1、表2和表3。表中的序號(hào)表示了前文中在各特征上選取的測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)，即n=m=k=12。

圖5 固定艙段位姿測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)采集Fig.5 Data collection of pose measurement of fixed cabin

表1 對(duì)接端面測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)Tab.1 Coordinates of measuring points of end plane

表2 內(nèi)側(cè)圓柱面測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)Tab.2 Coordinates of measuring points of internal cylinder

根據(jù)表1～表3的測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，利用本文提出的以關(guān)鍵特征擬合艙段位姿的方法，首先結(jié)合最小二乘法對(duì)艙段位姿進(jìn)行求解。然后通過對(duì)比2σ準(zhǔn)則改進(jìn)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)誤差前后與最小二乘法求解結(jié)果在精度上的差異，驗(yàn)證基于2σ準(zhǔn)則改進(jìn)最小二乘法求解位姿的有效性和實(shí)用性。

表3 定位銷銷軸測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 Coordinates of measuring points of dowel pin

首先在所有測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)中引入幅值分別為0，0.004 mm，0.008 mm，0.012 mm，0.016 mm，0.020 mm的隨機(jī)誤差，此外，在所有測(cè)量點(diǎn)中，將1.000 mm誤差隨機(jī)賦予其中一點(diǎn)作為粗差異常點(diǎn)。用來驗(yàn)證基于2σ準(zhǔn)則的改進(jìn)最小二乘法在不同隨機(jī)誤差和粗大誤差下，求解艙段位姿的精度及求解精度的魯棒性。然后對(duì)每種隨機(jī)誤差下的測(cè)量點(diǎn)利用改進(jìn)前后的最小二乘法分別進(jìn)行500次迭代計(jì)算，并將求得的位姿均值作為艙段位姿。表4列出了利用改進(jìn)前算法計(jì)算得到的艙段位姿參數(shù)(xf1,yf1,zf1,αf1,βf1,γf1)T，表5為改進(jìn)后算法計(jì)算的艙段位姿參數(shù)(xf2,yf2,zf2,αf2,βf2,γf2)T。其中，表中序號(hào)1～6分別表示從隨機(jī)誤差幅值由0～0.020 mm不斷增加的6種情況所對(duì)應(yīng)的固定段位姿參數(shù)。

表4 算法改進(jìn)前位姿參數(shù)求解結(jié)果Tab.4 Results of pose parameters of traditional LSM

表5 算法改進(jìn)后位姿參數(shù)求解結(jié)果Tab.5 Results of pose parameters of improved LSM

艙段位姿求解算法在改進(jìn)前后，所求得的艙段位姿參數(shù)的絕對(duì)誤差隨測(cè)量點(diǎn)隨機(jī)誤差變化的關(guān)系曲線分別如圖6、圖7所示。

圖6 算法改進(jìn)前艙段位姿參數(shù)求解誤差Fig.6 Errors of pose parameters of traditional LSM

圖7 算法改進(jìn)后艙段位姿參數(shù)求解誤差Fig.7 Errors of pose parameters of improved LSM

表4和表5的序號(hào)1中所計(jì)算的艙段理論位姿參數(shù)是在隨機(jī)誤差為0的情況下，分別由改進(jìn)前后的最小二乘法得到。該組結(jié)果表明，改進(jìn)前的最小二乘法在求解位姿參數(shù)時(shí)，所得結(jié)果的絕對(duì)誤差值較大。利用2σ準(zhǔn)則改進(jìn)后的最小二乘法擬合關(guān)鍵特征所求得艙段位姿參數(shù)則更加接近事先給定的位姿理論值。表4和表5中，序號(hào)2～6的艙段位姿參數(shù)表明，隨機(jī)誤差幅值增大會(huì)影響艙段位姿參數(shù)擬合結(jié)果的絕對(duì)誤差。而圖6和圖7中的曲線更加清楚地反映出位姿參數(shù)求解誤差與隨機(jī)誤差的關(guān)系。圖6、圖7中的仿真曲線表明：改進(jìn)前后的位姿擬合算法均在隨機(jī)誤差幅值增加的情況下，對(duì)固定艙段位姿參數(shù)擬合的絕對(duì)誤差呈現(xiàn)出增大的趨勢(shì)。對(duì)比圖6和圖7發(fā)現(xiàn)，隨著隨機(jī)誤差幅值從0到0.02 mm不斷增大，改進(jìn)前后最小二乘法求解所得位姿參數(shù)的誤差總體上均呈增大的趨勢(shì)，但改進(jìn)后的求解誤差的量級(jí)明顯降低。例如，在位姿分量X方向上出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差值約為2 mm。而改進(jìn)后的算法所求得的X方向位姿分量最大絕對(duì)誤差值約為0.015 mm?？梢?，改進(jìn)后的擬合算法在求得位姿分量時(shí)，其求解精度與前者相比降低約兩個(gè)數(shù)量級(jí)。仿真結(jié)果也表明在隨機(jī)誤差較大時(shí)，改進(jìn)前的最小二乘法求解精度較低，且隨機(jī)誤差增大時(shí)，對(duì)其求解精度影響較大。改進(jìn)后的最小二乘位姿擬合方法更加有效，其求解精度較高，求解精度受隨機(jī)誤差的影響也較小。

6 結(jié)論

(1)本文提出基于關(guān)鍵特征測(cè)量的艙段位姿擬合方法，其優(yōu)點(diǎn)在于通用性好，并解決了無法在產(chǎn)品上額外加工基準(zhǔn)點(diǎn)的位姿測(cè)量問題，具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

(2)位姿擬合的數(shù)值仿真結(jié)果表明，利用2σ準(zhǔn)則對(duì)最小二乘法的數(shù)據(jù)源改進(jìn)后，在隨機(jī)誤差和粗差異常點(diǎn)都存在的情況下，仍能求得精度較高的艙段位姿參數(shù)。

(3)通過增加測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)可進(jìn)一步提高該方法的魯棒性和艙段位姿參數(shù)求解精度。該方法對(duì)于其他類型的剛體位姿求解問題也具有參考價(jià)值。